大学入試問題とその背景

 ここでは,大学入試問題の背景を扱います.
扱った入試問題は,平成21年度が中心です.
内容は次の通りです.

1.包絡線

2.格子点の面積・面積での近似・Pickの定理

3.平面間の変換

4.整数値多項式

5.関数f(x)=logx/xについて

6.歴史に学ぶ
1.アルキメデス(1)
1.1 放物線の面積(1)
1.2 放物線の面積(2)
1.3 πの評価(1)
1.4 πの評価(2)
1.5 πの評価(3)

2.アルキメデス(2)
2.1 球の体積
2.2 球欠と球冠
2.3 重心とPappus-Guldinの定理
2.4 微積分の基本定理
2.5 Buffonの針の問題

3.ケプラーの法則新(2017年1月)
1 ケプラーの法則
2 面積速度一定
3 例題


7. ガウス記号
7.1 ガウス記号と方程式,不等式
7.2 無理数の整数部分.小数部分
7.3 ガウス記号と2項係数

8.曲線の曲率
8.1 曲線の曲率
8.2 高速道路の設計新(2016年4月)
8.3 曲率の定義新(2016年4月)
8.4 縮閉線新(2016年4月)
8.5 伸開線新(2016年4月)

9.チェビシェフ多項式(PDFファイル)

10.行列の固有値と固有ベクトル
10.1 行列の固有値と固有ベクトル
10.2 固有値が重解のとき
10.3 固有値が虚数のとき

11.1次変換の不動直線と不動楕円
11.1 固有値が実数で異なるとき
11.2 固有値が重解のとき
11.3 対称行列と2次曲線(1)
11.4 対称行列と2次曲線(2)
11.5 不動楕円

12.ユークリッド互除法と近似分数
12.1 連分数
12.2 近似分数
12.3 近似分数(2)
12.4 近似分数(3)
12.5 Farey数列とペル方程式

13.逆関数
13.1 逆関数
13.2 逆関数の積分


14.見込む角
14.1 見込む角
14.2 2次曲線を見込む角が直角の時
14.3 2次曲線を見込む角が直角以外の時
14.4 楕円を見込む角が直角の軌跡の画像


入試問題の背景を勉強することはとても楽しいことです.
しかし,もしこの原稿を読んでいるのが受験生なら,次の点に注意しましょう.
入試問題の背景に興味を持つことはとても大切なことですが, その知識は時として,問題を解く上のノイズになることさえあります.
入試問題を解くためのテクニックは,苦労して問題を解きながら身に付けるものであって,それだけを知識として学んでも, 本番の入試では使えません.
現在持っている知識をフルに使って解答を作り上げることが大切であり,この苦労した解答こそが評価されます.
問題の背景を知ったエレガントな解答は,採点者に感動を与えることはないし決して評価されません.
さらに,知りもしないことを不正確に使う答案は読んでいて非常に腹立たしいものです.
数学を長い間学んでいると誰でも多くの知識が身につきます.しかし,考える力は若いうちに身につけないと一生身につきませんし, 考える力をつけることこそが数学を学ぶ目的です.
ちなみに,受験に精通した指導者は次のように数学の問題を解きます.
まず何とか自分で答を作る.その後,式の変形を修正し読みやすくする.
解いてから問題を眺めるといろいろなことが分かり,問題の背景に従ったいわゆるエレガントな解答を作り上げる.
概ねこのような手順で解き問題の背景を考え,生まれたときからこんなの知っているという顔をして問題の解説をしますが, 実際は水面下で苦労しているものです.
難関大学の入試問題を解くのは,受験の指導者でも苦労するのですから, 受験生が制限時間内にエレガントな解答など作れるはずはないのです.

私は長い間高校生を見ていますが,最近,ろくに考えもしないで,解答を読み,その解答を理解することが数学の勉強と 勘違いしている生徒が増えているようでとても心配です.
ヤクルト時代の野村監督ではないですが
「馬っ鹿じゃなかろかルンバ」
といいたくなります.
まともな出題をされたら,落穂ひろい的な点数しか取れないだろうし,勉強も面白くないと思います.
受験生が入試問題に対して持つべき姿勢は,

問題の意味をきちんと理解し,図を描き,例を調べる等の作業を通じて, 問題の本質を見抜き,自分の持つ知識だけで解答を作り上げる

ことです.これらの経験により考える力を身につける,これこそが数学を学ぶ目的で, 数学が自然科学の土台となるといわれるゆえんです.これは古来変りません. ちなみに,プラトンの創設したアカデメイアでは,幾何学は,知識や感覚ではなく考えることにより問題を解決する,この訓練のために, 必要不可欠な教科であると位置づけられ,校門に「幾何学を知らぬものはくぐるべからず」と掲げられていたそうです. この視点こそが数学の発展の原動力で,和算や中国の九章算術に欠けたものなのでしょう.理系に限らない著名な研究者が 「中学,高校時代数学を勉強しなさい」と話すことをよく耳にすると思います.自分の専門でない数学をどうしてと思うかもしれません.自分の経験に照らし,数学を学ぶことに より身に着けた思考力こそが重要だという意味です.
考える習慣がなくても,大学入試は何とかなるかもしれません.実をいうともっと深刻なのは,大学入学後です.
大学入学後,高校までの知識について穴があったとしても, 考える習慣さえ身に付いていれば大きな困難を感じることはないでしょう.なぜなら多くはもう一度学び直すからです.
一方,いろんなことは知っているが,考える習慣が身に付いていない人はどうでしょうか.理工系の内容は授業にはついていけないであろうし, 絶望感を味わうのではないでしょうか.大学入学後こんなはずではなかったというのは,ほとんどが後者のタイプです.
このように,高校時代,大学入試問題を通して考える習慣を身につけたかどうかは一生を左右するといっても過言ではありません.

数学的なものの考え方は各方面で使われます.
理系は当然ですが,例えば,法律は各法令が矛盾なくできており,ユークリッド幾何学と似ているといわれています.
文学でいうと,源氏物語の宇治十帖が紫式部が書いたかどうかを調べるために,計量文献学があり,数学の統計学を用います.
このように数学の効用は挙げれば枚挙に遑がないでしょうが,それよりも,皆さんがこれからの人生で役に立つことに目を向けましょう.
数学の問題を解きながら身につけた考え方が,これからの人生で困ったときの 問題解決に役立ちます. そして国民の一人一人がまなぶことが国家繁栄の基になるのです.福沢諭吉風になってしまいましたが, と考えてはいかがでしょう.
と思いつくままいろいろな例を挙げ,脈絡のない悪文章の典型になってしまいましたが,中学生,高校生そして一般の人が 数学を学ぶ意義が少しは伝わったのではないでしょうか.

次にいいたいことは,数学を学ぶとき決して先を急がない.ゆっくり理解しながら進んで欲しいということです.
例えば入試問題集を一冊全部仕上げたなんていう生徒で数学ができる生徒は見たことがありません.
フランスのことわざに
ゆっくり行くものは遠くまで行く
があります.

それと忘れてはいけないことは初等幾何の重要性です.
問題を解くときに,相似や円の性質を積極的に使う習慣が大切です.
立体図形も,模型を作ったり,幾何ソフトで立体をつくり実際に見て考えるととてもよいのです. 時間があったら是非模型をつくって考えてみてください.
あるレベル以上の受験生の合否を分ける分水嶺は図形に対する洞察力です.

この文章を読む方で数学の苦手な人は少ないでしょうが,数学の苦手な人のための 勉強法を書いておきます.数学が得意でも役に立つところがあるんじゃないかな.
わかるところまで戻って勉強しなさい.というのはあまりうまくいきません. 私のおすすめは,毎日の授業を睡眠を十分とり,体調を整えて,一生懸命聞くことです.
なんだと思うかもしれませんが少し聞いてください.
数学の各分野は独立しているので前の部分が分からなくとも,授業は案外理解できます.さらに,1つの内容を見方を変えて扱っている場合が多いのです. たとえば,2次方程式でいえば,2次不等式,2次関数,さらに軌跡や微分,積分でも使われます. ですから, 授業で分かった部分と関連する以前学んだ内容を復習しましょう.時間をかける必要はありません.教科書の定義を理解しいくつかの例題を解く程度です. そのときスッキリと理解できるでしょう.それが家庭学習です.学習では,目的を持って学ぶことこそが効果的です. 3か月続けてみましょう.学ぶことが楽しくなります.きちんと理解して,それを積み重ねていくことは充実感がありとても愉快なことです.
もう少し付け加えるなら,周りの数学ができると思っている生徒も,知識はあるけど内容は案外分かっていないのです.これは数学の性質からくるのかもしてませんが, すでに述べましたが,数学は一つのことを多方面から見ることを繰り返すことにより いつの間にか定着します.それを後で振り返ったとき,最初から分かったと勘違いしているだけです.ですから,学んだ時理解できないと感じることは正直なだけなのです.
あそうそう.数学はノートを取らず授業を聞くことだけに専念するといいでしょう. これは,なかなか市民権を得ない授業の聞き方でしばしば周りの先生からお叱りを受けるのですが, 多くの生徒に効果的です.一度試してください.
さて,3か月も続けると,授業が大分わかってきます.復習は必要に応じて行い,今度は授業を中心にします.
授業の解説をもとに,教科書の問を解きましょう.解けなかったら,教科書の例題を参考にすれば解けるはずです.ある分野が終われば節末問題, 章末問題あります.それを自分で解きましょう.解けなかったら,教科書を戻れば必ずヒントがあります.このヒントを探すのも一つの勉強です.教科書はうまく出来ていて, 重要事項が何度も繰り返すようになっています.どうしても解けない問題があるでしょう.そのとき,すぐに聞いたり答えを見るのはいけません. 他の部分を見たりしてゆっくり考えましょう.それでもわからなければ先生に聞きましょう.そのとき,数学TA,UB,VCの使ったまたは使っている 教科書すべて持っていき,わからない部分がどこに書いてあるかを聞いて,其の部分を復習しましょう.教科書のできない問題こそ,君にとって最良の問題です.この解決は 他の数題を解くより効果的です.
ちなみに教科書は入門書すなわちわかりやすい書と考えるのは間違いです. 真面目に学ぼうとする人だけに有効な書と考えましょう.
この辺まで来たら君はもう数学のスーパースターです. この段階になれば,授業はよくわかり,先生の 式の変形や問題に対するアプローチ,問題の背景にも 眼がいくようになり,それらがとても勉強になります.授業に出席しこの空気を吸っていれば数学ができるようになると実感し, 次の授業が待ち遠しくなります.
機会があったら黒板で問題を解きましょう. 先生の添削を受けられるので逃す手はありません. また,友達と一緒に問題を考えたり友達に数学を教えましょう.教えることは自分の勉強にもなります. そのとき「解き方だけじゃだめだよ.なぜこうなるかに目を向けて」 なんて言えたら最高です. 先生がそれを見たら「んん・・.こいつの数学は本物だ」と 思うでしょう.そして帰ったら,授業の内容を親に説明しましょう.説明はなかなか難しいのでうまくいかないでしょうが,親なら聞いてくれます.
学びあったり,一緒に問題を考えることはとても楽しいことで,携帯などで時間を使うのがばかばかしくなってくるでしょう. 生活の中に勉強を組み込むこと,それが学び方の極意です.

数学で悩んでいた生徒が,正しく学ぶことにより,憑き物が落ちたのではないかと思うほど伸びた生徒をたくさん見ています. 皆さんもそのうちの一人になってもらいたいと願っています. いろいろ書いてきましたが,数学の学習のヒントにしてください.
学習は少々の忍耐力は必要ですが,正しく学べばとても楽しいものです.
巷間言われている
1.大学入試はつまらないもので,高校生を摩耗させるだけだ.
2.社会に出たら,つまらない無味乾燥なことをしなければならないので,大学入試はそのトレーニングになる
では決してありません.

最後に数学の勉強法について,一つ紹介します.
秋山武太郎著  幾何学つれづれ草   サイエンス社
のなかの解を得るまで(73ページ)という一節です.この本の初版は大正7年(1917年)ですから今から100年前の本で, そのときも今も数学の勉強の仕方は変らないことが分かります.

図形の問題の解を得るまで

1.図を正確にかけば直角となるべきものは直角となり,平行となるべきものは平行となるから,気のつくことが多い.

2.場合の異なる図,あるいは見かけの異なった図について,また考え直してみると新たに気のつくことがある.

3.思い余ったときは新たに図を書き変えてみると,無駄な線もとれて心機一転してふと悟りを得ることもある.

4.特別な場合を考えてみると,この場合は簡単であるから容易に証明できる.ところがこの証明が時としてそのまま, あるいはそんなに都合よくいかなくともその一部が一般の場合の証明に用いられて思いつきの助けになることが多い.

5.題意のいい廻しを自分で変えてみて,したがって仮定の条件を具備する図形をかく順序を変更してみると,隠れた性質を発見したり, ある点の軌跡に気づくこともある.

6.一つの問題を考えているうちに,かつて解き得なかった他の問題の解を思いつくことも少なくない.

7.考え疲れて寝てから夢の中に解き得ることも時としてある.この場合には紙もなく黒板も目に触れずに,しかも 種々の性質をことごとく透視することができる


どうですか.100年前から,みんな時間をかけて問題を解いてきたのです. このように学んだ人と 比べて皆さんが数学ができないのは当たり前だと思いませんか.
大学受験では才能など関係ありません.数学は,少しの忍耐力をもって正しく学べば必ずよくなります.先を急がず理解しながらゆっくり進みましょう. そうすれば,大学受験だけでなく,明るい未来が開けるでしょう.





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