大学入試問題

Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

10.行列の固有値と固有ベクトル

行列の対角化および固有値，固有ベクトルは，行列の

$n$ 乗を求めるため，言い方を変えれば，行列の対角化をするためだけのものではありません．行列を１次変換として，平面から平面への対応とみるとき，その対応を分かりやすくするためのものです．
ここでの目的は，１次変換を固有値，固有ベクトルを用いて見直すことです．

10.1行列の固有値と固有ベクトル

まず，行列の固有値，固有ベクトルの復習をしましょう．

$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} u & x \\ v & y \end{pmatrix}$
のとき，

$AB= \begin{pmatrix} ax+by & au+bv \\ cx+dy & cu+dv \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} & A \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \end{pmatrix}$
であるので，

$\overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
とおくと

$A(\overrightarrow{u} \ \overrightarrow{v})=(A\overrightarrow{u} \ A\overrightarrow{v})$
が成り立ちます．
したがって，行列

$A$ に対して，

$A\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} =k \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}, A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =l \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
を満たす，

$0$ ベクトルでない

$\overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
が存在すると，

$A(\overrightarrow{u} \ \ \ \overrightarrow{v})=(A\overrightarrow{u} \ \ \ A\overrightarrow{v})$

$=(k\overrightarrow{u} \ \ \ l\overrightarrow{v})$

$=(k\overrightarrow{u} \ \ \ l\overrightarrow{v}) \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & l \end{pmatrix}$
したがって，

$P=(\overrightarrow{u} \ \ \ \overrightarrow{v})$
とおけば

$A=P \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & l \end{pmatrix}P^{-1} \ \$ ・・・
となる．①の形に変形することを行列の

$A$ の対角化という．
なお，変形の途中で

$\begin{pmatrix} kx & lu \\ ky & lv \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & l \end{pmatrix}$
を用いている．これは計算すれば，簡単に確認できるが，

$\begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix}$
であり

$\begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$
より

$\begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x & u \\ y & v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ l \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} lu \\ lv \end{pmatrix}$
とみれば分かりやすい．

したがって，
行列

$A\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
に対して，

$A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \ \ \text{ただし}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす，

$k,\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
を求めることが行列の対角化のための残された問題である．
この問題を解決しよう．
基本になるのは次の命題である．

命題1

$x,y$ についての連立１次方程式

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
について次が成り立つ．

$ad-bc=0 \Longleftrightarrow \ x=0,y=0 \text{だけを解にもつ}$

$ad-bc \neq 0 \Longleftrightarrow \ x=0,y=0 \text{以外の解を持つ}$

この命題は簡単に見過ごしてはいけません．きちんと証明しましょう．
まず，
命題2

$ad-bc \neq 0 \Longrightarrow \ x=0,y=0 \text{だけを解にもつ}$

$ad-bc = 0 \Longrightarrow \ x=0,y=0 \text{以外の解を持つ}$

を証明しましょう．
証明

$ad-bc \neq 0$ のとき，行列

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
が逆行列を持つから解は

$x=0,y=0$
だけを持つ．

$ad-bc=0$ のとき
(1)

$a=0,b=0$ または　(2)

$\begin{pmatrix} c & d \end{pmatrix} =k \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$ である．
(1)

$a=0,b=0$ のとき

$cx+dy=0$ を満たす

$x,y$ が解であるから

$x=0,y=0$ 以外の解を持つ．
(2)

$ax+by=0$ を満たす

$x,y$ が解であるから

$x=0,y=0$ 以外の解を持つ．
いずれの場合も

$x=0,=0$ 以外の解を持つから命題2が証明された．

次に逆を証明しよう．逆の証明は転換法という証明方法を用いる．
転換法とは，いくつかの真の命題

$A_1 \Longrightarrow B_1$

$A_2 \Longrightarrow B_2$

$A_3 \Longrightarrow B_3$
が与えられているとき，仮定がある事柄についてすべての場合をつくしており，結論が互いに独立，言い方を変えれば，２つの結論を同時に満たす場合はない．
このとき，逆の命題

$B_1 \Longrightarrow A_1$

$B_2 \Longrightarrow A_2$

$B_3 \Longrightarrow A_3$
が成り立つことです．
証明は，分かりますか．
次のように行います．

$A_1,A_2,A_3$ の場合はすべての場合をつくしているから，

$B_1$ が成り立つとき

$A_1,A_2,A_3$ のいずれかは成り立つ．
もし

$A_2$ が成り立つとすると

$B_2$ が成り立ち，もし

$A_3$ が成り立つとすると

$B_3$ が成り立つ．
これは

$B_1,B_2,B_3$ が独立であることに矛盾する．
したがって，

$B_1$ が成り立つとき

$A_1$ が成り立つ．
他の場合も同様であるので，

$B_1 \Longrightarrow A_1$

$B_2 \Longrightarrow A_2$

$B_3 \Longrightarrow A_3$
が成り立つ．
転換法とはこの原理のことです．

転換法を知らずに使っていることがあります．例えば，

$x$ についての２次方程式

$ax^2+bx+c=0$ ・・・①
の解は

$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
であるから

$D=b^2-4ac$
と置けば，

$D\text{＞}0 \Longrightarrow \text{方程式①は異なる２つの解を持つ}$

$D=0 \Longrightarrow \text{方程式①は重解を持つ}$

$D\text{＜}0 \Longrightarrow \text{方程式①は異なる２つの虚数解を持つ}$
が成り立つことは簡単に分かるが，逆はそれほど簡単ではありません．
もちろん転換法を用いることになるのですが，もし直接証明するなら，例えば

$a$ を正負に分け，２次関数

$y=ax^2+bx+c$ のグラフを考え，実数の解が2つあるとき，グラフが

$x$ 軸と2点で交わり，

$a\text{＞}0$ なら最小値が負より

$D\text{＞}0$ と証明する方法を用いると思うが簡単ではない．
このような説明を加えることや転換法を中学生の高学年や高校に入りたての生徒に理解を求めるのは適切でないということで，

$D\text{＞}0 \Longleftrightarrow \text{方程式①は異なる２つの解を持つ}$

$D=0\Longleftrightarrow \text{方程式①は重解を持つ}$

$D\text{＜}0 \Longleftrightarrow \text{方程式①は異なる２つの虚数解を持つ}$
を認めています．しかし本来は，

問題
２次方程式

$x^2-2x+a=0$
の実数解の個数を求めよ．

は問題ないが
問題
２次方程式

$x^2-2x+a=0$
について，２つの異なる実数解を持つ

$a$ の範囲を求めよ．

は逆の命題をきちんとして理解してから解く問題で適切な問題ではないという数学の論理構造を高校３年生ならきちんと理解しなければならない時期です．

話を戻そう．
命題

$x,y$ についての連立１次方程式

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
について次が成り立つ．

$ad-bc=0 \Longleftrightarrow \ x=0,y=0 \text{だけを解にもつ}$

$ad-bc \neq 0 \Longleftrightarrow \ x=0,y=0 \text{以外の解を持つ}$

は

$ad-bc=0 \Longrightarrow \ x=0,y=0 \text{だけを解にもつ}$

$ad-bc \neq 0 \Longrightarrow \ x=0,y=0 \text{以外の解を持つ}$
が証明されたから，逆は転換法より成り立つので命題の証明が終了した．

続く

目次