8-3 曲率の定義

平面曲線の扱い方からはじめます.
原点を中心とする単位円を考えます.単位円を表す方法として
$x^2+y^2=1$・・・(1)
$x=\cos t, y=\sin t $・・・(2)
の2通り考えられますが,微分や積分を用いて曲線の性質を調べる,これを微分幾何学といいますが, ときは(2)の媒介変数表示の方を用います.(これは,ガウスが曲線や曲面の性質を研究した ときの方法です)
曲線の媒介変数はいろいろあります.たとえば,
$(\cos t,\sin t)$
$(\cos 2t,\sin 2t)$
$(\cos t^2,\sin t^2)$
これらはすべて原点を中心とする単位円の媒介変数表示です.
すなわち,
$x=f(t), \ y=g(t)$
がある曲線の媒介変数表示のとき,
$x=f(h(s)),y=g(h(s))$
も同じ曲線の媒介変数表示である.
となります.1つの曲線にいろいろな媒介変数表示があるのは都合が悪いので,ルールをきめます.
微分幾何で曲線を扱うとき媒介変数表示$(f(t),g(t))$はできるだけ
$f'(t)^2+g'(t)^2=1 \cdots (\sharp)$
を満たすようにする.
曲線を運動とみれば,各点の速度ベクトルの大きさが$1$ということです.
曲線
$x=f(t),y=g(t)$ただし$f'(t)^2+g'(t)^2=1$を満たす.
の区間$[0,t]$に対応する部分の曲線の長さ$s(t)$を求めましょう.
$\displaystyle s(t)=\int_0^t\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt=\int_0^1dt=t$
すなわち媒介変数は曲線の長さになります.曲線の長さを弧長といいます.$f'(t)^2+g'(t)^2=1$ は弧長を変数にとった曲線の表し方なのです.弧長変数は通常$s$を用います.
弧長変数とは,伸び縮みしない針金で曲線をつくり$xy$平面に置いたもの考えると分かりやすいかもしれません.
曲線
$x=f(s),y=g(s)$ただし$f'(s)^2+g'(s)^2=1$を満たす.
を通常
$x=f(s),y=g(s)$ただし$s$は弧長
と表現します.

さて,曲線は弧長変数で表示するわけですが,曲線を弧長変数で常に具体的に表せるかというとそうではありません.


放物線$y=\dfrac{x^2}{2}$を考えましょう.
この曲線は$(t,\dfrac{t^2}{2})$と表せる.区間$[0,t]$の弧長を$s(t)$とすると
$\displaystyle s(t)=\int_0^t\sqrt{1+t^2}dt$
となり,計算は簡単でない.この値を計算すると
$=\dfrac{t\sqrt{1+t^2}+\log (\sqrt{1+t^2}+t)}{2}$
である.$s=s(t)$は単調増加であるから,逆関数は存在する(存在するだけで,簡単に表せるといっているわけではない). この逆関数を$t=f(s)$とすれば,弧長変数表示は
$(f(s),\dfrac{f(s)^2}{2})$
となる.
このように,弧長変数で表すことは簡単でないことが多い. しかし,そのようなことは意に介さず,議論を進めていきます. それは,微分幾何は図形の局所的な性質を調べる学問で,$t=f(s)$は求められなくとも, $\dfrac{dt}{ds},\dfrac{ds}{dt}$だけで足りるからなのですが, この辺が戸惑うところかもしれません.

専門書では数とベクトルを区別するためにベクトルは$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$のように太文字で書く場合が多い.この方法で表すと,
曲線$\boldsymbol{f}(s)=(x(s),y(s))$
となる.しかし,ここでは高校生の通常の表記法である
$\overrightarrow{f}(s)=(x(s),y(s))$
を用いる.

準備は終わりました.曲線の曲率の定義をしましょう.
曲率とは曲線の曲がり方の度合いを測るものです.
すなわち曲率は方向ベクトルの向きの変化の速度に対する割合で定義します.
定義は次のようになります.


曲線$C$の方程式を
$\overrightarrow{f}(s)=(x(s),y(s)),$ただし$s$は弧長.
とする.
曲線$C$の単位接ベクトル(各点の単位方向ベクトル)を$\overrightarrow{\alpha}(s)$とおくと
$\overrightarrow{\alpha}(s)=\overrightarrow{f}'(s)=(x'(s),y'(s))$
$\overrightarrow{\alpha}(s)$の角の変化の弧長$s$に対する割合を曲率と定義する.
式で書くと次のようになる.
2つの単位ベクトル$\overrightarrow{\alpha}(s),\overrightarrow{\alpha}(s+\Delta s)$の なす角を$\Delta \theta$とおく.このとき
$\displaystyle \lim_{\Delta s\to 0}\dfrac{\Delta \theta}{\Delta s}=\dfrac{d\theta}{ds}$
が曲率の定義である.
$\overrightarrow{\alpha}(s),\overrightarrow{\alpha}(s+\Delta s)$のなす角$\Delta \theta$を $(x(s),y(s))$で表すとどうなるかが問題である.
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{\alpha}(s)=(x'(s),y'(s))$
$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{\alpha}(s+\Delta s)=(x'(s+\Delta s),y'(s+\Delta s))$
とおくと
$\angle AOB=\Delta \theta,OA=OB=1$
および$OA,OB$の決める平行四辺形の面積を考えることにより, $\sin \Delta \theta=x'(s)y'(s+\Delta s)-y'(s)x'(s+\Delta s)$
$\Delta s$が十分小さいとき$\sin \Delta \theta\doteqdot\Delta \theta$であるから
$\dfrac{\Delta \theta}{\Delta s}\doteqdot \dfrac{\sin \Delta \theta}{\Delta s}$
$=\dfrac{x'(s)y'(s+\Delta s)-y'(s)x'(s+\Delta s)}{\Delta s}$
$=\dfrac{x'(s)(y'(s+\Delta s)-y'(s))-y'(s)(x'(s+\Delta s)-x'(s))}{\Delta s}$
$\to x'(s)y"(s)-x"(s)y'(s) \ \ (\Delta s \to 0)$
したがって,曲線上の点$(x(s),y(s))$における曲率$k(s)$は
$k(s)= x'(s)y"(s)-x"(s)y'(s)$
ここで,問題文の曲率半径の式を見てみよう.
曲率半径は曲率の逆数である.
さらに,弧長変数のとき$x'(s)^2+y'(s)^2=1$であるから,曲率の定義が一致することがわかる.


弧長変数表示された曲線$(x(s),y(s))$の単位接ベクトル$(x'(s),y'(s))$と$x$軸とのなす角を$\theta (s)$ とおく.このとき,定義より,曲率$k(s)$は
$k(s)=\dfrac{d\theta }{ds}$
であり,$(x'(s),y'(s))=(\cos \theta (s),\sin \theta (s))$である.
したがって,弧長変数の平面曲線では,曲率$k(s)$及び初期条件
$\theta (s_0)=\theta_0,x(s_0)=x_0, y(s_0)=y_0$
を与えれば 曲線は決まることを示している.
実際
$\displaystyle \theta (s)=\int_{s_0}^sk(s)ds$
$\displaystyle x(s)=\int_{s_0}^s\cos \theta (s)ds+x(s_0)$
$\displaystyle y(s)=\int_{s_0}^s\sin \theta (s)ds+y(s_0)$
すなわち,曲線を与えれば曲率が決まりますが,逆に曲率を与えれば曲線が決まるということです.
これは,曲線の基本定理と呼ばれ,曲率こそが曲線を決定することを意味し, 微分幾何の土台となる考え方です.
曲率$k=k(s)$で曲線を表す方法を曲線の自然方程式または稟性方程式と呼びます.

ここで問題に戻りましょう.
高速道路の曲率を$k(s)$とする.
$k(s)=0$なら直線で$k(s)$が一定なら円です.円や直線が道路として適切かというとそうではありません. 単調すぎるからです.
そこで求められたのが,少しの刺激がある,
$k(s)=as \ (a\text{は定数})$
の曲線です.

ここでは
$k(s)=2s,\theta (0)=0,$
$(x(0),y(0))=(0,0)$
の曲線を求めます.
$\theta (s)=s^2$
$\displaystyle x(s)=\int_0^s\cos s^2ds,$
$ \displaystyle y(s)=\int_0^s\sin s^2ds$
この曲線(右図ただし$-2\pi\leqq s\leqq 2\pi$)をクロソイド(Clothoid)曲線とよぶ.なお,表示のために用いた $\int_0^s\cos s^2ds,\int_0^s\sin s^2ds$はフレネル(Fresnel)積分と呼ばれ, 初等関数では表せないことが知られている.

問題の後半部分である,進行方向が$\pi /2$だけ変わる2点間をクロソイド曲線で結んでみよう.
回転角速度を決める必要があるのでここでは$\omega =1/2\pi$とする.
すなわち前半の曲率は
$k(s)=\dfrac{s}{2\pi}$
である.
自動車の進行方向と$x$軸とのなす角は
$\displaystyle \int_0^sk(s)ds=\dfrac{s^2}{4\pi}$
より
$\dfrac{s^2}{4\pi}=\dfrac{\pi}{4}$
を解いて
$s=\pi$
したがって,
$k(s)=\begin{cases} \dfrac{s}{2\pi}&(0\leqq s\leqq \pi)\\ 1-\dfrac{s}{2\pi}&(\pi \leqq s \leqq 2\pi) \end{cases}$
の曲線を求めればよい.
前半の曲線は
$\displaystyle x=\int_0^s\cos \dfrac{s^2}{4\pi}ds,y=\int_0^s\sin \dfrac{s^2}{4\pi}ds$
後半の曲線は$a,b$を
$\displaystyle a=\int_0^{\pi}\cos \dfrac{s^2}{4\pi}ds=2.953\cdots , b=\int_0^{\pi}\sin \dfrac{s^2}{4\pi}ds=0.787\cdots $
で定めれば,
$\displaystyle x=a+\int_{\pi}^s\cos (s-\dfrac{s^2}{4\pi}-\dfrac{\pi}{2})ds,y=b+\int_{\pi}^s \sin( s-\dfrac{s^2}{4\pi}-\dfrac{\pi}{2})ds$
曲線を描くとつぎのようになる.
後半の曲線の初期条件だけを計算するだけで作れます.
グラフを見れば,$(a,b)$における法線に対称なグラフですから,この法線に関する対称移動で 作った方が簡単です.それを描くと次のようになります.
図を見るとこのカーブなら運転しやすそうだなと感じるのではないでしょうか.車だけでなく,人間だって走りやすい. 陸上のトラックもこのカーブを使っているのかも知れません.


最後に,弧長変数でない,一般の媒介変数表示された曲線の曲率を求める式を求めよう.
まず,曲率の定義を見直す.
弧長変数の曲線$(x(s),y(s))$の曲率$k(s)$は
$k(s)= x'(s)y"(s)-x"(s)y'(s)$
$=(x"(s),y"(s))\cdot (-y'(s),x'(s))$
ここで$\cdot$は内積を表す.
ベクトル$(-y'(s),x'(s))$はベクトル$(x'(s),y'(s))$を正の向きに$\pi/2$だけ回転したものである.
それは,行列を用いれば
$\begin{pmatrix}0&-1 \\ 1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x'(s) \\ y'(s)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-y'(s) \\ x'(s)\end{pmatrix}$
複素数を用いれば
$i(x'(s)+iy'(s))=-y'(s)+ix'(s)$
よりわかる.
さらに,ベクトル$(x'(s),y'(s))$とベクトル$(x"(s),y"(s))$は直交する.
これは,$\overrightarrow{v}(s)$が長さ一定のとき
$\overrightarrow{v}(s)\cdot \overrightarrow{v}(s)=k$
より両辺を$s$で微分すると$\overrightarrow{v}'(s)\cdot \overrightarrow{v}(s)=0$
だからです.
$(x"(s),y"(s))\parallel (-y'(s)x'(s))$かつ$ |(-y'(s)x'(s))|=1$であるから,
$k(s)=(x"(s),y"(s))\cdot (-y'(s),x'(s))$
は$(x"(s),y"(s))$の向きまで考えた大きさです.すなわち,絶対値は$|(x"(s),y"(s))|$で $(x"(s),y"(s))$の向きが$(-y'(s),x'(s))$と同じなら正,反対なら負としたものです.
加速度ベクトル$(x"(s),y"(s))$は必ず凹んだ方を向くので,曲率は正回転(反時計回り)のとき 正で,負回転のとき負となります.

弧長変数とは限らない,一般の媒介変数表示された曲線$(x(t),(t))$の曲率を求めよう.
曲線上の1点を定め,その点からはかった弧長変数を$s$とする(一方の向きは正で逆向きは負になる).
$\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}$
この曲線の単位接ベクトルは
$(x'(s),y'(s))=(x'(t),y'(t))\dfrac{dt}{ds}$
ベクトル$(x'(s),y'(s))$を正の向きに$\pi/2$だけ回転したベクトルは
$(-y'(t),x'(t))\dfrac{dt}{ds}$
$(x"(s),y"(s))=(x"(t),y"(t))(\dfrac{dt}{ds})^2+(x'(t),y'(t))\dfrac{d^2t}{ds^2}$
$k(s)=(x"(s),y"(s))\cdot (-y'(s),x'(s))$
$=((x"(t),y"(t))(\dfrac{dt}{ds})^2+(x'(t),y'(t))\dfrac{d^2t}{ds^2})\cdot (-y'(t),x'(t))\dfrac{dt}{ds}$ $=(x'(t)y"(t)-x"(t)y'(t))(\dfrac{dt}{ds})^3 \ (\because (x'(t),y'(t))\perp (-y'(t),x'(t))$
$=\dfrac{x'(t)y"(t)-x"(t)y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)}^3}$

以上で,平面曲線の曲率の説明は終わりです.

ここで述べた曲率は平面曲線の曲率の定義で相対曲率と呼ばれている.
一般の曲率の定義は空間曲線で定義されます.
弧長変数表示の曲線$\overrightarrow{f}(s)$の標準的な曲率$k(s)$の定義は
$k(s)=|\overrightarrow{f}"(s)|$
で負になることはありません.


続く(縮閉線)


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