1-1 放物線の面積(1) アルキメデスの業績の一つに 定理 放物線外の点$P$から放物線に接線$PA,PB$を引いたとき，直線$AB$と放物線で囲まれた部分の面積は $\triangle PAB$の面積の$\dfrac{2}{3}$である． があります．ここでは，この定理を扱います． 標準的な解答は次のようになります． 放物線どうしは相似であるあるから放物線$y=x^2$で証明すればよい． これは次の意味です． 相似変換 $f:(x,y)\mapsto (ax,ay)$ で$y=x^2$の像は $\dfrac{y}{a}=\left(\dfrac{x}{a}\right)^2$ より$y=\dfrac{x^2}{a}$である． これは２つの放物線の頂点をそろえれば，右で$P$をどこにとても$OP:OQ$は一定 であるということです． ここで，扱うのは線分の長さや面積の割合で，相似拡大， 縮小するときその性質も保たれているからです． 定理の標準的証明 放物線を$y=x^2$とおく． $A(a,a^2),B(b,b^2)$とおく．ただし$a < b$. 直線$PA,PB$の方程式はそれぞれ $y=2ax-a^2,y=2bx-b^2$ 連立方程式を解き， $P(\dfrac{a+b}{2},ab)$ $\overrightarrow{PA}=(\dfrac{a-b}{2},a(a-b))=\dfrac{a-b}{2}(1,2a)$ $\overrightarrow{PB}=(\dfrac{b-a}{2},b(b-a))=\dfrac{a-b}{2}(-1,-2b)$ より $\triangle PAB =\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(a-b)^2}{4}(1\cdot (-2b)-2a\cdot (-1))$ $=\dfrac{(a-b)^3}{4}$ 一方，直線$AB$と放物線で囲まれた部分の面積$S$はいわゆる$\frac{1}{6}$公式より $S=\dfrac{(a-b)^3}{6}$ $\therefore S=\dfrac{2}{3}\triangle PAB$ 以上で証明された． 簡単じゃん．アルキメデス恐るに足らずなんていっては困ります．なにせ，歴史上の天才NO1を 考えるとき先ず挙がる人で，そんじょそこらの天才ではありません． アルキメデスの証明はあとで紹介するとして，その前に別の証明を行います．これからの証明は 極線の性質を用いたもので，定理の見通しがよくなります． $P(p,q)$とすると，直線$AB$の方程式は $y=2px-q $ である．これは説明が必要です． 放物線$y=x^2$上の点$C(\alpha,\beta)$における接線は $y-\beta=2\alpha (x-\alpha)$ であり，$\beta =\alpha ^2$であるから$y=2\alpha x-\beta \dots (\sharp)$ $\alpha,\beta$を$P$の$x$座標，$y$座標である$p,q$に置き換えた式が直線$AB$であるということです． その理由は$A(\alpha_1,\beta_1),B(\alpha_2,\beta_2)$とおく $A,B$における接線は$P(p,q)$を通るから$(\sharp)$より $q=2\alpha_1 p-\beta_1　\ \ \therefore \beta _1=2p\alpha _1-q$ $q=2\alpha_2 p-\beta_2 \ \ \therefore \beta _2=2p\alpha _2-q$ この2式は $y=2px-q$が点$A,B$を通ることをしめし，２点を通る直線は１本に限るから, $P$から放物線に引いた接線の接点を通る直線の方程式は，接線の方程式の 接点の座標を$P$の座標で置き換えた式である． 別証明 $P(p,q)$とおく．直線$AB$の方程式は $y=2px-q$ であるから，$A,B$の$x$座標は $x^2=2px-q$ の解．$A,B$の$x$座標をそれぞれ$a,b$とすると解と係数の関係より $a+b =2p$ また，$A(a ,2pa -q),B(b,2pb-q)$であり， $\overrightarrow{PA}=(a-p,2pa-2q),\overrightarrow{PB}=(b-p,2pb-2q)$ $\triangle PAB$の面積$S$は $S=\dfrac{(a-p)(2pb-2q)-(b-p)(2pa-2q)}{2}$ $=(a-b)(p^2-q)$ ここで，$a+b=2p,ab=q$より$(a-b)^2=4(p^2-q)$ $=\dfrac{(a-b)^3}{4}$ 一方，直線$AB$と放物線で囲まれた部分の面積は$\dfrac{(a-b)^3}{6}$である から定理が成り立つことが示された． さて，ここで 定理 放物線外の点$P$から放物線に接線$PA,PB$を引いたとき，直線$AB$と放物線で囲まれた部分の面積は $\triangle PAB$の面積の$\dfrac{2}{3}$である． を書き直そう． $A(a,a^2),B(b,b^2)$とすると$A,B$における接線の交点$P$は$P(\dfrac{a+b}{2},ab)$である． $P$を通り$y$軸(放物線の軸)に平行な直線と放物線$y=x^2,$直線$AB$と の交点をそれぞれ$C,D$とすると $C(\dfrac{a+b}{2},(\dfrac{a+b}{2})^2),D(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{a^2+b^2}{2})$ であるから$C$は線分$PD$の中点である． したがって,$\triangle APB=2\triangle ACB.$ さらに放物線$y=x^2$の$C$における接線の傾きは$a+b$より 直線$AB$と放物線の$C$における接線は平行である． したがって，点$Q$が弧$AB$を動くとき$\triangle AQB$の最大値を与える点は点$C$である． 定理は次のように書き直すことができる． 定理(アルキメデス) 放物線上に2点$A,B$が与えられている．点$Q$が放物線の弧$AB$を動くとき， 直線$AB$と放物線で囲まれた図形の面積は$\triangle AQB$の面積の最大値の$\dfrac{4}{3}$である． 続く 目次