2-2 球欠と球冠 球の体積を円柱と円錐の体積を利用して求めることは面白い．証明を見てわかるように，球の一部でもその体積を 求めることができる． ここでは球の一部を考える． まず，言葉の定義をする． 定義1 球を１つの平面で切りとった残りの部分を 球欠といい，球欠の側面部分を球冠という． また，球欠の頂点（切り口の円の中心$O'$を通り，切り口の平面に垂直な直線と球冠との交点）と 切り口の円の中心$O'$との距離を球欠や球冠の高さという(図の$O'A$の長さ)． 定義2 球欠を定める球の切り口を底面，頂点が球の中心$O$である円錐と 球欠を合わせた立体を球扇形という． 球扇形の高さは対応する球欠の高さで定義する． 球欠が半球より大きいときは，対応する球扇形は円錐部分を除いたものである． 定義3 平行な２平面にはさまれた球の内部およびその境界を球台， 球台の側面部分を球帯という． 球欠の体積や球冠の面積を求めよう．球扇形を定義したのは，球冠の面積を求めるためである． 球の半径と高さにより球欠や球冠がきまる．ここでは，半径$r$を一つの平面で切りとってできる高さ$h$ の球欠や球冠を半径$r$高さ$h$の球欠，球冠と呼び， 半径$r$,高さ$h$の球欠に円錐を付け加えて得られる球扇形を半径$r$高さ$h$の球扇形ということにする． 例1 半径$r$高さ$h$の球欠の体積$V$を求めよう． 右図で，$C(0,0,r-h)$である．$z\geqq r-h$の部分の円柱から円錐台を除いたものの体積である． $V=\pi r^2h-\dfrac{1}{3}\pi r^3\{1-(\dfrac{r-h}{r})^3\}$ $=\dfrac{\pi h^2(3r-h)}{3}$ 答があっていることを確認しよう．積分を用いると容易に計算できる． $\displaystyle \pi\int_{r-h}^r(r^2-x^2)dx=\dfrac{\pi h^2(3r-h)}{3}$ 例2 次に，半径$r$高さ$h$の球扇形の体積$V_1$を求めて，半径$r$高さ$h$の球冠の面積$S$を求めよう． 球欠の体積$V$は求めてあるから，円錐の体積を求める． 円錐の体積は $\dfrac{1}{3}\pi \{r^2-(r-h)^2\}(r-h)=\dfrac{\pi}{3}(2r^2h-3rh^2+h^3)$ 半径$r$高さ$h$の球扇形の体積$V_1$は，半径$r$高さ$h$の球欠の体積$V$とここでもとめた円錐の体積を加えて $V_1=\dfrac{2\pi r^2h}{3}$ 球冠の面積$S$と球扇形の体積$V_1$には, 球の半径を$r$とすると $V_1=\dfrac{r}{3}S$ の関係があるから $S=2\pi rh \ \ \cdots (\sharp)$ が成り立つ． 球冠の面積は，$(\sharp)$より，高さに比例することがわかる．すなわち，球面を同じ間隔の平行な平面で切ったとき， それぞれの側面積は等しい． ここで球台や球帯の高さも定義しよう． 定義 球台や球帯を定める平行な２平面間の距離をこの球台，球帯の高さと定める． 例２より，半径$r$高さ$h$の球帯の面積$S$は $S=2\pi rh$ である． 正しいことを積分で確認しよう． 回転面の曲面積は次の式で与えられる． 定理 曲線$y=f(x) \ \ (a\leqq x \leqq b)$を$x$軸の周りに回転して得られる曲面積$S$は $\displaystyle S=2\pi \int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx$ である． 証明は微積分の基本定理を参照． 定理を用いて例２を計算する． 原点を中心とする半径$r$の円の方程式は $x^2+y^2=r^2$ 両辺を$x$で微分すると $2x+2yy'=0$ $y\sqrt{1+y'^2}=\sqrt{y^2(1+(-\dfrac{x}{y})^2)}=\sqrt{x^2+y^2}=r$ $\displaystyle 2\pi \int_{r-h}^{r}ry\sqrt{1+y'^2}dx=2\pi \int_{r-h}^{r}rdx=2\pi rh$ このように計算で解くと全くつまらない問題になってしまう． 例題2で計算したように半径$r$高さ$h$の球冠の面積が$2\pi rh$である． 球冠の底面の円周上に点$B$をとる．球冠の底面の中心を$O'$とすると， $AB^2=O'A^2+O'B^2=O'A^2+OB^2-OO'^2$ $=h^2+r^2-(r-h)^2=2rh$ したがって，球冠の面積は$\pi AB^2$，すなわち$AB$を半径とする円の面積と一致する． ここまで，アルキメデスの業績を中心に述べてまいりました． 「アルキメデスは人間に許される以上の才能をもった天才」 といわれ，たくさんの業績があります．詳しい内容は 1. 幾何学大辞典５　付録�U　アルキメデスとその数学業績 2. 科学の名著9 アルキメデス 朝日出版社 3. T.L.ヒース著　ギリシャ数学史　共立出版 のいずれかが参考になる． 最後に，アルキメデスの業績の１つである，アルキメデスの渦巻き線の性質を述べよう． アルキメデスの渦巻き線とは，極方程式で $r=a\theta$ と表せる曲線である．この曲線は$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲が強調され， すごい勢いで広がっているように思うが，$\theta$が大きくなれば だんだん円に近づく曲線である． この曲線について，アルキメデスは次の性質を得ている． 命題１ アルキメデスの渦巻き線の最初の一回転に対応する部分，すなわち，右図で$A$は$\theta =2\pi$に対応する点．直交座標で表せば $(2\pi a,0)$とするときの水色の部分．この部分の面積は半径$OA$の円の面積の$\frac{1}{3}$である． 命題2 アルキメデスの渦巻き線の$\theta =2\pi$に対応する点における接線と極$O$を通り始線と垂直な直線($y$軸)との交点を$B$ とする．このとき，$\triangle OBA$の面積は半径が$OA$の面積に等しい． 　　 命題1の証明 極方程式 $r=f(\theta ),\theta =\alpha ,\theta =\beta$ で囲まれた部分の面積が $\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}f(\theta )^2d\theta$ となることを利用する． 証明は微積分の基本定理を参照． 求める面積は $\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot \int_0^{2\pi}(a\theta )^2d\theta =\dfrac{1}{6}a^2(2\pi )^3$ $=\dfrac{1}{3}\pi \cdot (2\pi a)^2$ 命題2の証明 極方程式$r=a\theta$を媒介変数表示に直すと $x=a\theta \cos \theta ,y=a\theta \sin \theta $ $x'(\theta )=a(\cos \theta -\theta \sin \theta ),y'(\theta )=a(\sin \theta +\theta \cos \theta )$ アルキメデスの渦巻き線の$\theta =2\pi$における接線の傾きは $\dfrac{dy}{dx}\Bigg|_{\theta =2\pi}=2\pi$ したがって，$\theta =2\pi$における接線と$y$軸との交点の$y$座標は$2a\pi \cdot (-2\pi)$ したがって，$\triangle OBA$の面積$S$は $S=\dfrac{1}{2}2a\pi \cdot 2^2a\pi ^2=\pi (2a\pi)^2$ ここで挙げた２つの命題を見ると，アルキメデスは円の面積すなわち円周率$\pi$に興味を持っていたことがわかる．すなわち ，命題1は円の面積を渦巻き線の囲む面積に帰着させ（その面積を３倍すればよい），命題２は円の面積を 渦巻き線の接線を引く問題に帰着させている． アルキメデスの渦巻き線の長さを求めてこの項目を終わりにしよう． 例3 アルキメデスの渦巻き線$r=\theta \ \ (0\leqq \theta \leqq 2\pi)$の長さを求めよう． 媒介変数表示すると $x=\theta \cos \theta ,y=\theta \sin \theta$ である．求める長さは $\displaystyle \int_0^{2\pi}\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}d\theta$ $x'(\theta)^2+y'(\theta)^2=(\cos \theta -\theta \sin \theta)^2+(\sin \theta +\theta \cos \theta)^2=1+\theta ^2$ したがって $\displaystyle =\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\theta ^2}d\theta$ ここで， $\displaystyle \int \sqrt{x^2+1}dy=\dfrac{x\sqrt{1+x^2}+\log (\sqrt{x^2+1}+x)}{2}+C$ であるから(証明は双曲線.その4を参照．)， $=\dfrac{2\pi \sqrt{1+4\pi ^2}+\log (\sqrt{1+4\pi ^2}+2\pi)}{2}$ なお，自然現象に現れる渦巻き線は対数らせんのことで，これは極方程式で $r=ae^{b\theta}$ と表される曲線である．ただし$a,b$は定数． この曲線についてはフリー百科事典ウィキペディア 対数螺旋が優れている． 続く(重心とPappus-Guldinの定理) 目次