3.平面間の変換

1次変換による領域の像は,逆変換や与えられた領域の媒介変数表示を利用することにより比較的簡単に求められる. しかし,変換が2次式の場合はそれほど簡単ではない.この問題で,基本的な考え方を学んで欲しい.

問題
座標平面上の2点P,Qが,曲線y=x(−1≦x≦1)上を自由に動くとき,線分PQを1:2に内分する点R が動く範囲をDとする. aを−1≦a≦1を満たす実数とするとき,点(a,b)がDに属するためのbの条件を求めDを図示せよ.
                                     
(平成20年東京大)
  <解答>
P(s,s),Q(t,t)とすれば,
R((2s+t)/3,(2s+t)/3)
より,
a=(2s+t)/3,
b=(2s+t)/3 ・・・@
とおけば,@で決まる平面から平面への変換で
正方形−1≦s≦1,−1≦t≦1
はどのような図形に写るかという問題です.
東大で,このように解き方を指定する問題を出題するのはきわめて異例です.
ここで指定した方法がもっとも基本的な方法です.
すなわち−1≦a≦1を固定し,そのときのbの範囲をaで表せば出来上がりです.

a=(2s+t)/3,−1≦s,t≦1
よりtを消去します.
このときに,文字を消去したときの格言があります.
「トラは死して皮を残す.人は死して名を残す.変数は消去すると変域を残す」
言葉は少し違うかもしれませんが,これは私が 高校時代(昭和45年〜48年)のころから言われてきたことです.
文字を消去すると,形見として変域がのこることがしばしばありますから注意しましょう.
例えばt≦1やt(tはt≧0のこと)のときは必ずtを消去すると変域に反映します.
さて,解答を続けましょう.
まず,対象性よりa≧0で調べます(a≦0のときはa≧0の場合とb軸に関して対称な図形になる).
a=(2s+t)/3より
t=3a−2s
一方,−1≦t≦1,−1≦s≦1より
−1≦t=3a−2s≦1
したがって,
(3a−1)/2≦s≦(3a+1)/2,−1≦s≦1
ゆえに,a≧0の範囲で(a,s)を図示すると右図になります.
ここで,
b=(2s+t)/3
が成り立つので,aを固定したときsの範囲を調べ,bの最大値と最小値を求めれば問題が解決します.
b=(2s+t)/3
={2s+(3a−2s)}/3
=2s−4as+3a
=2(s−a)+a
一方sの範囲は
0≦a≦1/3のとき
(3a−1)/2≦s≦(3a+1)/2
1/3≦a≦1のとき
(3a−1)/2≦s≦1
である.
0≦a≦1のとき直線s=aは(a,s)の範囲内にあるので頂点を含む.
したがって,
b=2(s−a)+a
の頂点と端点の位置に注目し,
0≦a≦1/3のとき
≦s≦(3a+2a+1)/2
1/3≦a≦1のとき
≦s≦3a−4a+2
を得る.すなわち, 0≦a≦1の範囲は右図の太線で囲まれた部分で, −1≦a≦0の範囲はでは右図とy軸に関して対称な部分.


<解説>
平面から平面への変換で領域の像がどうなるかを調べる良問です. なお,1次変換は平面から平面への一番基本となる変換です. 実数から実数への対応である一般の関数で,一番最初に学ぶのが比例であり, 平面から平面への変換において関数の比例に対応するのが,すなわち土台になる変換が1次変換です.

ここで扱った手法を学ぶことが大切です.ここではもう少し簡単にした次の問題を同じ方法で解いてみましょう.

例題
平面から平面への変換
X=x+y,Y=xy
による領域0≦x≦1,0≦y≦1の像を求めよ.

<解答>
この問題は,もちろん,tについての2次方程式
−Xt+Y=0
が,2つの実数解(重解を含む)をもち,共に0以上1以下であるとしてしまえば簡単です.
後でこの方法で解いて,検算しましょう.
さて,解答に入ります.
0≦x≦1,0≦y≦1ですから
0≦X=x+y≦2
です.
Xを固定して考える.
0≦y=X−x≦1
より
X−1≦x≦X
さらに,仮定より
0≦x≦1
(X,x)を図示すると右の図になります.
すなわち
0≦X≦1のとき0≦x≦X
1≦X≦2のときX−1≦x≦1
Xを固定したときのYの範囲は
Y=xy=x(X−x)=−(x−X/2)+X/4
より,頂点のx座標が,考える区間の中点であることに注意し,
0≦X≦1のとき0≦Y≦X/4
1≦X≦2のときX−1≦Y≦X/4
を得る.図示すると右図.図の太線で囲まれた部分.

別の方法で解いて検算しましょう.
tについての2次方程式
−Xt+Y=0
が,2つの実数解(重解を含む)をもち,共に0以上1以下であるとして解いてみましょう.
f(t)=t−Xt+Y
=(t−X/2)−X/4
より,
0≦X/2≦1,
f(0)=Y≧0
F(1)=1−x+y≧0
−X/4≦0
より一致することが分かる.

検算なら次のように行っても良い.
X=x+y,Y=xy
でX,Yはx,yに関して対称であるから
x≧0,y≧0,y≦x
で考えればよい.
y=x上の点(t,t)0≦t≦1の像は
X=2t,Y=t
より
Y=X/4 (0≦X≦2)
x軸上の点(t,0)(0≦t≦1)の像は
X=t,Y=0より Y=0(0≦X≦1)
x=1上の点(1,t)(0≦t≦1)の像は
X=1+t,Y=t よりY=X−1(1≦x≦2).
したがって,輪郭が正しいことが分かった.


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