15.漸化式の極限,カオス，ロジスティックモデル(コロナウィルスの拡散)

15.1 漸化式の極限の基本事項（１）

まず，漸化式の極限についての基本事項をまとめておきましょう．
例題　$a_1=-1,a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$
を用いて説明します．
この漸化式は$a_n$を$x$と置いた
$f(x)=\sqrt{x+2}$
により
$a_{n+1}=f(a_n)$
と表せます．$f(x)$を定めれば漸化式が定まるわけです．

$1.$まず，極限値をグラフから読み取りましょう．
右図は見たことあるかもしれません．右図の意味を説明します．
$y=\sqrt{x+2},y=x$のグラフが書いてあります．
$f(x)=\sqrt{x+2}$
とおく．
$a_1=-1$より
$a_2=f(a_1)=f(-1)$
$a_2$は$y$軸上にあります．それを$x$軸上に移すのに直線$y=x$ を用います．
$y=a,y=x$の交点の$x$座標が$a$であるから，
$y=a_2$と$y=x$の交点の$x$座標が$a_2$になる．
同じことを繰り返し極限が分かります． この操作を通常，右上図の矢印で表します．
右図では，$a_1 > 2$の場合も併せて載せました．

$2. \ \ 1$で述べたことよより，漸化式
$a_{n+1}=f(a_n)$
で定まる数列$\{a_n\}$が極限値を持つなら，極限値は
$y=f(x),y=x$
の交点を$x$座標すなわち，方程式
$f(x)=x$
の解であることが分かります．
それは，次のように示します．
$a_n \to \alpha (n\to \infty)$
のとき
$a_{n+1}\to \alpha,f(a_n)\to f(\alpha) \ \ (n\to \infty)$
である．一方
$a_{n+1}=f(a_n)$
であるから，極限値$\alpha$は
$\alpha =f(\alpha)$
をみたす．すなわち$\alpha$は方程式
$x=f(x)$
の解である．
この議論で１つだけ注意が必要です．
それは，
$a_n \to \alpha (n\to \infty)$のとき$f(a_n)\to f(\alpha)$
と行っているところです．これは$f$の連続性を仮定しています．
ちなみに，$f(x)$が$x=a$で連続の定義は
$x\to a$のとき$f(x)\to f(a)$が成り立つ
です．したがって，漸化式の極限値についてはつぎのようになります.

命題１
連続関数$f(x)$で定まる漸化式$a_{n+1}=f(a_n),a_1=x_0$による数列$\{a_n\}$が収束しその極限値が$\alpha$のとき． $\alpha$は方程式$x=f(x)$の解である．

例えば，$f(x)$の連続性を仮定しないと次のようなことが起こります．
$f(x)$を次のように定義する．
$f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}& (x < 1)\\ \dfrac{1}{2}x+1& (1\leqq x) \end{cases}$
このとき，数列$\{a_n\}$を
$a_1=\alpha ,a_{n+1}=f(a_n)$
で定義すると，
$\alpha < 1$とき$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=1$
$\alpha \geqq 1$のとき$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=2$
($\because$次の$3$を参照)
一方，方程式
$x=f(x)$
の解は
$x=2$

続く(15.2 漸化式の極限の基本事項2)

目次
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