15.6 減少関数の場合

まず，
$f(x)=-\dfrac{1}{2}x+1$
の場合を考えましょう．
$a_1=0,a_{n+1}=-\dfrac{a_n}{2}+1\cdots (\sharp)$
であり，これは一般項が求められます．
$f(x)=x$
を解くと$x=\frac{2}{3}$
なお，これから関数$f(x)$に対して，方程式
$f(x)=x$
の解を関数$f(x)$の不動点と呼ぶ．
ちなみに関数
$f(x)=-\dfrac{1}{2}x+1$
の不動点は$x=\frac{2}{3}$である．
漸化式$(\sharp)$は
$a_{n+1}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{2}(a_n-\dfrac{2}{3})$
より
$a_n-\dfrac{2}{3}=(a_1-\dfrac{2}{3})\cdot (-\dfrac{1}{2})^{n-1}$
$a_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}\cdot (-\dfrac{1}{2})^{n-1}$
したがって
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\dfrac{2}{3}$
とすると簡単であるが，これから扱うのは一般項が求められない数列である．$f(x)$の性質に 注目し数列$\{a_n\}$ を考える．
数列$\{a_n\}$を図示すると右図のようになる．
$a_1 < a_3 < \cdots < a_{2n-1} \cdots $
$ a_2 > a_4 > \cdots > a_{2n}\cdots$
さらに，数列$\{a_{2n-1}\},\{a_{2n}\}$は$f(x)$の合成関数$f\circ f(x)$で定まる漸化式である．
$f\circ f=-\dfrac{1}{2}(-\dfrac{1}{2}x+1)+1=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$
であるから，数列$\{a_{2n-1}\},\{a_{2n}\}$はそれぞれ
$b_1=0,b_{n+1}=\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{2},$
$b_1=1,b_{n+1}=\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{2}$
である．
数列$\{b_n\}$は$b_1=0$のとき増加列($y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$のグラフが$y=x$のグラフの上にある)， $b_1=1$の減少列であり，ともに$\frac{3}{4}$に収束する.

次に，関数$y=f(x)$とその合成関数$y=f\circ f(x)$の関係を調べよう．
まず，$f(x)$の不動点は$f\circ f(x)$の不動点である．
実際$\alpha$が
$f(\alpha)=\alpha$
のとき
$f\circ f(\alpha)=f(\alpha)=\alpha$
である．
$f\circ f(x)$の導関数は
$f'(f(x))f'(x)$
であるから，$x$の全範囲で単調減少のとき
$f'(f(x))f'(x) > 0$
$f\circ f(x)$は増加関数であるから，数列${a_{2(n-1)}},{a_{2n}}$はともに容易に極限が調べられる（有界な単調な数列は収束する）．
しかし，増加と減少がある関数で定められる漸化式は簡単ではない．

ここでは，
$f(x)=p-x^2$
について調べていきます．
考える漸化式は
$a_{n+1}=p-a_n^2, \ \ a_1=q$
です．
後で述べますが，
$f(x)=a(1-x)x$
のときはロジスティックモデルといわれ，私は専門的なことはわかりませんが， 相当研究されているようです．ここでは，似たことが起こる．
$y=p-x^2$
を扱いました.

まず，パソコンで$\{a_n\}$の値の点を取って調べてみましょう．

上の(fig.1)は，
$p=0.502,a_1=0$
の場合で，$a_1$から$a_{20}$までの点を図示したものです．

$p$を大きくしていくと，極限値が2つになる．それが(fig.2)で
$p=1,a_1=0.5$
の場合で，$a_1$から$a_{20}$までの点を図示しました．

さらに$p$を大きくすると極限値が４つになる．それが(fig.3)で
$p=1.3,a_1=0.3$ の場合で，$a_1$から$a_{100}$までの点を図示しました．

さらに$p$を大きくすると極限値が８つになります．
(fig.4) $p=1.386,a_1=0$
ある一定の値を超えると，(fig.5)のように規則性は見つけられなくなります． この場合をカオスという．


続く(15.7 分岐の場所)

目次