大学入試問題

例題

ここでは問題を解いてみましょう．問題を解くことは内容の理解を深めます．問題は大学入試からとりました．なかなか面白い問題です．

問題
図1の実線のように，半径$R$の球形をした惑星の周りの楕円軌道上を探査船が周回している．惑星の質量は探査船の質量に比べて十分大きく，その中心を原点とし，楕円の長軸を$X$ 軸とする平面座標系をとり，極座標$(r,\theta)$を考えると，楕円軌道は一般に
$r=\dfrac{4S^2}{GM}\dfrac{1}{1-b\cos \theta}\cdots \text{①}$
と表される．ただし，$G$は万有引力定数，$M$は惑星の質量，$S$は探査船の面積速度，$b$は楕円の形から決まる定数で$-1 < b < 1$である．面積速度とは惑星中心と探査船を結ぶ線分が単位時間に描く面積のことで，時間を$t$とすると，$S=\dfrac{1}{2}r^2\dfrac{d\theta}{dt}$ と表される．惑星の自転および他の天体との関連を無視して下の設問に答えよ．

(1) 実線の軌道は原点から最近点(A点)までの距離が$1.5R$,最遠点(B点) までの距離が$2.5R$である．$S^2$と$b$をもとめ，式$\text{①}$の軌道の式を$R$ を用いて表せ．

(2)A点において，逆噴射することにより速度方向を変えることなく探査船を瞬間的に減速させ，C点で惑星に接する破線のような楕円軌道に乗せたい．破線の楕円軌道の式を (1)と同様の方法で求め，その軌道がC点以外で惑星に交わることのないことを示せ．ただし，操作速度はA点のみで行うとし，この問題では惑星にある気体層の影響は無視して答えよ．

(3)A点で実線の軌道から破線の軌道に移るとき，探査船の速度を当初の速度の何倍にしなければならないか答えよ．

（1998年　東京大後期　総合科目）

解答
(1)楕円軌道の式に$\theta =0,\pi$を代入し
$2.5R=\dfrac{4S^2}{GM}\dfrac{1}{1-b}$
$1.5R=\dfrac{4S^2}{GM}\dfrac{1}{1+b}$
上の式を下の式で割って
$\dfrac{2.5}{1.5}=\dfrac{1+b}{1-b}$
あとは順に計算し
$b=\dfrac{1}{4},S^2=\dfrac{15GMR}{32}, r=\dfrac{15R}{8(1-\dfrac{1}{4}\cos \theta)}$

(2)(1)と同様で，$\theta =0$のとき$r=R$,$\theta =\pi$のとき$r=1.5R$を代入し
$b=-\dfrac{1}{5},S^2=\dfrac{3GMR}{10},r=\dfrac{6R}{5(1+\dfrac{1}{5}\cos \theta)}$
この楕円の$r$は$\theta =0$で最小値をとり，$\theta \neq 0$のとき$r > R$. したがって，C点以外で惑星と交わることはない．

(3) A点やB点では，$r(t)$は極値をとるから$\dot{r}=0$
楕円軌道上の点を$P(z(t))$とする．$\overrightarrow{OP}$と同じ向きの単位ベクトルを$i=(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$,$i$を原点の周りに $\frac{\pi}{2}$だけ回転したベクトルを$j$とする．
このとき，A点では$\dot{r}=0$である
$x(t)=r(t)i$より
$\dot{x}=\dot{r}i+rj\dot{\theta}$(本文の面積速度一定を参照)
$=r\dot{\theta}j$
したがって，$z(t)$の速度$v(t)$は
$v(t)=r(t)\dot{\theta}(t)$
(ここで$S=\dfrac{r^2\dot{\theta}}{2}$より)
$=\dfrac{2S(t)}{r(t)}$
したがって，A点では面積速度$S$と探査船の速度$v$は比例する．
探査船の当初の速度を$v$変化後の速度を$v'$とすると，(1),(2)で求めた面積速度より
$\dfrac{v'}{v}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{3GMR}{10}}}{\sqrt{\dfrac{15GMR}{32}}}=\dfrac{4}{5}$

（ケプラーの法則の項目終わり）