14-3 2次曲線を見込む角が直角以外の時

次に扱うのは，２次曲線を見込む角が直角以外の場合です．まず，一番簡単な次の問題で 解答を学びましょう．

例題5
放物線\(y=\dfrac{x^2}{4} \ \ (x^2=4y)\)を見込む角が\(\dfrac{\pi}{4}\)である点\(P\)の軌跡を求めよ．

解答2
\(P(X,Y)\)を通る直線を
\(y-Y=m(x-X)\)
とおく．
\(x\)を消去すると
\(x^2=4(mx-mX+Y)\)
\(x\)の方程式とみて重解をとるから
\(D/4=4m^2-4(mX-Y)=0\)
解を\(m_1,m_2\)とすると，解と係数関係より
\(m_1+m_2=X,m_1m_2=Y\)
傾き\(m_1,m_2\)の直線のなす角を\(\theta\)とすると
\(\tan \theta=\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}　\cdots (\sharp)\)
となる．ここで注意が必要である．\(m_1,m_2\)を逆にとれば，なす角は補角になる．
さらに，\(m_1-m_2\)は解と係数の関係を利用するなら
\((m_1-m_2)^2=(m_1+m_2)^2-4m_1m_2\)
を使いたい．私は，\((\sharp)\)の両辺を平方して， 補角も一緒に扱う方法を生徒に勧めている．すなわち，この問題でいうと 見込む角\(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\)の軌跡を一緒に求める．２つの軌跡が現れ，準線に関して放物線の ある方が見込む角\(\dfrac{3\pi}{4}\)の軌跡で,反対側が見込む角\(\dfrac{\pi}{4}\)の軌跡である．
\(\theta =\dfrac{\pi}{4}\)より
\(\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=1\)
の両辺を平方し
\((m_1-m_2)^2=(1+m_1m_2)^2\)
したがって
\(X^2-4Y=(1+Y)^2\)
\(X^2-(Y+3)^2=-8\)
\(X,Y\)を\(x,y\)と書き直し
\(x^2-(y+3)^2=-8\)
この軌跡は\(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\)両方の軌跡であるから，この双曲線の準線\(y=-1\)の 下側が求める軌跡である．

解説
この問題は解答の中でも述べましたが，解答の中の\((\sharp)\)の処理でいくつかの解法が考えられます．
最近の入試問題たとえば，2008年度筑波大，2014年度慶応大（医）で研究するとよいでしょう．
右図は
\(y=\dfrac{x^2}{4},x^2-(y+3)^2=-8,y=-1\)
です．

さて，この問題で，求めた軌跡
\(x^2-(y+3)^2=-8\)
の焦点を求めましょう．
\(\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{8}=-1\)
の焦点は\((0,4),(0,-4)\)であるから双曲線
\(x^2-(y+3)^2=-8\)
の焦点は\((0,1),(0,-7)\)で焦点の片方が放物線\(x^2=4y\)の焦点と一致する．実際次のことが成り立つ．

命題
放物線が与えられたとき，その放物線を見込む角が一定の軌跡は，双曲線で焦点の片方は放物線の焦点を一致する．

証明
放物線\(y^2=4px\)を見込む角が一定である点の軌跡が双曲線で， 焦点の片方が\((p,0)\)であることを示せばよい．
なお，証明の中で双曲線の離心率ももとまる．
点\(P(X,Y)\)を通る直線を
\(x-X=m(y-Y)\)
\(y^2=4px\)に代入し\(x\)を消去すると
\(y^2-4pmy+4pmY-4pX=0\)
\(y\)が重解より
\(D/4=(2pm)^2-(4pmY-4pX)=0\)
\(\therefore pm^2-mY+X=0\)
解を\(m_1,m_2\)とすると，解と係数の関係より
\(m_1+m_2=\dfrac{Y}{p},m_1m_2=\dfrac{X}{p}\)
傾きが\(m_1,m_2\)の２直線のなす角を\(\theta\)とし，
\(\tan \theta =t\)
とおくと
\(\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}=t\)
両辺を平方し，解と係数の関係を用いて\(X,Y\)の関係にすると
\(t^2\left(1+\dfrac{X}{p}\right)^2=\dfrac{Y^2}{p^2}-\dfrac{4X}{p}\)
より
\(t^2(X+p)^2+4pX=Y^2\)
したがって，
\((X-p)^2+Y^2=(X-p)^2+t^2(X+p)^2+4pX\)
\(=(1+t^2)(X+p)\)
ここで\(t=\tan \theta\)より\(1+t^2=\dfrac{1}{\cos ^2\theta}\)であるから
求める軌跡は焦点が\((p,0)\)準線が\(x=-p\),離心率が\(\dfrac{1}{\cos \theta}\)であることを示している． すなわち，焦点と準線が放物線と一致し離心率が\(\dfrac{1}{\cos \theta}\)の双曲線である．

次の図は
\(y^2=4px,(x-p)^2+y^2=\dfrac{(x+p)^2}{\cos ^2\theta},x=-p\)
を同じ座標軸に書いたものである．スライダーをドラッグすると\(p,\theta\)が変化します．

(スライダーをドラッグすると変数\(p,\theta\)が\(\pi/16\leqq \theta \leqq \pi/2,0.2\leqq p\leqq 3\) 範囲で動きます．\(p,\theta\)のdefault値（初期値）は\(\theta =\pi/4,p=1\)です．
もし，画面にGet the Wolfram CDF Player とあらわれたら， 画面をクリックしCDF Playerをインストールしてください．


残された問題は，楕円や双曲線を見込む角が\(\dfrac{\pi}{2}\)以外の一定の角の時の軌跡を求める ことである．
この問題は解決しているのかどうかわからないが，単純な２次曲線の問題ではなさそうです．

具体的に計算してみましょう．
例
楕円\(4x^2+y^2=1\)を見込む角が\(\dfrac{\pi}{4}\)である点\(P\)の軌跡を求めよう．

\(P(X,Y)\)を通る直線を
\(y-Y=m(x-X)\)
とおき，\(y\)を消去すると
\((4+m^2)x^2-2m(mX-Y)m+(mX-Y)^2-1=0\)
判別式をとると
\(D/4=(1-4X^2)m^2+8XYm-4(Y^2-1)=0\)
解を\(m_1,m_2\)とすると，解と係数の関係より
\(m_1m_2=\dfrac{4(1-Y^2)}{1-4X^2},m_1+m_2=-\dfrac{8XY}{1-4X^2}\)
見込む角が\(\dfrac{\pi}{4}\)より
\((\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2})^2=1\)
したがって
\(16X^2+16Y^2+32X^2Y^2-104X^2-56Y^2+41=0\cdots (\sharp)\)
をえる．
この式は２つの楕円を表すと考えそうだがそうではない．
実際にパソコンで\((\sharp)\)のグラフを描くと

となる．一番内側が楕円\(4x^2+y^2=1\),その外側の２つの図形が見込む角\(\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\) の図形である．少なくとも外側の図は楕円ではない（凸でない）.多分４次曲線の議論 になるのであろうが， 私には議論の糸口さえつかめない．ご教示お願いする.
すくなくとも大学入試問題の対象にはならないでしょう．
(連絡メールアドレス　\(komuro@seishingakuen.ed.jp\))

（見込む角の項目終わり）



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