2-4 微積分の基本定理

さて,ここで積分の定義を見つめなおすのもよい機会であると思う.
高校では,積分を微分の逆演算として定義している.
実際,つぎのようになっている.
関数$f(x)$が与えられたとき,微分して$f(x)$になる関数,すなわち
$F'(x)=f(x)$
を満たす関数$F(x)$を$f(x)$の原始関数という.
$f(x)$の原始関数の1つを$F(x)$とする.$f(x)$の任意の原始関数$G(x)$は
$G(x)-F(x)=\text{定数}$
を満たすから,$f(x)$の任意の原始関数は$G'(x)=F'(x)$より
$F(x)+C$
と表される.この$F(x)+C$を
$\displaystyle \int f(x)dx$
と表し,$f(x)$の不定積分という.

このように,微分の逆演算として積分が定義されている.


次に面積を求めるのは,教科書ではどのような記述になっているかをみましょう.

区間$[a,b]$において
$f(x)\geqq 0$
を満たす関数$f(x)$が与えられているとする.
$y=f(x),x$軸,$x=a,x=b$で囲まれた図形の面積$S$を求める.
曲線$y=f(x)$と$x$軸の間にある図形の$x$座標が$a$から$x$までの部分の面積を$S(x)$とする.
このとき,
$S=S(b)=S(b)-S(a) \ (\because S(a)=0)$
一方,右図より
$\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{S(x+h)-S(x)}{h}=f(x)$
が成り立つ.
したがって,$S'(x)=f(x)$
すなわち,$S(x)$は$f(x)$の原始関数である.
$\therefore \displaystyle \int_a^bf(x)dx=\Bigl[f(x)\Bigr]_a^b=S(b)-S(a)=S$

当然,以前は面積が積分によりこのように求められるとはわかっていません.
アルキメデスが行ったように,
領域を細かく分割して,それを加えて極限をとる
という方法をとっていました.それが数学Vで学ぶ区分求積法です.
それは,$\int_a^xf(t)dt$を次のように定義しました.
区間$[a,x]$を$n$等分し,その分点を
$a=x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n=x$
$\dfrac{x-a}{n}=\Delta x$
とする.このとき
$\displaystyle \int_a^xf(t)dt\stackrel{\text{定義}}{=}\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x$
で定義しました.この定義が積分の定義です.
この区分求積法による定義が不定積分による定義と一致する.
これは微分法の発見がもたらした大驚異であった(高木貞治・解析概論 89ページ).
白岡あさなら「びっくりポン」というかどうかはわかりませんが,面積や体積がこんなに 簡単に求められることが驚きをもって迎えられたたことは容易に想像できます.
この事実($f(x)$と$x$軸で挟まれた部分の面積で定義された関数を微分すると$f(x)$になる)を 微分積分学の基本定理と呼びます.
蛇足になりますが,もう少し付け加えると,曲線の接線の傾きという概念はあったし, アルキメデスの業績を挙げるまでもなく,面積を分割して求めるという概念もありました. この2つの概念がつながっているというのが基本定理と呼ばれる所以です.さらに, 2つの概念の関係を見つけたのがニュートンとライプニッツなわけです.以降の数学の歴史を 見れば,微積分の基本定理が自然科学の研究に劇的な変化をもたらしたことが分かります


さて,ここで話したいことは,積分の定義を区分求積法とするといろんな公式が容易に理解できるということです.
たとえば,置換積分を見てみましょう.
$\displaystyle \int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(g(t))g'(t)dt$
ですが,これは
$x=g(t)$より $\dfrac{dx}{dt}=g'(t) \ \ \therefore dx=g'(t)dt$
と機械的に学ぶと思います.$dx=g'(t)dt$は$x,t$の関係の微小部分の長さの比が$g'(t)$という意味です.
$\Delta x=g'(t)\Delta t$と書くと置換積分の意味が理解できる.


すでに,重心の座標を求めるのに区分求積法を用いました.
区分求積法で考えた方が理解しやすい例をいくつか紹介します.

$1. \ \ y=f(x),x$軸,$x=a,x=b (0 < a < b)$で囲まれた図形を$y$軸の周りに回転させて得られる立体の体積を求めよう.
区間$[a,b]$を$n$等分し
$a=x_0,x_1,x_2,\dots x_n=b,\dfrac{b-a}{n}=\Delta x$
とする.
右の黄色の図形を$y$軸の周りに回転させるとその体積は
$\pi x_{k+1}^2f(x_{k+1})-\pi x_k^2f(x_k)$
と近似できる.
さらに,$\Delta x$は十分小さいので$f(x_{k+1})\doteqdot f(x_k)$と考え
$\doteqdot \pi f(x_k)(x_{k+1}+x_k)(x_{k+1}-x_k)$
ここで$x_{k+1}\doteqdot x_k$と近似し
$\doteqdot 2\pi x_kf(x_k)\Delta x$
したがって,$y$軸の周りに回転して得られる立体の体積は$n\to \infty$として
$\displaystyle 2\pi \int_a^bxf(x)dx$
近似があり,厳密ではないと感じますが,専門書の証明は上下の値を作りはさみうちの原理を利用するだけで 本質は変わりません.近似に抵抗がなければ理解しやすいのではないかと思います.


$2. \ $極方程式で囲まれた図形の面積も同様に求めてみましょう.
$O$を極とする極座標系で極方程式$r=f(\theta),\theta =a,\theta =b$で囲まれた図形の面積を求める.
$a\leqq \theta \leqq b$を$n$等分し
$\theta_0=a,\theta _1,\dots ,\theta _n=b$
$\Delta \theta =\dfrac{b-a}{n}$
とおく.
$A_k(f(\theta _k),\theta _k)$より,
扇形$OA_KA_{k+1}$の面積$S_k$は半径$f(\theta _k)$中心角$\Delta \theta$の扇形で近似します.
$S_k\doteqdot \doteqdot \dfrac{1}{2}f(\theta_k)^2\Delta \theta$
求める面積は
$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}S_k\doteqdot \sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{2}f(\theta _k)^2\Delta \theta$
の$n\to \infty$の極限をとり
$\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_a^bf(\theta )^2d\theta$
となる.


$3. \ $もう一つ,回転面の曲面積も計算しましょう.
回転面の曲面積は円錐台の側面積を利用して求めます.
まず,円錐台の側面積を求めます.
$\angle B=\angle C=90^{\circ}$の台形$ABCD$が
$AB=a,CD=b,AD=c$
とする.この台形を辺$BC$の周りに1回転して得られる円錐台の側面積を求める.
$AD,BC$の交点を$O$とし,$OA=x$とおくと,
$x=\dfrac{ac}{b-a}$
したがって,この円錐台の側面積は
$\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi b (c+\dfrac{ac}{b-a})-\dfrac{1}{2}\cdot 2\pi a \cdot \dfrac{ac}{b-a}$
$=\pi c(a+b)$・・・@

$y=f(x) \ \ (a\leqq x\leqq b)$ を$x$軸の周りに回転した曲面の表面積を求める.
閉区間$[a,b]$を$n$等分した分点を
$x_0=a,x_1,x_2,\dots,x_{n-1},x_n=b$
$\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$
とおく.

$P(x_k,f(x_k)),Q(x_{k+1},f(_{k+1}))$とする.
直線$PQ$の傾きを$m$とすれば,
$PQ=\sqrt{1+m^2}\Delta x$
であり,平均値の定理より
$m=f'(c_k) \ \ \ (x_k$<$c_k$<$x_{k+1})$
を満たす$c_k$が存在する.
弧$PQ$を回転した曲面の面積を線分$PQ$を回転した円錐台の側面積で近似すれば, $\pi (f(x_k)+f(x_{x+1}))\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x$
となる. さらに,$f(x_k)\doteqdot f(x_{k+1})$と近似すると
$\doteqdot 2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x$
したがって,求める表面積は
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^{n-1}\pi 2f(x_k)\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x =2\pi \int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx$
となる.


続く(Buffonの針の問題)



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