2.格子点と面積・面積での近似・Pickの定理

次の問題は平成20年度の山梨大学の問題です.領域が与えられたときの,面積と含まれる格子点の個数の関係の面白い問題です.
この問題で,積分の値の評価の方法(値の範囲を調べることを評価するという.もちろん狭ければ狭いほど良い)をいろいろ学んでください.
なお,表題のPickの定理とは,頂点がすべて格子点である多角形の面積と含まれる格子点の個数の関係で,それを使うと この問題もあっさり解決します.
しかし受験を考えるなら深入りしないほうが賢明でしょう.

問題
nを自然数とする.
│x│≦n,│y│≦n
を満たす格子点の個数をS
+y≦n を満たす格子点の個数をTとし,
=T/S
とおく.
(1)n→∞のときのpの極限値を求めよ.
(2)p<π/4を証明せよ.
(平成21年山梨大)


<解答>
(1)以下の〔 〕はガウス記号である.


とおく.ただし,0<c<1.

もちろん

を用いてもよい.
ガウス記号を含む式の極限を求めるときは上の@の等式またはAの不等式を用いることが多い.
第1象限におけるTの個数は,


一方,
=(2n+1)
であり,

であるから

のn→∞のときの極限を求めればよい.



(2)は(1)ほど単純ではない.
極限をを求めるには,分母がnの2次式なら,分子はnの1次式の範囲で自由に加減してよい.
しかし,(2)はpの値を調べる必要があるからです.
ここでは,pを積分による評価をする.
この方法はしばしば用いられる方法です.

単位円内および周上の第1象限における格子点の個数は

であり,

を用いて

が成り立つ.
ここで,

は底辺1高さ

の長方形の面積と考え,右図の緑色の面積が第1象限の格子点の個数です.
したがって,面積の比較により,

これが,積分により評価の基本です.
しかし,これだけでは,この問題を解くことができません.
実際,格子点の個数は座標軸上の格子点の個数4n+1を加え

=nπ+4n+1
∴ p
=T/S

ここで,

@は負となるのでうまくいきません.
どこに解決の糸口があるか考えれば,格子点の個数を
 
の不等式で評価していますが,すなわち,緑色の面積を4分円で置き換えるところにありそうです.

それではどうすればよいか.ここで用いる方法がこの問題で一番伝えたい内容です.
すなわち,折れ線を利用するのです.
右図の紫色の部分を利用します.
紫色の部分の面積の和は底辺がn高さが1の三角形の面積ですから,

したがって,単位円内および周上の格子点の個数は

≦πn−2n+4n+1
=πn+2n+1
したがって,

より証明が終了しました.

<解説>
この問題で考えた,曲線の折れ線で面積を近似することは,計算も面倒でない効率的な近似です.
この近似を面積近似の 台形公式といいます.
具体的には次のようになります.
右図の

を折れ線で近似すると(黄色の面積)台形の和を計算することになり

となります.

面積の近似でもう1つ覚えておくべきことがあります.下に凸の曲線の面積の下から近似です.これは折れ線は 使えませんから,接線を使うことになります.
右図で,太線とx軸,x=a,x=bで囲まれた面積をa,bの中点

における接線を利用します.
すなわち

となります.しかし,この評価はそれほど良いわけではありません.そのため問題に応じていろいろ考える必要がありますが, 長方形,およびこの方法でだいたい処理できます.
一つ例題を解きましょう.
例題
0<x<aをみたす実数x,aに対し,次を示せ.
    

                               (2008年東大) 解答
右図で黄色の部分の面積は

桃色の線の方の面積は

ちなみに,

よりは

の方が良い評価です.


さて,ここで,表題にもあるPickの定理の話をします.
数学オリンピックの勉強をした人は分かっているかもしれませんが,多くの 生徒は初めてでしょう.

ここでは,頂点が格子点からなる多角形を考えます.
頂点が格子点からなる多角形を格子点多角形といいます.
Pickの定理とは次の内容です.
定理
Sを格子点多角形とする.Sの周上の格子点の個数をn,Sの内部の格子点の個数をmとすると
(Sの面積)

が成り立つ.
証明

数学的帰納法で証明します.
まず,三角形で成り立つことを示します.
(T)直角三角形で直角をはさむ2辺がx軸,y軸と平行のとき.
△OABで辺OA,OBがそれぞれx軸,y軸に平行とします.
辺OA,OB,AB上の両端点を除く格子点の個数をそれぞれa個,b個,c個とします.
△OABの内部に含まれる格子点の個数は,右図の長方形を考えるのうまい方法です.
長方形OACBの内部に含まれる格子点の個数はabより,
△OABの内部に含まれる格子点の個数は(ab−c)/2となります.
△OABの周上の格子点の個数はa+b+c+3個であるから,

=(△OABの面積)


(U)1辺が座標軸と平行なとき.
△OABでOAがx軸と平行なとき.
∠O,∠Aが鋭角なとき証明する.
△OABを右図のように△BOD,△BADに分割する.
辺OD,OB,AD,AB,BD上の両端以外の格子点の個数をそれぞれa,b,c,d,e,
△OBD,△ABDの内部の格子点の 個数をそれぞれf,gとする.
(T)で示したことより,
(△OBDの面積)+(△ABDの面積)

したがってなりたつ.

(U)で∠Oまたは∠Aが鈍角の場合や,3辺とも座標軸と平行でない場合は右の図のように考えれば同様に 示すことが出来る.



n角形まで証明されたとして,n+1角形の場合に成り立つことを証明する.

完全に含まれる対角線ABでn+1角形を分割し,分割したそれぞれの多角形をP,Qとする.
Pの周上の格子点のうち線分ABの内部以外のものの個数をa,Qの周上の格子点のうち 線分ABの内部以外のものの個数をb,線分ABの内部に含まれる格子点の個数をc,P,Qの 内部に含まれる格子点の個数をそれぞれd,eとする.
このとき,P,Qはそれぞれn角形以下の格子点多角形であるから,数学的帰納法の仮定より
(Pの面積)+(Qの面積)

よりn+1角形でも成り立つ.


以上でPickの定理の証明が終了しました.
山梨大学の問題(2)をPickの定理を用いて証明すれば次のようになる.
右の図のように,格子点多角形をつくり,
格子点多角形の内部の点の個数をa,周上の点の個数をbとする.
このとき,Pickの定理より

一方b≦4nより

したがって,

したがって,(2)が証明された.

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