正17角形の作図
平成29年度，京都府立大で正17角形の作図すなわち$\cos \frac{2\pi}{17}$に関する出題がありました．
$\cos \frac{2\pi}{17}$の値は求めれば分かるようにこの値を求めることは入試問題にはなじまない．計算の途中までの出題ですが，
なるほどこれなら高校生でも十分理解できるよくできた問題です．
ここでは$\cos \frac{2\pi}{17}$を求め，作図の可能性について述べ，さらにいくつかの作図不可能問題を解説します．
まず，$\cos \frac{2\pi}{17}$の値を求めましょう．
方程式
$z^{17}=1$
を解くことになる．
解を
$1,z_1,z_2,\dots ,z_{16}$
とおくと
$z_k=\cos \dfrac{2k\pi}{17}+i\sin \dfrac{2k\pi}{17}$
である．
ここで,$z_k$と$z_{17-k}$は共役で，
$1+z_1+z_2+\dots +z_{16}=0$
である.
したがって，
$\theta =\dfrac{2\pi}{17}$
とおくと
$\cos \theta+\cos 2\theta +\dots +\cos 8\theta =-\dfrac{1}{2}$
が成り立つ．
$\cos \theta,\dots ,\cos 8\theta$の値を計算するのですが，計算の方法は，
2組に分け，和と積を計算し，２次方程式の問題に帰着させるです．なお，この方法すなわち２次方程式しか
出てこないということが作図の可能性につながります．
最初が一番面倒です．
$a=\cos \theta+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cos 8\theta ,
b=\cos 3\theta+\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta $
とおく．
$a+b=-\dfrac{1}{2}$
これはすでに示してある．
$ab$の値は少し面倒である．
$2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta)+\cos (\alpha -\beta)$
を用いるが，$\alpha +\beta$と$\alpha -\beta$の表作ると次のようになる．
$\begin{array}{c|cccc}
+&1&2&4&8\\ \hline
3&4&5&7&11=6\\
5&6&7&9=8&13=4\\
6&7&8&10=7&14=3\\
7&8&9=8&11=6&15=2
\end{array}
$
$\begin{array}{c|cccc}
-&1&2&4&8\\ \hline
3&2&1&1&5\\
5&4&3&1&3\\
6&5&4&2&2\\
7&6&5&3&1
\end{array}
$
これらの表から，$1$から$8$までの数がそれぞれ4回現れる．
したがって
$ab=(\cos \theta+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cos 8\theta )
(\cos 3\theta+\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta )$
$=2(\cos \theta+\cos 2\theta +\dots +\cos 8\theta )=-1$
$a,b$は２次方程式
$x^2+\dfrac{1}{2}x-1=0$
の解である．
この方程式を解くと
$x=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{4}$
$a,b$の大小を考え
$a=\cos \theta+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cos 8\theta =\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{4},$
$b=\cos 3\theta+\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta =\dfrac{-1- \sqrt{17}}{4}$
を得る．
次に
$c=\cos \theta+\cos 4\theta ,d=\cos 2\theta +\cos 8\theta $
とおき$c,d$を求める．
$c+d=a=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}=t$
とおく．
$cd=(\cos \theta+\cos 4\theta )(\cos 2\theta +\cos 8\theta )$
$2\cos \alpha \cos \beta =\cos (\alpha +\beta)+\cos (\alpha -\beta)$より
$=\dfrac{1}{2}(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 3\alpha +\cos 4\alpha
+\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha +\cos 8\alpha)$
$=-\dfrac{1}{4}$
したがって，$c,d$は２次方程式
$x^2-tx-\dfrac{1}{4}=0$
の解である．この方程式を解くと
$x=\dfrac{t\pm \sqrt{t^2+1}}{2}$
$c,d$の大小を考え(符号を考えてもよい)
$c=\cos \theta+\cos 4\theta =\dfrac{t+ \sqrt{t^2+1}}{2},$
$d=\cos 2\theta +\cos 8\theta =\dfrac{t- \sqrt{t^2+1}}{2}$
最後に，$\cos \theta,\cos 4\theta$を求める．
$\cos \theta+\cos 4\theta =c$
であるから,
あとは$\cos \theta \cos 4\theta $を求めればよい.
これは少し工夫する．
$(\cos \theta +\cos 4\theta)^2=\cos ^2\theta +2\cos \theta \cos 4\theta
+\cos ^24\theta$
$=\dfrac{2+\cos 2\theta +\cos 8\theta}{2}+2\cos \theta \cos 4\theta$
であるから
$\cos \theta \cos 4\theta =\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{2+d}{4}$
したがって，$\cos \theta,\cos 4\theta$は2次方程式
$x^2-cx+\dfrac{2c^2-d-2}{4}=0$
の解である．
$\cos \theta ,\cos \theta$の大小を考え
$\cos \theta =\cos \dfrac{2\pi}{17}=\dfrac{2c+\sqrt{-4c^2+4d+8}}{4}$
ここで
$t=a=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4},$
$c=\dfrac{t+\sqrt{t^2+1}}{2}
=\dfrac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}$
$d=\dfrac{t-\sqrt{t^2+1}}{2}
=\dfrac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}$
である．
続く(作図の可能性)
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