面積速度一定

力の場$X$のうち,各点のベクトルが原点を向くか,原点を背にするかすなわち
$X(x,y)=\lambda (x,y)$
のとき,この力の場を中心力の場という.

ここでは,中心力の場における粒子の運動を考える.
なお,重力場は中心力の場である.

中心力の場$X$の中で運動する粒子$P(z(t))$が時刻$t_0$から$t$まで線分$OP$が通過する部分の 面積を$A(t)$とする.
$A(t)$を$t$で微分した面積速度を計算しよう.
$|z(t)|=r(t)$の極座標を$(r(t),\theta (t))$とおく.
区間$[t,t+\Delta t]$における$r(t)$の最大値,最小値をそれぞれ$L,l$とすると,軌道 $z(t)=r(t)(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$ は原点を中心とする半径$L,l$の扇形に含まれるから,
$\dfrac{l^2(\theta (t+\Delta t)-\theta (t))}{2\Delta t}\leqq \dfrac{A(t+\Delta t)-A(t)}{\Delta t} \leqq \dfrac{L^2(\theta (t+\Delta t)-\theta (t))}{2\Delta t}$
$\Delta t \to 0$のとき$l,L\to r(t)$であるから
$\displaystyle \dot{A}(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{A(t+\Delta t)-A(t)}{\Delta t} =\dfrac{r(t)^2\dot{\theta}(t)}{2}$


次に粒子$P(z(t))$の加速度ベクトル$\ddot{z}$を求める.
$\overrightarrow{OP}$と同じ向きの単位ベクトルを$i$とし,$i$と$x$軸のなす角を$\theta (t)$とする.
すなわち,$i=(\cos \theta (t),\sin \theta (t)),z(t)=r(t)i=r(t)(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$
$i$を原点の周りに$\frac{\pi}{2}$だけ回転して得られるベクトルを$j$とする.すなわち
$j=(\cos (\theta (t)+\frac{\pi}{2}),\sin (\theta (t)+\frac{\pi}{2}))=(-\sin \theta (t),\cos \theta (t))$
とする.
$z(t)=r(t)i=r(t)(\cos \theta(t),\sin \theta (t))$
$\dot{z}=\dot{r}i+rj\dot{\theta}$
$\ddot{z}=\ddot{r}i+\dot{r}j\dot{\theta}+\dot{r}j\dot{\theta}+r(-i\dot{\theta})\dot{\theta} +rj\ddot{\theta}$
$=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)i+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})j$
$P(z(t))$は中心力の場での運動であるから,ベクトル$j$の係数は$0$である.
$\therefore 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0$
これで面積速度が一定が証明できる.
面積速度の2倍である$2\dot{A}=r^2\dot{\theta}$を$t$で微分する.
$2\ddot{A}=2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}$
$=r(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})=0$
したがって,面積速度$\dot{A}$が一定であることが分かった.
以上をまとめると次の様になる.

定理(面積速度一定)
中心力の場で運動する粒子の軌道は面積速度一定である.面積速度を$h(t)=\dot{A}(t)$ とおくと
$h(t)=\dfrac{r(t)^2\dot{\theta}(t)}{2}$
である.

準備は終了しました,重力場での質量$1$の軌道の微分方程式を作りましょう.
軌道$z(t)$の極座標を$(r(t),\theta (t))$とします.すなわち
$z(t)=r(t)(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$
が成り立ちます.
まず,面積速度が一定より
$h=\dfrac{r^2\dot{\theta}}{2}=(\text{定数})$
したがって$\dot{\theta}\neq 0$より$\theta (t)$は単調関数.したがって$r$は$\theta$の関数.
重力場は保存力の場でありそのポテンシャルエネルギー関数$V$は
$-GM\dfrac{z}{|z|^3}=-\mathrm{grad}(-\dfrac{GM}{|z|})$
より
$V=-\dfrac{GM}{|z|}$
である.
$r=|z|$であり,$u=\dfrac{1}{r}$とおく.このとき
$V=-GMu$ であることに注意する.
次に$P(z(t))$の運動エネルギー$T=\dfrac{|\dot{z}|^2}{2}$を計算する.
以下,面積速度一定を示した時に用いた記号を用いる.
$z=ri$より
$\dot{z}=\dot{r}i+rj\dot{\theta}$
$|\dot{z}|^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2$
角速度$h=\frac{r^2\dot{\theta}}{2}$より
$r\dot{\theta}=2hu$
また$r=\frac{1}{u}$より
$\dot{r}=-\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{d\theta}\dot{\theta}$
($\dfrac{\dot{\theta}}{u^2}=r^2\dot{\theta}=2h$より)
$=-2h\dfrac{du}{d\theta}$
したがって,
$T=\dfrac{1}{2}|\dot{z}|^2=\dfrac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)$
$=\dfrac{1}{2}(4h^2(\dfrac{du}{d\theta})^2+4h^2u^2)$
$=2h^2((\dfrac{du}{d\theta})^2+u^2)$
ここで,$T=E-V=E+GMu$より
$E+GMu=2h^2((\dfrac{du}{d\theta})^2+u^2)\cdots (\sharp)$
両辺を$\theta$で微分すると
$GM\dfrac{du}{d\theta}=2h^2(2\dfrac{du}{d\theta}\dfrac{d^2u}{d\theta ^2}+2u\dfrac{du}{d\theta})$
両辺を$\frac{du}{d\theta}$で割り
$GM=4h^2(\dfrac{d^2u}{d\theta ^2}+u)$
$\therefore \dfrac{d^2u}{d\theta ^2}+u=\dfrac{GM}{4h^2}\cdots (\flat)$
$(\flat)$が求める$z=(r.\theta)$の微分方程式である.
$(\flat)$の一般解は
$u=\dfrac{GM}{4h^2}+c\cos (\theta +\theta _0)$
$\theta _0$は$\theta _0=0$とすればよいが($\theta _0$は何でも形は変わらない),$c$は離心率を決めるので,きちんと求める必要がある.
$c$は
$\dfrac{du}{d\theta}=-c\sin (\theta +\theta _0)$
を$(\sharp)$に代入し
$c=\dfrac{\sqrt{8Eh^2+G^2M^2}}{4h^2}$
求める軌道の方程式は$r=\frac{1}{u}$より
$\dfrac{1}{r}=u=\dfrac{GM}{4h^2}(1+\dfrac{\sqrt{G^2M^2+8Eh^2}}{GM}\cos(\theta +\theta _0))$
$e=\dfrac{\sqrt{G^2M^2+8Eh^2}}{GM}$とおき$\theta _0=0$とすれば,見慣れた
$r=\dfrac{4h^2}{GM(1+e\cos \theta )}$
式からわかるように全エネルギー$E$が正なら離心率$e > 1$より双曲線,$0$なら$e=1$より放物線, 負なら$0 < e < 1$より楕円である.

最後にケプラーの第3法則を示そう.軌道が分かったので簡単である.
軌道が楕円とする.
$\theta =0,\pi$の場合を計算し長軸の長さ$2a$は
$2a=\dfrac{4h^2}{GM}(\dfrac{1}{1+e}+\dfrac{1}{1-e})=\dfrac{8h^2}{GM(1-e^2)}$
$\therefore a=\dfrac{4h^2}{GM(1-e^2)}$
$b^2=a^2-a^2e^2=a^2(1-e^2)$
より
$b=\dfrac{4h^2}{GM\sqrt{1-e^2}}$
楕円の面積を$S$とすると, $S=\pi ab=\dfrac{16\pi h^4}{G^2M^2(\sqrt{1-e^2})^3}$
面積速度は一定でその値は$h$であるから周期$T$は
$T=\dfrac{S}{h}=\dfrac{16\pi h^3}{G^2M^2(\sqrt{1-e^2})^3}$
したがって,
$T^2=\dfrac{16^2\pi^2h^6}{G^4M^4(1-e^2)^3}$
一方,
$(2a)^3=\dfrac{8^3h^6}{G^3M^3(1-e^2)^3}$
$\therefore T^2=\dfrac{\pi ^2}{2GM}(2a)^3$
したがって$T^2$は$(2a)^3$に比例し,比例定数は$\frac{\pi ^2}{2GM}$である.


付記(ポテンシャルエネルギー)
本文で,力の場$X(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$がある関数$V(x,y)$を用いて
$X(x,y)=-(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y})$
と表せるとき,この力の場は保存的であるといい, この関数$V(x,y)$を力の場$X(x,y)$のポテンシャルエネルギー関数と呼ぶ.
と述べているが,これだけでは,ポテンシャルエネルギーの説明が不十分である.ポテンシャルエネルギーの定義に戻り,関数$V(x,y)$が力の場$X(x,y)$の ポテンシャルエネルギー関数になることを説明する.
まず,線積分を理解する必要があるのでそれから説明する.
座標平面$\mathbb{R}^2$で考える.
曲線$C$上で定義された関数$f(x,y),g(x,y)$に関して,曲線$C$上の線積分と呼ぶ
$\displaystyle \int_Cf(x,y)dx+g(x,y)dy$
を次のように定義する.
曲線$C$が$x=\phi (t),y=\psi (t) ,a\leqq t \leqq b$と媒介変数表示されるとき
$\displaystyle \int_Cf(x,y)dx+g(x,y)dy=\int_a^b(f(\phi (t),\psi (t))\phi '(t)+g(\phi (t),\psi (t))\psi '(t))dt$
定義式の右辺は1変数の積分(リーマン積分)である.
交わらない閉曲線を$C$,曲線$C$の内部を$D$とする.このとき,曲線$C$を領域$D$の境界といい$\partial D$と表す.ここで境界の向きは,囲んでいる$D$ を左側に見る方向を正とする.ここでは,$D$が曲線の内部であるから,時計の針の回転と逆の向きを正とする.
線積分について次の定理が成り立つ.
定理(グリーン)
$\displaystyle \int_{\partial D}fdx+gdy=\iint_D(\dfrac{\partial g}{\partial x}- \dfrac{\partial f}{\partial y})dxdy$

この定理は,通常
$\omega =fdx+gdy$
とおき,
$\displaystyle \int_{\partial D}\omega =\iint d\omega$
と書くことが多い.
実際,
$d\omega =d(fdx+gdy)=f_ydy\wedge dx+g_xdx\wedge dy=(g_x-f_y)dx\wedge dy$

力の場のもとで運動する質点は,その質点に$F$の力がかかっているんとき,その力に逆らう方向に距離$d$だけ移動すると, その質点はポテンシャルエネルギー$Fd$を得ると考えます.右図で逆らう方向の力は$-F\cos \theta$です.
たとえば,地球上で,延長方向(上向き)となす角$\theta$の方向に 直線的に$d$だけ動くとき質量$m$の質点の受ける力は$mg\cos \theta$ですから,ポテンシャルエネルギーは$mgd\cos \theta$だけ得ます.$d\cos \theta$ は高さの増加量ですから,通常のポテンシャルエネルギーの定義と一致します.また定義からわかるように, 力の場はベクトルで,移動量をベクトルで表せば,得るポテンシャルエネルギーは,内積で求められることが分かります.
それでは,力の場の中である曲線を移動する質点の得るポテンシャル エネルギーを求めましょう.
曲線$C$の媒介変数表示を
$x=\phi (t),y=\psi (t),a\leqq t\leqq a$
とする.力の場$\overrightarrow{X}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$のもとで, 曲線$C$上を移動するときのポテンシャルエネルギーを区分求積法で求める.
区間$[a,b]$をn等分し
$a=t_0,\dots ,b=t_n;\Delta t=\dfrac{b-a}{n};A_i(\phi (t_i),\psi (t_i))$
とおく. 曲線の$A_{i-1}$と$A_i$の間をベクトル$\overrightarrow{A_{i-1}A_i}$と近似し, 曲線のこの範囲で得るポテンシャルエネルギーは
$-\overrightarrow{A_{i-1}A_i}\cdot \overrightarrow{X}=-(\phi (t_i)-\phi (t_{i-1}))P(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1})) -(\psi (t_i)-\psi (t_{i-1}))Q(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1}))$
平均値の定理をもちいて
$=-(\phi '(\xi _i)P(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1}))+\psi '(\eta _i)Q(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1})))\Delta t$
ただし$t_{i-1} < \xi _i,\eta _i < t_i$
(ポテンシャルエネルギーは場の力に逆らう方向が正であるからマイナスが付く)
曲線$C$全体を動くときの得るポテンシャルエネルギーは
$\displaystyle \sum_{i=1}^n-(\phi '(\xi _i)P(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1}))+\psi '(\eta _i)Q(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1})))\Delta t$
$\displaystyle \to \int_a^b(-P(\phi (t),\psi (t))\phi '(t)-Q(\phi (t),\psi (t))\phi '(t))dt \ \ (n\to \infty)$
線積分に直して
$\displaystyle =-\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy$

例 地表で質量$m$の物体が受ける重力場は$(0,-mg)$です.したがって,曲線$C:x=\phi (t),y=\psi (t),a\leqq t\leqq a$を動いたときの得るポテンシャルエネルギーは
$\displaystyle -\int_C0dx+(-mg)dy=-\int_a^b-mg\psi '(t)dt=mg(\psi (b)-\psi (a))$
高さの差と$mg$の積で,通常のポテンシャルエネルギーと一致することがわかる.

さて,力の場$X=(P(x,y),Q(x,y))$が保存的のとき,すなわち関数$V(x,y)$が存在して
$V_x=-P(x,y),V_y=-Q(x,y)$
が成り立つとき,任意の閉曲線におけるポテンシャルエネルギーを計算しよう.
曲線$C$の囲む領域を$D$すなわち$\partial D=C$のとき,グリーンの定理より
$\displaystyle -\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_CV_xdx+V_ydy=\iint_D(V_{yx}-V_{xy})dxdy=0 \ (\because \text{偏微分は順番によらない})$
これは,任意の2点間のポテンシャルエネルギーの差は2点間を結ぶ曲線によらいないことを示している.逆に言えば,保存的でない力の場では, 2点間のポテンシャルエネルギーの差は結ぶ曲線によって変わってしまいとても扱いづらい ことがわかる.
ポテンシャルエネルギー関数が$V(x,y)$のとき,2点間のポテンシャルエネルギーの差を求めよう. 曲線$C$の媒介変数表示を
$x=\phi (t),y=\psi (t),a\leqq t\leqq b$
とすると
$\displaystyle -\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_CV_xdx+V_ydy$
$\displaystyle =\int_a^b(V_x\phi '(t)+V_y\psi '(t))dt=\int_a^b\dfrac{dV(\phi (t),\psi (t))}{dt}dt$
$=V(\phi (b),\psi (b))-V(\phi (a),\psi (a))$
これで,関数$V(x,y)$が力の場$-\mathrm{grad}V=(-V_x,-V_y)$の ポテンシャルエネルギー関数と呼ばれる理由がはっきりした.

なお,ここで述べた線積分の定義は本質的には同じであるが一般的でない.一般的な定義やグリーンの定理の証明は微分積分学の専門書を参考にしてほしい.

続く



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