ケプラーの法則(2)

$\S3 \ \ $面積速度一定
力の場$\boldsymbol{X}$のうち，各点のベクトルが原点を向くか，原点を背にするかすなわち
関数$\lambda (x,y)$が存在し
$\boldsymbol{X}(x,y)=\lambda (x,y)\boldsymbol{z}(x,y)$
と表せるとき，この力の場を中心力の場という．

ここでは，中心力の場における粒子の運動を考える．
なお，重力場は中心力の場である．

中心力の場$\boldsymbol{X}$の中で運動する粒子$P(\boldsymbol{z}(t))$が時間$t_0$から$t$まで線分$OP$が通過する部分の 面積を$A(t)$とする．
$A(t)$を$t$で微分した値$\dot{A}(t)$を面積速度という．面積速度を計算しよう．
$|\boldsymbol{z}(t)|=r(t)$とし，$\boldsymbol{z}(t)$の極座標を$(r(t),\theta (t))$とおく．
区間$[t,t+\Delta t]$における$r(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$L,l$とすると，軌道 $\boldsymbol{z}(t)=r(t)(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$ は原点を中心とする半径$L,l$の扇形の間に含まれるから，
$\dfrac{l^2(\theta (t+\Delta t)-\theta (t))}{2\Delta t}\leqq \dfrac{A(t+\Delta t)-A(t)}{\Delta t} \leqq \dfrac{L^2(\theta (t+\Delta t)-\theta (t))}{2\Delta t}$
$\Delta t \to 0$のとき$l,L\to r(t)$であるから
$\displaystyle \dot{A}(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{A(t+\Delta t)-A(t)}{\Delta t} =\dfrac{r(t)^2\dot{\theta}(t)}{2}$


次に粒子$P(\boldsymbol{z}(t))$の加速度ベクトル$\ddot{\boldsymbol{z}}$を求める．
$\overrightarrow{OP}$と同じ向きの単位ベクトルを$\boldsymbol{i}$とし，$\boldsymbol{i}$と$x$軸のなす角を$\theta (t)$とする．
すなわち，$\boldsymbol{i}=(\cos \theta (t),\sin \theta (t)),\boldsymbol{z}(t)=r(t)\boldsymbol{i}=r(t)(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$
$\boldsymbol{i}$を原点の周りに$\frac{\pi}{2}$だけ回転して得られるベクトルを$\boldsymbol{j}$とする．すなわち
$\boldsymbol{j}=(\cos (\theta (t)+\frac{\pi}{2}),\sin (\theta (t)+\frac{\pi}{2}))=(-\sin \theta (t),\cos \theta (t))$
ここで
$\dot{\boldsymbol{i}}=\dfrac{d\boldsymbol{i}}{dt}=\boldsymbol{j}\dot{\theta }(t)$
であることに注意する．
$\boldsymbol{z}(t)=r(t)\boldsymbol{i}=r(t)(\cos \theta(t),\sin \theta (t))$
$\dot{\boldsymbol{z}}=\dot{r}\boldsymbol{i}+r\boldsymbol{j}\dot{\theta}$
$\ddot{\boldsymbol{z}}=\ddot{r}\boldsymbol{i}+\dot{r}\boldsymbol{j}\dot{\theta}+\dot{r}\boldsymbol{j}\dot{\theta}+r(-\boldsymbol{i}\dot{\theta})\dot{\theta} +r\boldsymbol{j}\ddot{\theta}$
$=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\boldsymbol{i}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\boldsymbol{j}$
$P(\boldsymbol{z}(t))$は中心力の場での運動であるから，ベクトル$\boldsymbol{j}$の係数は$0$である．
$\therefore 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0\cdots (3.1)$
これで面積速度が一定が証明できる．
面積速度の2倍である$2\dot{A}=r^2\dot{\theta}$を$t$で微分する．
$2\ddot{A}=2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}$
$=r(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})=0 \ \ (\because (3.1))$
したがって，面積速度$\dot{A}$が一定であることが分かった．
以上をまとめると次の様になる．

面積速度一定(ケプラーの第2法則)
中心力の場で運動する粒子の極座標を$(r(t),\theta (t))$とする．このとき，粒子の面積速度$h(t)(=\dot{A}(t))$は
$h(t)=\dfrac{r(t)^2\dot{\theta}(t)}{2}$
でさらに定数である．


$\S4 \ \ $微分方程式を解く
準備は終了しました，重力場での軌道の微分方程式を解きましょう．
前文で述べた微分方程式$(\flat)を導き出します．
$ 軌道$\boldsymbol{z}(t)$の極座標を$(r(t),\theta (t))$とします．すなわち
$\boldsymbol{z}(t)=r(t)(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$
が成り立ちます．
まず，面積速度が一定より
$h=\dfrac{r^2\dot{\theta}}{2}=(\text{定数})$
したがって$\dot{\theta}\neq 0$より$\theta (t)$は単調関数より$r$は$\theta$の関数である．
重力場は保存力の場でありそのポテンシャルエネルギー関数$V$は
$-GM\dfrac{\boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{z}|^3}=-\mathrm{grad}(-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}|})$
より
$V=-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}|}$
である．
$r=|\boldsymbol{z}|$であり，$u=\dfrac{1}{r}$とおく．このとき
$V=-GMu$ であることに注意する．
次に$P(\boldsymbol{z}(t))$の運動エネルギー$T=\dfrac{|\dot{\boldsymbol{z}}|^2}{2}$を計算する．
以下，面積速度一定を示した時に用いた記号を用いる．
$\boldsymbol{z}=r\boldsymbol{i}$より
$\dot{\boldsymbol{z}}=\dot{r}\boldsymbol{i}+r\boldsymbol{j}\dot{\theta}$
$|\dot{\boldsymbol{z}}|^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2$
角速度$h=\frac{r^2\dot{\theta}}{2}$より
$r\dot{\theta}=2hu$
また$r=\frac{1}{u}$より
$\dot{r}=-\dfrac{1}{u^2}\dfrac{du}{d\theta}\dot{\theta}$
($\dfrac{\dot{\theta}}{u^2}=r^2\dot{\theta}=2h$より)
$=-2h\dfrac{du}{d\theta}$
したがって，
$T=\dfrac{1}{2}|\dot{\boldsymbol{z}}|^2=\dfrac{1}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)$
$=\dfrac{1}{2}(4h^2(\dfrac{du}{d\theta})^2+4h^2u^2)$
$=2h^2((\dfrac{du}{d\theta})^2+u^2)\cdots (4.1)$
ここで，$T=E-V=E+GMu\cdots (4.2)$
$(4.1),(4.2)$より
$E+GMu=2h^2((\dfrac{du}{d\theta})^2+u^2)\cdots (4.3)$
両辺を$\theta$で微分すると,$E,h$は定数より
$GM\dfrac{du}{d\theta}=2h^2(2\dfrac{du}{d\theta}\dfrac{d^2u}{d\theta ^2}+2u\dfrac{du}{d\theta})$
両辺を$\frac{du}{d\theta}$で割り
$GM=4h^2(\dfrac{d^2u}{d\theta ^2}+u)$
$\therefore \dfrac{d^2u}{d\theta ^2}+u=\dfrac{GM}{4h^2}\cdots (4.4)$
$(4.4)$が求める$\boldsymbol{z}=(r.\theta)$の微分方程式である．
$(4.4)$の一般解は
$u=\dfrac{GM}{4h^2}+c\cos (\theta +\theta _0)$
$\theta _0$は$\theta _0=0$とすればよいが($\theta _0$は何でも形は変わらない)，$c$は離心率を決めるので，きちんと求める必要がある．
$c$は
$\dfrac{du}{d\theta}=-c\sin (\theta +\theta _0)$
を$(4.3)$に代入し
$c=\dfrac{\sqrt{8Eh^2+G^2M^2}}{4h^2}$
求める軌道の方程式は$r=\frac{1}{u}$より
$\dfrac{1}{r}=u=\dfrac{GM}{4h^2}(1+\dfrac{\sqrt{G^2M^2+8Eh^2}}{GM}\cos(\theta +\theta _0))$
$e=\dfrac{\sqrt{G^2M^2+8Eh^2}}{GM}$とおき$\theta _0=0$とすれば，見慣れた
$r=\dfrac{4h^2}{GM(1+e\cos \theta )}$
式からわかるように全エネルギー$E$が正なら離心率$e > 1$より双曲線，$0$なら$e=1$より放物線， 負なら$0 < e < 1$より楕円である．

$\S5 \ \ $ケプラーの第3法則
最後にケプラーの第３法則を示そう．軌道が分かったので簡単である．
軌道が楕円とする．
$\theta =0,\pi$の場合を計算し長軸の長さ$2a$は
$2a=\dfrac{4h^2}{GM}(\dfrac{1}{1+e}+\dfrac{1}{1-e})=\dfrac{8h^2}{GM(1-e^2)}$
$\therefore a=\dfrac{4h^2}{GM(1-e^2)}$
$b^2=a^2-a^2e^2=a^2(1-e^2)$
より
$b=\dfrac{4h^2}{GM\sqrt{1-e^2}}$
楕円の面積を$S$とすると， $S=\pi ab=\dfrac{16\pi h^4}{G^2M^2(\sqrt{1-e^2})^3}$
面積速度は一定でその値は$h$であるから周期$T$は
$T=\dfrac{S}{h}=\dfrac{16\pi h^3}{G^2M^2(\sqrt{1-e^2})^3}$
したがって，
$T^2=\dfrac{16^2\pi^2h^6}{G^4M^4(1-e^2)^3}$
一方，
$(2a)^3=\dfrac{8^3h^6}{G^3M^3(1-e^2)^3}$
$\therefore T^2=\dfrac{\pi ^2}{2GM}(2a)^3$
したがって次のことが分かる．
ケプラーの第3法則
周期の2乗は長軸の長さの3乗に比例し比例定数は$\frac{\pi ^2}{2GM}$である．


$\S6 \ \ $ポテンシャルエネルギー
ここまで，力の場$\boldsymbol{X}(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$がある関数$V(x,y)$を用いて
$\boldsymbol{X}(x,y)=-(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y})$
と表せるとき，この力の場は保存的であるといい， この関数$V(x,y)$を力の場$\boldsymbol{X}(x,y)$のポテンシャルエネルギー関数と呼ぶ．
と述べているが，このままでは，ポテンシャルエネルギー関数の説明が不十分である． ポテンシャルエネルギーの定義に戻り，関数$V(x,y)$が力の場$\boldsymbol{X}(x,y)$の ポテンシャルエネルギー関数と呼ぶ理由を説明する．
まず，線積分を理解する必要があるのでそれから説明する．
座標平面$\mathbb{R}^2$で考える．
曲線$C$上で定義された関数$f(x,y),g(x,y)$に関して，曲線$C$上の線積分と呼ぶ
$\displaystyle \int_Cf(x,y)dx+g(x,y)dy$
を次のように定義する．
曲線$C$が$x=\phi (t),y=\psi (t) ,a\leqq t \leqq b$と媒介変数表示されるとき
$\displaystyle \int_Cf(x,y)dx+g(x,y)dy=\int_a^b(f(\phi (t),\psi (t))\phi '(t)+g(\phi (t),\psi (t))\psi '(t))dt$
定義式の右辺は1変数の積分である．
交わらない閉曲線(単純閉曲線という)を$C$,曲線$C$の内部を$D$とする．このとき，曲線$C$を領域$D$の境界といい$\partial D$と表す．ここで境界の向きは，囲んでいる$D$ を左側に見る方向を正とする．ここでは，$D$が曲線の内部であるから，時計の針の回転と逆の向きを正とする．
線積分について次の定理が成り立つ．
定理(グリーン)
$\displaystyle \int_{\partial D}fdx+gdy=\iint_D(\dfrac{\partial g}{\partial x}- \dfrac{\partial f}{\partial y})dxdy$

この定理は，通常
$\omega =fdx+gdy$
とおき，
$\displaystyle \int_{\partial D}\omega =\iint_D d\omega$
と書くことが多い．
$d\omega =d(fdx+gdy)=f_ydy\wedge dx+g_xdx\wedge dy=(g_x-f_y)dx\wedge dy$
である．
区間$[a,b]$の端点$a,b$を$\partial [a,b]$,$f(b)-f(a)=\int_{\partial [a,b]}f$と表せば，1変数の定積分
$\displaystyle \int_{[a,b]}f'(x)dx=f(b)-f(a)$
は
$\displaystyle \int_{[a,b]}df=\int_{\partial [a,b]}f$
3次元空間において，領域を$V$，$V$を囲む閉曲面を$\partial V$をすれば，ガウスの定理は
領域$V$で定義された関数$f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)$について
$\displaystyle \iint_{\partial V}(fdydz+gdzdx+hdxdy)=\iiint_{V}(f_x+g_y+h_z)dxdydz$
が成り立つであり
1つの曲面上にある領域$S$がありその境界を$\partial S$とすると，ストークスの定理は
曲面上で定義された関数$f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)$について
$\displaystyle \int_{\partial S}(fdx+gdy+hdz)=\iint_{S}\left((h_y-g_z)dydz+(f_z-h_x)dzdx+(g_x-f_y)dxdy\right)$
が成り立つことである．
ここで
$\eta=fdy\wedge dz+gdz\wedge dx+hdx\wedge dy$
とおくと
$d\eta =f_xdx\wedge dy\wedge dz+g_y dy\wedge dz\wedge dx+h_zdz\wedge dx\wedge dy$
$=(f_x+g_y+h_z)dx\wedge dy\wedge dz$
$\phi =fdx+gdy+hdz$
とおくと
$d\phi =(f_ydy+f_zdz)\wedge dx+(g_zdz+g_xdx)\wedge dy+(h_xdx+h_ydy)\wedge dz$
$=(h_y-g_z)dy\wedge dz+(f_z-h_x)dz\wedge dx+(g_x-f_y)dx\wedge dy$
であり，グリーンの定理，ガウスの定理，ストークスの定理はそれぞれ
$\displaystyle \int_{\partial D}\omega =\iint_D d\omega \ \ $(グリーンの定理)
$\displaystyle \iint_{\partial V}\eta =\iiint_{V}d\eta \ \ $(ガウスの定理)
$\displaystyle \int_{\partial S}\phi =\iint_{S}d\phi \ \ $(ストークスの定理)
となり，外微分を用いるとすっきり表示できる．

力の場のもとで運動する質点は,その質点に$\boldsymbol{F}$の力がかかっているとき，その力に逆らう方向に距離$d$だけ移動すると， その質点はポテンシャルエネルギーを$|\boldsymbol{F}|d$得ると考える． 右図で逆らう方向の力は$-|\boldsymbol{F}|\cos \theta$ですからこの値は
$-|\boldsymbol{F}||\overrightarrow{AB}|\cos \theta =-\boldsymbol{F}\cdot \overrightarrow{AB}$
と内積で表せる．すなわち，$A(x_0,y_0),B(x_1,x_2),\boldsymbol{F}=(F_1,F_2)$のとき
$-(x_1-x_0)F_1-(y_1-y_0)F_2$
となる．

次に力の場の中である曲線を移動する質点の得るポテンシャル エネルギーを求める．
曲線$C$の媒介変数表示を
$x=\phi (t),y=\psi (t),a\leqq t\leqq b$
とする．力の場$\boldsymbol{X}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$のもとで， 曲線$C$上を移動するときのポテンシャルエネルギーを区分求積法で求める．
区間$[a,b]$を$n$等分し
$a=t_0,\dots ,b=t_n;\Delta t=\dfrac{b-a}{n};A_i(\phi (t_i),\psi (t_i))$
とおく． 曲線の$A_{i-1}$と$A_i$の間をベクトル$\overrightarrow{A_{i-1}A_i}$と近似する．
曲線のこの範囲で得るポテンシャルエネルギーは
$-\overrightarrow{A_{i-1}A_i}\cdot \boldsymbol{X}=-(\phi (t_i)-\phi (t_{i-1}))P(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1})) -(\psi (t_i)-\psi (t_{i-1}))Q(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1}))$
と近似しさらに平均値の定理をもちいて
$= -(\phi '(\xi _i)P(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1}))+\psi '(\eta _i)Q(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1})))\Delta t$
ただし$t_{i-1} < \xi _i,\eta _i < t_i$
曲線$C$全体を動くときの得るポテンシャルエネルギーは
$\displaystyle \sum_{i=1}^n-(\phi '(\xi _i)P(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1}))+\psi '(\eta _i)Q(\phi (t_{i-1}),\psi (t_{i-1})))\Delta t$
$\displaystyle \to \int_a^b(-P(\phi (t),\psi (t))\phi '(t)-Q(\phi (t),\psi (t))\psi '(t))dt \ \ (n\to \infty)$
線積分に直して
$\displaystyle =-\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy$
このように，曲線$C$上を移動するときの得るポテンシャルエネルギーは線積分で求められる．


例　地表で質量$m$の物体が受ける重力場は$(0,-mg)$です．したがって，曲線$C:x=\phi (t),y=\psi (t),a\leqq t\leqq a$を動いたときの得るポテンシャルエネルギーは
$\displaystyle -\int_C0dx+(-mg)dy=-\int_a^b-mg\psi '(t)dt=mg(\psi (b)-\psi (a))$
高さの差と$mg$の積で，通常のポテンシャルエネルギーと一致することがわかる．

さて，力の場$\boldsymbol{X}=(P(x,y),Q(x,y))$が保存的のとき，すなわち関数$V(x,y)$が存在して
$V_x=-P(x,y),V_y=-Q(x,y)$
が成り立つとき，粒子が点$A(x_0,y_0)$から$B(x_1,y_1)$まで移動するときの得るポテンシャルエネルギーを調べよう．まず気が付くのは，このポテンシャルエネルギーは経路に よらないことを満たさなければならない．それを調べよう．
$C_1:A\to D_1\to B$の線積分の値と$C_2:A\to D_2\to B$の線積分の値が等しいことを示すには任意の単純閉曲線$C$で
$\displaystyle -\int_{C}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$
を示せばよいがそれはグリーンの定理より得られる
$\displaystyle -\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_CV_xdx+V_ydy=\iint_D(V_{yx}-V_{xy})dxdy=0 \ (\because \text{偏微分は順番によらない})$
よりわかる．

これで，任意の2点間のポテンシャルエネルギーの差は2点間を結ぶ曲線によらいないことがわかった．逆に言えば，保存的でない力の場では， 2点間のポテンシャルエネルギーの差は結ぶ曲線によって変わってしまいとても扱いづらい ことがわかる．
ポテンシャルエネルギー関数が$V(x,y)$のとき，２点$A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)$間のポテンシャルエネルギーの差を求めよう． 2点を結ぶ曲線$C$の媒介変数表示を
$x=\phi (t),y=\psi (t),a\leqq t\leqq b;(x_0.y_0)=(\phi (a),\psi(a)),(x_1.y_1)=(\phi (b),\psi(b)),$
とすると
$\displaystyle -\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_CV_xdx+V_ydy$
$\displaystyle =\int_a^b(V_x\phi '(t)+V_y\psi '(t))dt=\int_a^b\dfrac{dV(\phi (t),\psi (t))}{dt}dt$
$=V(\phi (b),\psi (b))-V(\phi (a),\psi (a))$
$=V(x_1,y_1)-V(x_0,y_0)$
まとめると次のようになる．

単連結な領域で力の場$\boldsymbol{F}$が保存的でそのポテンシャルエネルギー関数を$V$とする．
粒子が$A(x_0,y_0)$から$B(x_1,y_1)$まで移動するとき，得るポテンシャルエネルギーは経路によらず
$V(x_1,y_1)-V(x_0,y_0)$
である．

これでポテンシャルエネルギー関数という呼ぶ理由がはっきりした．
最後に，いくつかの例を挙げる．
例１(保存的でない力の場)
$\boldsymbol{X}=-(x-y,x+y)$のとき，これは$p_y\neq q_x$より保存的な力の場ではない.
$O(0,0)$から$A(1,1)$までの経路
$C_1:y=x (0\leqq x\leqq 1),C_2:y=x^2 (0\leqq x\leqq 1)$
に沿って移動した時の得るポテンシャルエネルギーを計算する．
$\displaystyle \int_{C_1}(x-y)dx+(x+y)dy$
$\displaystyle =\int_0^1(t-t)dt+\int_0^1(t+t)dt=1$
$\displaystyle \int_{C_2}(x-y)dx+(x+y)dy$
$\displaystyle =\int_0^1(t-t^2)dt+\int_0^1(t+t^2)\cdot 2tdt=\dfrac{4}{3}$
得るポテンシャルエネルギーは異なる．





例2(保存的な力の場)
$\boldsymbol{X}=-(2x+y,x+3y)$のとき，これは$p_y=q_x$より保存的な力の場である.
$O(0,0)$から$A(1,1)$までの経路
$C_1:y=x (0\leqq x\leqq 1),C_2:y=x^2 (0\leqq x\leqq 1)$
とする．
$\displaystyle \int_{C_1}(2x+y)dx+(x+3y)dy=\dfrac{7}{2}$
$\displaystyle \int_{C_2}(2x+y)dx+(x+3y)dy=\dfrac{7}{2}$
得るポテンシャルエネルギーは一致する．






次に単連結でない場合を考える．
例3
次に
$\boldsymbol{X}=\left(\dfrac{-y}{x^2+y^2},\dfrac{x}{x^2+y^2}\right)$
を考える．
まずこの力の場は$p_y=q_x$より保存的な場である．
この力の場は原点では定義できないので，原点は除いて考える必要がある．
曲線
$C_r:x^2+y^2=r^2$
に沿った線積分
$\displaystyle \int_{C}\dfrac{-y}{x^2+y^2}dx+\dfrac{x}{x^2+y^2}dy$
を求めよう．
$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$より
$\displaystyle =\int_0^{2\pi}\left(\dfrac{-r\sin \theta }{r^2}(-r\sin \theta )+\dfrac{r\cos \theta }{r^2} r\cos \theta \right)d\theta$
$=2\pi$
となり，半径$r$に関係しない値である．その理由を調べよう．
それはグリーンの定理より導かれる．
すでに，グリーンの定理を述べたが，そのままでは$D$が単連結な領域で成り立つと勘違いしそうなので改めて記す．
定理(グリーン)
閉領域$D$の境界を$(C=\partial D)$とする．このとき
$\displaystyle \int_{C}fdx+gdy=\iint_D(\dfrac{\partial g}{\partial x}- \dfrac{\partial f}{\partial y})dxdy$
が成り立つ．
特に
$\dfrac{\partial g}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial y}$
のとき
$\displaystyle \int_{C}fdx+gdy=0$
である．

ここで領域$D$が単連結な場合だけでなく，右図のような場合も成り立つことに注意する． 境界$C$は
$C=C_1+C_2+C_3$
であり，曲線の向きは$D$を左側に見る向きである．
したがって，図の$C_1$は反時計回り，$C_2,C_3$は時計回りである．
$C_1,C_2,C_3$ともに反時計回りで考えるとき
$\displaystyle \int_{C_1}fdx+gdy=\int_{C_2}(fdx+gdy)+\int_{C_3}(fdx+gdy)$
が成り立つ．
原点を中心とする2円を考えると，
$\displaystyle \int_{C_1}fdx+gdy=\int_{C_2}fdx+gdy$
より，線積分の値は半径によらないことが分かる．
単純閉曲線$C$を考えたとき．もし$C$が原点を含まないときグリーンの定理より
$\displaystyle \int_{C_1}fdx+gdy=0$
であり，もし原点を含むなら，$C$に含まれる原点を中心とする円$C_1$が存在するから
$\displaystyle \int_{C}fdx+gdy=\int_{C_1}fdx+gdy=2\pi$
となる．
このように保存的な力の場で特異点(力が定義できない点)を含むとき，得るポテンシャルエネルギーは 特異点を回る回数で決まる．言い方を変えれば，粒子が戻ってきたとき，ポテンシャルエネルギーを調べれば，特異点を何回回ったかが分かる．


続く



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