7-1 ガウス記号と方程式・不等式

任意の$x$に対して$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表し，この記号$[\ \ ]$をガウス記号といいます．
ガウス記号の処理方法として押さえておきたいことは次の３点です．

$(1) \ \ x-1$＜$[x]\leqq x$
$(2) \ \ [x]=x-c \ \ (0\leqq c$＜$1)$
$(3) \ \ n\leqq x$＜$n+1$のとき$[x]=n$による場合わけ．

極限を求める場合の，アバウトな評価でよいときは（１）または（２）でよい．
概ね（２）の方が処理はしやすいでしょう．
これはすでに格子点と 面積・面積の近似・Pickの定理で扱いました．
しかし，グラフを書いたり，方程式，不等式を解く場合はきちんと求める必要があるので，（３）の方法を利用する．
前半では，ガウス記号を用いた問題の解説をし，後半では素因数分解にガウス記号を利用します．

問題1
任意の実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表し，$\{x\}=x-[x]$とおく．
このとき次の２つの条件
$x^3-4[x]=5$・・・・@
$[x]\cdot \{x\}$＜$x-1$・・・・A
を同時に満たす$x$を求めよ．
（平成２１年上智大）

解答
まず，方程式@を解こう．
$x^3-5=4[x]$
より，
$y=x^3-5, \ \ y=4[x]$
のグラフ交点の$x$座標を求めればよい．
$y=4[x]=f(x)$とおくと，
$f(1)=4,f(2)=8,f(-2)=-8$
より
２≦ｘ＜３のとき$y=4[x]=8$
−２≦ｘ＜−１のとき$y=4[x]=-8$
他の範囲では交わらないから
２≦ｘ≦３のとき
$x^3-5=8$
$\therefore x=\sqrt[3]{13}$
−２≦ｘ＜−１のとき
$x^3-5=-8$
$\therefore x=\sqrt[3]{-3}$

次に不等式Aについて．
$[x]\cdot \{x\}$＜$x-1$
より
$[x]\cdot \{x\}-[x]-\{x\}+1$＜$0$
$([x]-1)(\{x\}-1)$＜$0$
$\{x\}-1$＜0より
$n-1$＞0
$\therefore n\geqq 2$
したがって，求める解は
$x=\sqrt[3]{13}$


以下，任意の実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表し，$x-[x]=\{x\}$と表します．
問題2
正の数$x$が
$\{x\}+\left\{\dfrac{1}{x}\right\}=1$
を満たすなら，$x$は無理数であることを証明せよ．
証明
$x=[x]+\{x\},\ \ \dfrac{1}{x}=\left[\dfrac{1}{x}\right]+\left\{\dfrac{1}{x}\right\}$
であるから，
$x+\dfrac{1}{x}=[x]+\left[\dfrac{1}{x}\right]+{x}+\left \{\dfrac{1}{x}\right \}$
仮定より，
${x}+\left \{\dfrac{1}{x}\right \}=1$
であるから， $x+\dfrac{1}{x}$
は整数である．
一方
$x+\dfrac{1}{x}$
が整数のとき，
${x}+\left \{\dfrac{1}{x}\right \}$
は整数で， $0\leqq \{x\},\left \{\dfrac{1}{x}\right \}$＜$1$
であるから，
$\{x\}+\left \{\dfrac{1}{x}\right \}=0,1$
さらに，
$\{x\}+\left \{\dfrac{1}{x}\right \}=0$
のとき，
$x,\dfrac{1}{x}$
がともに整数より
$x=\pm 1$
したがって，
$\{x\}+\left \{\dfrac{1}{x}\right \}=1 \Leftrightarrow x+\dfrac{1}{x} \text{が整数かつ}x \neq \pm 1$
を得る．
$x+\dfrac{1}{x}=n \ \ (n\text{は整数})$
とおく．
$x^2-nx+1=0$
$x=\dfrac{n\pm \sqrt{n^2-4}}{2}$
$x$が有理数とすると
$\sqrt{n^2-4}$
が有理数．
$n^2-4$が整数より$n^2-4$が平方数．
$n^2-4=k^2 \ \ (k\text{は整数})$ とおく．
$(n-k)(n+k)=4$
ここで，$n-k,n+k$の偶奇は一致する．$(\because m+k=m-k+2k)$
したがって，
$(n+k,n-k)=(2,2),(-2,-2)$
すなわち， $n=\pm 2, \ \ k=0$
となる．
$x+\dfrac{1}{x}=2$
より
$x=1$
これは
${x}+\left \{\dfrac{1}{x}\right \}=0$
である．
したがって，
${x}+\left \{\dfrac{1}{x}\right \}=1$
を満たす$x$は有理数でないこと，すなわち無理数であるあることが証明された．


問題3
方程式
$\left[\dfrac{x}{10}\right]=\left[\dfrac{x}{11}\right]+1$ の整数解を求めよ．
解
$x\leqq 0$のとき
$\dfrac{x}{10}\leqq \dfrac{x}{11}$
であるから，条件を満たす$x$は存在しない．
したがって，$x$は正の整数のとき考えればよい．
$x=10n+m \ \ (n,m\text{は整数,かつ}n\geqq 0,0\leqq m \leqq 9)$
とおく．
$\left[\dfrac{x}{10}\right]=n$
より
$n-1\leqq \dfrac{10n+m}{11}$＜$n$
$11n-11\leqq 10n+m$＜$11n$
$\therefore n-11\leqq m$＜$n \ \ \cdots$@
すなわち，$n$を定めれ@によって$m$の範囲が決まる．
$m$は$0\leqq m \leqq 9$より
$1\leqq n \leqq 20$
さらに@より$m$の範囲が定まる．
すなわち，
$1\leqq n \leqq 9 \text{のとき}x=10n+m \ \ \text{ただし}0\leqq m \leqq n-1$
$n=10,11 \text{のとき}x=10n+m \ \ \text{ただし}0\leqq m \leqq 9$
$12\leqq n \leqq 20 \text{のとき}x=10n+m \ \ \text{ただし}n-11\leqq m \leqq 9$



続く



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