1-3 $\pi$の評価(1) 
もう少し続けます．放物線と直線で囲む図形の面積は$\triangle ANB$の$\frac{4}{3}$になりました．$N$から$AB$ に下した垂線の足を$H$とすると $\triangle ANB=\dfrac{AB\cdot NH}{2}$ で簡単にもとまります． ヒポクラテスは右の図で $a+b=\triangle ABC , \text{三日月形}ABC=\triangle ABC$ を示しました． これは一部の三日月形の面積が作図することができることを示しています． ちなみに，２数$a,b$が与えられたとき，$a+b,a-b$を作図で求めることはあきらかですが， $ab,\dfrac{a}{b},\sqrt{a}$ も求められます．求め方は右下図を利用します． 
$AB\parallel CD$より$1:a=b:c$ $c=ab$ もう一つの図は方べきの定理より $b^2=a$ すなわち$a$の平方根の作図を意味します． 放物線やヒポクラテスの図形は円より複雑です． ですから，図形の基本である円の面積も作図で求められると考えることは自然なことです． さらに，面積を計算するときの基本図形を正方形と考えるなら， 問題 円と同じ面積の正方形を作図せよ は当然解決できると考えることは自然です．この問題は古代ギリシャの３大難問の一つで円積問題と呼びます． 半径$r$の円の面積は$\pi r^2$で面積$\pi r^2$の正方形の１辺の長さは$\sqrt{\pi}r$より 円積問題は$\sqrt{\pi}$すなわち$\pi$が作図できるかどうかに帰着します． この問題は1882年Lindemannによって否定的（作図できない）に解決しました． 次の問題を解き$\pi$の近似値をきちんと調べよう．今まで，$\pi$の近似値は$3.14$と教えらえただけで その根拠は学んでいないと思う．この機会に$\pi$の近似値を計算してみましょう． 問題1 円周率が$3.05$より大きいことを証明せよ． 東京大（2003年） 
解答
円周率は円周の直径に対する割合であるから半径１の円の周の長さは$2\pi$である．もちろん，
円周率を１辺の長さ１の円の面積と定義して議論をすすめてもよい．ここでは，円周率の下からの近似だけでなく，上からの近似もあわせて行う． 円が与えられたとき，円周の長さを$S$,外接多角形の周の長さを$L$,内接多角形の周の長さを$l$ とすると $l < S < L$ が成り立つ．左の不等号は明らか$(AC < \text{弧}AC)$だが，右の不等号は明らかでない． 弧$AD < AE$については， 右図で$OA=1$として考える． 扇形$OAD < \triangle OAE$ より，$\angle AOE=\theta$とおけば $\dfrac{\theta}{2} < \dfrac{\tan \theta}{2}$ したがって$\text{弧}AD < AE$が成り立つ． なおこの不等式は $\dfrac{\sin \theta}{\theta}$の$\theta \to 0$の極限値を求めるときに学んだ不等式 $\sin \theta < \theta < \tan \theta \ \ (0<\theta < \dfrac{\pi}{2})$ である． 
単位円に内接，外接する正$n$角形の周の長さを考える.右図で， $\angle EOA=\dfrac{2\pi}{2n}$ であるから， $l=2n\sin \dfrac{2\pi}{2n},L=2n\tan \dfrac{2\pi}{2n}$ したがって， $2n\sin \dfrac{2\pi}{2n} < 2\pi <2n\tan \dfrac{2\pi}{2n}\cdots (\sharp)$ 問題を解くためには$n$をいくつにするかが問題である，当然計算しやすい$n$を選ぶわけである．$n=6$ では$l=3$となり解決しない． ここでは$n=12$として$(\sharp)の$第１項，第３項を計算しよう． $24\sin \dfrac{\pi}{12}=24\cdot \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=6(\sqrt{6}-\sqrt{2})=6\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$ $\sqrt{2} > 1.414,\sqrt{3} > 1.732$とすれば $24\sin \dfrac{\pi}{12} > 6.210\cdots $ $\therefore \pi > 3.1 >3.05$ 次に上からの評価をしよう． $24\tan \dfrac{\pi}{12}=24(2-\sqrt{3}) < 24(2-1.732)=6.432$ したがって, $\pi < 3.216$を得る． なお， $\tan ^2\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=(2-\sqrt{3})^2$ $\pi$の近似値についての不等式, $n\sin \dfrac{\pi}{n} < \pi < n\tan \dfrac{\pi}{n}$ の第１項，第３項すなわち$n\sin \dfrac{\pi}{n} , n\tan \dfrac{\pi}{n}$の$n$を大きくしたときの収束 状況に興味を持つと思う． パソコンで計算したのが次の値である． スライダーをドラッグすると$n$が$10\leqq n \leqq 1000$の範囲で$10$刻みで変わります， 左の数値，右の数値がそれぞれ $n\sin \dfrac{\pi}{n} , n\tan \dfrac{\pi}{n}$ でデフォルト値（初期値）は$n=10$です． スライダーの横の＋をクリックするとwindowが開き，スライダーは自動で動かせます．動きをゆっくりにして数値を眺めると$\pi$ に収束するのがわかります． この不等式用いて$\pi$の近似を求めるのは効率が悪くとても大変である． 続く 目次 |