15.3 漸化式の極限の基本事項(3)

まず，
$y=\dfrac{x^2+1}{2},y=x$
の共有点をもとめる．
$\dfrac{x^2+1}{2}=x$
$(x-1)^2=1$
$x=1$(重解)
グラフは右図のようになる．
極限値は
$-1\leqq a_1\leqq 1$のとき$a_n\to 1 (n\to \infty)$
$a_1 < -1,1 < a_1$のとき$a_n\to \infty (n\to \infty)$
となることはグラフより読み取れる．($a_1 < 0$のときは$a_2$を考える)
$a_1=0$であるから$a_n\to 1 (n\to \infty)$を示そうとすると簡単ではない．
$a_n$が$n$で表せる（漸化式が解けるという）なら問題ないが，この漸化式は解けない．(漸化式は概ね解けない．一部解ける漸化式だけ数学�Uで扱っていると考えるべき.例えば， $f(x)$が2次式のとき，漸化式$a_{n+1}=f(a_n)$は一般には解けない． それは後で扱う，$a_{n+1}=p-a_n^2$を見ればわかる）. したがって，$a_{n+1}-1$と$a_n-1$の関係式を求める必要がある．
$a_{n+1}-1=\dfrac{a_n+1}{2}-1=\dfrac{a_n+1}{2}(a_n-1)　\dots (\sharp)$
ここで，
$0\leqq a_n < 1$であるから
$\dfrac{a_n+1}{2} < 1$
$a_n$が$1$に近づくとき$\frac{a_n+1}{2}$は$1$に近づくから，
$|a_{n+1}-1| < A |a_n-1|$
となる定数$A \ (0 < A < 1)$は存在しない．
$(\sharp)$のままでは$a_n\to 1 (n\to \infty)$とは言えない．それは例えば
$\dfrac{1}{(1+\dfrac{1}{n})^n}=(\dfrac{n}{n+1})^n\to \dfrac{1}{e} \ \ (n\to \infty)$
のような例がある．
証明は次のように行う．
数列$\{a_n\}$は
$0 \leqq a_n < 1$
を満たす．$( \because f(x)$は$[0,\infty )$で増加関数で$f(0)=\frac{1}{2},f(1)=1$より$x_n$が $0\leqq a_n < 1$のとき
$\frac{1}{2}\leqq a_{n+1}(=f(a_n))<1$.
さらに$0\leqq x < 1$のとき$x < f(x)$であるから
$a_n < a_{n+1}$
が成り立つ．
ここで次の定理を用いる.
定理
上に有界な増加列は収束する．

一方，$f(x)$は連続関数であるから，極限値は方程式
$x=\dfrac{x^2+1}{2}$
の解のいずれかである．この方程式の解は$x=1$であるから
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}=1$
である．

解説
ここで
定理
上に有界な増加列は収束する．

について解説する．
この定理の理解は，高校生が，将来学ぶであろう 数学の厳密性の一部を垣間見ることができるという意味で意味があると思う．
この定理は，実数の連続性の公理より導き出されます．
実数の連続性といってもわかりづらい．
有理数と実数の違いで説明します．
有理数は数直線上密集，これを稠密(ちゅうみつ)という，してますが至る所穴が空いています．いっぽう，実数全体は 穴が空いていない，つながっている，これを実数の連続性といいます．連続性は，極限をすなわち微分を厳密に扱うとき 避けては通れない道です．
連続性をどのように表すか，その答えが 実数の連続性の公理です．
例えば，
数列$\{a_n\}$を
$a_n:\sqrt{2}$を小数で表したとき，小数第$n+1$位以下を切り捨てる
で定義する.
を考えましょう．各項$a_n$は有理数ですが， 極限値は$\sqrt{2}$で有理数ではありません．ですから， 有理数だけを考えているとき，この数列は意味を持ち，収束しますが極限値を持つとはいえません．
実数ではこのようなことは起こらない， すなわち実数では収束する数列の極限値が必ず存在することをいう必要があります．
その問題を解決したのがDedekind(デディキンド）です．
実数の連続性の公理は同値ないろいろな表し方があります．ここでは，目的の定理を証明するのに一番便利な 公理を用います．
定義
$M$を実数の集合とする．$M$の任意の要素$m$に対して$m\leqq A$を満たす$A$が存在するとき，この$A$ を$M$の上界といい，$M$の上界のうち，もし最小のものが存在するとき，その最小の上界を$M$の上限という．

実数の連続性の公理
上に有界（上界が存在する）な実数の集合は必ず上限を持つ．

これだけと思うかもしれませんが，これだけです．この公理によって微分学の基礎が出来 上がったといっても過言ではありません． それはまた後で大家の言を引用するとして，懸案の定理を証明しましょう．
定理
上に有界な増加列は収束する．

証明
数列$\{a_n\}$が上に有界な増加列とする．このとき集合$A=\{a_n|n=1,2,3,\dots \}$は上に有界であるから 実数の連続性の公理より上限を持つ．その上限を$m$とする．
$m_0$を$m_0 < m$を満たす任意の実数とする．$m_0$は$A$の上界でないから，
$m_0 < a_{n_0}$
となる$a_{n_0}$が存在する．$\{a_n\}$は増加数列であるから
$n_0\leqq n $のとき$m_0 < a_{n_0} \leqq a_n \leqq m$
$m_0$は任意であるから($m$より小さい条件でどんなに$m$に近くとってもかまわないという意味)これは
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=m$
を示している．

(証明はわかりづらいでしょう．数列$\{a_n\}$の極限について少し説明します．
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha $
すなわち，$n$を大きくすると限りなく$\alpha$に近づくを数学的にはどのように記述すればよいでしょうか．
すこし考えてみましょう．それは
$\alpha$を含むどんなに小さい開区間をとっても，番号$n_0$がきまり，$a_{n_0}$以降はこの開区間に含まれる
です．数学的に書くと
どんなに小さい正数$\epsilon$を取っても，それに対応してある自然数$n_0$が存在し
$n_0 \leqq n$ならば　$|a_n-\alpha | < \epsilon$
が成り立つ．
となります．いわれてみればなるほどと思うでしょうが，この表し方に辿りつくのには時間がかかったのでしょう．)

例
有理数で考えるなら，上に有界な増加列が収束するとは限りません．
実際，数列$\{a_n\}$を
$a_n:\sqrt{2}$を小数で表したとき，小数第$n+1$位以下を切り捨てる
で定義する.
$A=\{a_n|n=1,2,3,\dots \}$
とすると，$A$の各要素は有理数であり，有界であるが有理数の範囲では上限は存在しない．（実数の範囲では上限は$\sqrt{2}$であるが， $\sqrt{2}$は有理数でない）
また，数列$\{a_n\}$は増加数列でかつ有界であるが，有理数の範囲では収束するとは言えない．

ここで，高木貞治の著書「数学雑談」の中の一部を紹介する．

この公理（実数の連続性の公理）が「長らく考えてついに到達した」デディキンドの連続観である．「連続」の 正体を捕らてみれば，こんなものである．「何だ，つまらないと，大部分の読者が思うだろう」とデディキンドは 言うている．デディキンドの読者の一人として，本稿の筆者(高木貞治)が言うてみれば，第一，数学で公理というものは ，どれもこれは明白なることのようである．一つとして，「何だつまらない」でないものはあるまい．何だ，つまらない 明白な命題は無数にある．その中から，一つの明白なる命題を考慮の後に拾い出して， それを公理と銘打って提出したのである．
・・・
(デディキンドが実数の連続性の公理を発見したのが1858年であることを述べ)その年デディキンドはスイスの大学に聘せられて， 微分法の手ほどきを講ずるに際して，当時微分法の基礎があまりに非科学的であったのに対して従来抱いていた不満足を 一層痛感して，「今度こそ数の概念を確定せずには措くまい」と決心したと言うている．彼の愉悦はどのようであったろう． そのような境地を経験しなくては想像することはできまい．

実数の連続性の公理の発見が微分学の基礎付けの記念碑となるべき事柄であることが理解してもらえると思います．
将来解析学を学ぶとき，必ずこの実数の連続性の公理に出会います．この公理はいろいろな同値な表し方があることはすでに述べましたが(アルキメデスの公理を含む公理や含まない公理があり見かけ以上に内容は深い)， 解析学の本ではこの公理の解説は筆者の実力の見せ所．いくつかの本を読み比べることをお勧めします．

続く(15.4 漸化式の極限(4))

目次
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