15.8　カオス

準備として$f(x)$から，$f\circ f(x)$の増減を読み取ろう．
合成関数の微分の公式
$f(f(x))'=f'(f(x))f'(x)$
より符号を調べてもよいが，ここでは，
$y=f\circ f(x)$
の極値を取る$x$の値，すなわち
$f'(f(x))f'(x)=0$
の$x$の値に注目して調べる．
具体的に調べよう．右図は
$f(x)=p-x^2 \ \ (p=1.714)$のときの
$g(x)=f\circ f(x)$
と置いた
$y=x,y=f(x),y=g(x),y=g\circ g(x)$
である．
$y=g\circ g(x)$
の極値を取る$x$の値を，$y=g(x)$のグラフから読み取る．
$g'(g(x))=0$となる$x$は，$g(x)$が$g(x)$が極値を取る$x$の値のとき．
例えば，図の点$A$の場合，点$A$から$x$軸に垂線を下ろし直線$y=x$との交点を求め，その点を通り，$x$ 軸と平行な直線と$y=g(x)$との交点の$x$座標が$g'(g(x))=0$となる．同様に点$B,C$でも行う．
$g'(x)=0$は$y=g(x)$が極値を取る$x$の値である．
右上のグラフにおいて，$y=g(x)$のグラフ上に$y=g\circ g(x)$が極値となる点を取ってある．

右のグラフは$p=1$のときの
$y=g(x),y=g\circ g(x),y=x$
のグラフで
$A(1,1),B(\sqrt{2},0)$
である．
$g(x)$は$0\leqq x \leqq 1$で単調増加であり
$0\leqq x \leqq 1$のとき$0\leqq g(x) \leqq 1$であるから
$g\circ g(x)$も$0\leqq x\leqq 1$で単調増加．
同様のことより，$0\leqq x \leqq 1$のとき
$g\circ g\circ g\circ g (x)$
を単調増加．
$p < 1$の時も同様で，$0\leqq p \leqq 1$の時は，$g\circ g\circ g\circ g (x)$は２５６次関数， $(g\circ g\circ g\circ g)\circ (g\circ g\circ g\circ g) (x)$は$256^2$次関数であるが $[0.1]$では単調増加関数で問題になることはない．
しかし，$p > 1$の時はそうはいかない．
右図のように，$A$の$y$座標が負であり，$B$が直線$y=x$の上側にあるから， $A,B$の$x$座標をそれぞれ$\alpha (=0),\beta$とすると，区間$(\alpha , \beta)$に2個の極値を持つ．
これより，$0 < p \leqq 1$と$1\leqq p$で状況が大分変ることがわかる．


次に$y=g\circ g(x)$の極値を$y=g(x)$のグラフより読み取ろう．
$g\circ g (0)=g(g(0))$
であるから，$(0,g(0))$を通り$x$軸に平行な直線と直線$y=x$との交点の$x$座標を$\alpha$とすれば
$g\circ g(0)=g(\alpha)$
逆に，右図の$A$と同じ$y$座標である$y=g\circ g(x)$上の点を求めるのは，$A$を通り$y$軸に平行な直線 と$y=x$との交点が$y$座標である$y=g(x)$上の点を求めればよい．4点あるが図では1点だけ記入してある．

さて話題を戻そう．
$a_{n+1}=p-a_n^2$
で定まる数列$\{a_n\}$の$n$が十分大きい時の挙動は$1.4 < p$の時には$256^2$ 次の関数が必要なので簡単でないことはすでに述べた．
ここでは，関数の性質から読み取れることを見ていく．













上の2つの図は
$a_{n+1}=p-a_n^2,a_1=q$
で定まる数列$\{a_n\}$の$p=1.443,q=0$(左図)，$p=1.58,q=0$の場合を表している．
どちらも規則性は感じ取れないが，右図は満遍なく点が打たれているが，左図は$0.4\leqq y \leqq 1$では点がない． この性質をグラフから読み取ろう．
区間$[a,b]$で
$a\leqq f(x)\leqq b$
を満たすとき，$f$の合成関数
$g=f\circ \cdots \circ f$
は区間$[a,b]$で
$a\leqq g(x) \leqq b$
を満たす．この性質を利用する．
右図は$p=1.442$のときの
$y=f(x)=p-x^3,$
$y=g(x)=f\circ f(x)$
$y=h(x)=g\circ g(x)$
である．
$y=h(x)$に注目する．
パソコンで計算することより
$-0.738\leqq x\leqq 0.738$
のとき
$-0.037\leqq h(x)\leqq 0.369$
$\therefore -0.037\leqq h\circ \cdots \circ h(x)\leqq 0.369$
$0.839\leqq x\leqq 1.477$
のとき
$1.036\leqq h(x)\leqq 1.442(=p)$
$\therefore 1.036\leqq h\circ \cdots \circ h(x)\leqq 1.442(=p)$
さらに，
$a_1=0,a_2=p,$
$a_3=-0.637,$
$a_4=1.0357$
であるから，
$-0.637\leqq a_{2n-1}\leqq 0.369$,
$1.036\leqq a_{2n}\leqq 1.422(=p)$
であることが分かる．
具体的に確かめたのが右上の数表．

$p=1.58$の時は$y=h(x)$のグラフは右図になる．
頂点$A$と頂点$B$の$y$座標を比べると，頂点$B$の方が小さいので，隙間ができるようなことは起こらない．

次に別の問題を考える．
$p$が$1.4$を超えると，数列$\{a_n\}$の規則性が読み取れないことはすでに述べたが，途中 いくつかの場合に極限値があるときがある．それを調べよう．
右図は$p=1.48$すなわち，
$a_{n+1}=1.48-a_n^2,a_1=0$
で定まる数列$\{a_n\}$である．
$f(x)=1.48-x^2$
$g(x)=f\circ f(x)$
と置いたときの
$y=x,y=f(x),y=g(x)$
および
$y=g\circ g\circ g(x)$
を描いたのが右図であり，
6点$A,B,C,D,E,F$は
$y=g\circ g\circ g(x),y=x$
の交点である(正確ではないがそれは後で述べる).
右図より，
数列
$a_{n+1}=g(a_n)$
で考えれば（一つ置きで考える），
$A\to B\to C\to A \to \cdots $
$D\to E \to F \to D \to \cdots $
数列
$a_{n+1}=f(a_n)$
の時は，少し複雑であるが
$A\to E\to B\to F \to C \to D\to A \to \cdots $
となっている．
ここまで述べたのは正確ではない．
右図は，数列$\{a_n\}$の
$1001\leqq n \leqq 1050$
の値である．
この値より，
$A,B,C,D,E,F$はそれぞれ２つの値をもつことが分かる．
例えば$A$は$0.527382,0.518386$,$D$は$0.976022,0.980619$.
数列の値の点を取ったグラフよりは６個の極限値を持つように見えるが，実際は12個の極限値を持つ． その極限値は方程式
$(g\circ g\circ g)\circ(g\circ g\circ g)(x)=x$
の解である．

次に
$a_{n+1}=p-a_n^2,a_1=q$
の$p\geqq 2$ の場合を考える．
$\bullet \ \ p=2$のとき
$q < -2,q > 2$の時は
$a_n \to -\infty \ \ (n\to \infty)$
である.
$f(x)=2-x^2$
とおく．
$-2\leqq x\leqq 2$のとき$-2\leqq f(x)\leqq 2$
であり，ある$n$で
$a_n=-2,a_n=1$
になったときのみそれぞれ
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=-2,\lim_{n\to \infty}a_n=1$
となる．それ以外は
$-2 < a_n < 2$
の範囲を無秩序に値をとる．
$y=2-x^2$
を$x$について解くと
$x=\pm \sqrt{2-y}$
より，数列$\{b_n\}$を
$b_{n+1}=\pm \sqrt{1-a_n}, \ \ b_1=-2 \ \cdots (\sharp)$
$b_{n+1}=\pm \sqrt{1-a_n}, \ \ b_1=1 \ \ \cdots (\flat)$
で定め，初項が$(\sharp)$で定まる数列のいずれかの項のとき
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=-2$
初項が$(\flat)$で定まる数列のいずれかの項のとき
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=1$
$-2,1$に収束する場合はあるが，収束する初項の値は可算個しかない.
$\bullet \ \ p > 2$のとき
$y=p-x^2,y=x$
の共有点の$x$座標を$-\alpha ,\beta (-\alpha < \beta)$とする(右図参照)．
$-\alpha =\dfrac{-1-\sqrt{1+4p}}{2}$
より$p > 2$のとき$\alpha < p$
$\gamma$を$f(\gamma)=\alpha, (\gamma > 0)$で定めれば
ある$n$で$-\gamma < a_n < \gamma$を満たすとき
$a_n\to -\infty \ \ (n\to \infty)$
となる．
$-\alpha < a_1 < \alpha$のとき数列$\{a_n\}$は不規則に動くので，
$a_n\to -\infty \ \ (n\to \infty)$
となる．
また，$a_1 < -\alpha ,\alpha < a_1$のときも
$a_n\to -\infty \ \ (n\to \infty)$
となる．
$p=2$の場合と同様に初項が可算個の点で数列$\{a_n\}$の極限値が$-\alpha ,\beta$ となる場合があるがほとんどの場合で
$a_n\to -\infty \ \ (n\to \infty)$
となる．


続く(15.9 ロジスティックモデル)

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