2-3 Buffonの針の問題 
平面図形の重心の定義を行いました．ここではBuffonの針の問題を扱います．
解答のアイデアは重心の定義と似ており，区分求積法を用います．Buffonの針の問題 平面上に間隔$2a$で平行線が引かれている．長さ$2$の針をこの平面に落とすとき， 針が平行線の１つと交わる確率を求めよ(右図は検索サイト 画像(buffonの針)より)． 
解針の中点を$M$とし，$M$と一番近い平行線との距離を$x$とする．$0\leqq x\leqq a$である． 与えられた平行線間に等間隔に$2n-1$本の平行線を引き平行線間を2n等分しそれぞれの領域を $\dots ,A_{2n},A_1,A_2,\dots ,A_{2n},A_1,\dots$ とする． 針の中点$M$がどの領域に属するのも同じ確率であるから（針の落とし方を工夫する必要があるが，この条件は仮定する）， $x$が$A_i$に属する確率は$\frac{1}{2n}$, $x$が$A_i$または$A_{2n+1-i}$のとき $\dfrac{(i-1)a}{n}\leqq x \leqq \dfrac{ia}{n}$ であり，その確率は$\frac{1}{n}$ 
針の重心$M$と一番近い平行線との距離が$x$のとき，$\angle AMB=\theta$ とおけば，$cos \theta=x$であり，針が平行線と交わる確率は $\dfrac{\theta}{\dfrac{\pi}{2}}=\dfrac{2\theta}{\pi}$・・・(1) である． $y=\cos x \ \ (0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2})$の逆関数を$y=\arccos x$とすれば $\theta =\arccos x$ より(1)は $\dfrac{2\arccos x}{\pi}$ 以上の２つの事実より，次のように区分求積法によって求めればよい． なお，関数$y=\arccos x$については解説で述べる． 最初に与えた，平行線間を$2n$等分した領域$A_1,\dots ,A_{2n}$を用いる． 針の中点$M$と一番近い平行線の距離$x$は $\dfrac{(k-1)a}{n}\leqq x \leqq \dfrac{ka}{n} \ \ (k=1,2,\dots ,n)$ のいずれかを満たし，それぞれの起こる確率が$\frac{1}{n}$. さらに，$x$が $\dfrac{(k-1)a}{n}\leqq x \leqq \dfrac{ka}{n}$ を満たすとき，$x\doteqdot \dfrac{ka}{n}$と近似する． 落とした針が平行線と交わるのは $0\leqq x\leqq 1$ すなわち $0\leqq \dfrac{k}{n}\leqq \dfrac{1}{a}$ したがって，求める確率は $\displaystyle \sum_{k\text{は}0\leqq \frac{k}{n}\leqq \frac{1}{a}\text{を満たすもの}}\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{2\theta}{\pi} =\sum_{k\text{は}0\leqq \frac{k}{n}\leqq \frac{1}{a}\text{を満たすもの}}\dfrac{2}{n\pi}\arccos (\dfrac{ak}{n})$ を$n \to \infty$としたときの極限値である． $\displaystyle \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\frac{1}{a}}\arccos ax dx$ ここで， $\displaystyle \int \arccos x=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$ であるから，求める確率は $\displaystyle \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\frac{1}{a}}\arccos ax dx$ $=\dfrac{2}{\pi a}\Bigl[ax\arccos ax-\sqrt{1-(ax)^2}\Bigr]_0^{\frac{1}{a}}=\dfrac{2}{\pi a}$ 
解説1.$y=\cos x \ \ (0 \leqq x \leqq \pi/2)$の逆関数$y=\arccos x$を調べよう． 定義域は$0\leqq x\leqq 1,$値域は$0\leqq y \leqq \pi/2$であり，グラフは$y=\cos x$と直線$y=x$ 関して対称であるから右図である． つぎに$y=\arccos x$の１次導関数，２次導関数を求めよう． $x=\cos y$の両辺を$x$で微分すると $1=-\sin y\cdot y' $ より $y'=-\dfrac{1}{\sin y}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos ^2y}}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ さらに， $y"=-\dfrac{x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$ つぎに$y=\arccos x$の積分をしよう．部分積分を利用する． $\displaystyle \int \arccos xdx=\int 1\cdot \arccos x dx=x\arccos x+\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ $=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$ $y=\arcsin x,y=\arctan x$の微分，積分も同様に計算できる． 2.解の中で，針の中点$M$がどの領域に属するのも同じ確率であるからというのは不自然である． 定点から針を落とすと，二項分布に従う．まんべんなく散らかる針の落とし方は工夫が必要である． 3.求めた確率は$a=2$のとき$\dfrac{1}{\pi}$である．確率に$\pi$が出てくることが重要で， 多くの数学者が，この実験を行っている．下で紹介した石川氏の論文の中に実験の一覧表がある． 
さて，等間隔の平行線に針を落とし，針が平行線と交わる確率を求めたが，針を円板に変えれば問題はだいぶ簡単になる． たとえば平行線間が$a$の格子線に半径$1$の円板を落とすとき（ただし$a > 2$）， 円板が格子線と交わらない確率は， 円板の中心が右図の水色のときであるから $\dfrac{(a-2)^2}{a^2}$ である(後で扱う入試問題を参照)．これでは確率に$\pi$が出てこない． 
そこで，格子線の代わりに格子点にする．すなわち，２点間の距離が$a$の格子点に半径$1$の円板を投げたとき，円板が格子点の上にくる 確率は，円板の中心が右図の緑色のときであるから $\dfrac{\pi}{a^2}$ であるBuffonの針の問題について(石川栄助) ． ここでBuffonの針の問題を題材にした入試問題を見てみよう． 例題 (1) 図1のように，等間隔$h$で格子上に互いに直交する２組の無数の平行線が引いてある平面が与えられている． その上に半径$1$の円$C$を無作為に落とすとき，この円がちょうど２本の線と交わる確率$p$を求めよ． 
(2) 図2のように，半径$\sqrt{2}+1$の円が重複なく，かつ隣り合う円と接して無数に敷き詰められた平面がある． この上に半径$1$の円$C$を無作為に落とすとき，その円$C$が平面上のちょうど３つの円と交わる確率$q$ を求めよ． ただし解答に当たり次のことを用いてよい． 平面上に共に原点$O$を始点とする一次独立な２つのベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ を考え，点$O$と$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ の３つのベクトルの終点の４点を頂点とする平行四辺形を$E$とする．$E$の領域$F$に対して，$F$を $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の整数係数の一次結合$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$によって 平行移動したもの全体の和集合を$D$とする．即ち記号で書くと $D=\{\overrightarrow{x}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}|\overrightarrow{x}\in F,m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{Z}\}$ とおく．ここで$\mathbb{Z}$は整数全体を表す． このとき平面に１点$P$を無作為に落とすとき，：その点が$D$内に落ちる確率は， $F$の面積の平行四辺形 $E$の面積に対する比になっている． (東京大・後期 平成13年(2001年)) 
解答に入る前にいくつか説明する．ベクトル表記は$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のように矢印を用いたが， 数理系の専門書では $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$のように太文字で書く場合が多く， 実際の問題文は太文字で書かれている． ところで，問題文の後半のただし以降の文章の意味が理解できるでしょうか． 右図の意味です．出題者は考える限りわかりやすく書いたのでしょうが， 高校生にはわかりづらい．私が教えている生徒に聞いたところ， $\bullet \ F$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の整数係数の一次結合$m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$によって 平行移動したもの全体の和集合を$D$とする． $\bullet \ \ D=\{\overrightarrow{x}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}| \overrightarrow{x}\in F,m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{Z}\}$ の意味が分からない，と言っていました． 将来，皆さんが数学を勉強するとき，$D$を問題文のように説明してくれる本はあり得ないわけで， $D=\{\overrightarrow{x}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}| \overrightarrow{x}\in F,m\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{Z}\}$ だけで理解しなければなりません． このことからもわかるように，数学のいろいろな知識を勉強することも大切ですが， 数学の素養を身に着けることがより大切なのです． 
解答に入りましょう．解答 (1) $h\leqq 1$のとき，落とした円は必ず4本の直線と交わるから条件を満たさない．$\therefore p=0$ $1 < h \leqq 2$と$2 < h$と場合分けして考える． 円の中心が正方形内のどこに落ちるかに注目すればよい． $\bullet 2 < h$のとき．平行な２線と交わることはない． 平行線から距離が1以下の部分である．すなわち右図の水色の部分に円の中心が 落ちれば条件を満たす．したがって求める確率は $p=\dfrac{4}{h^2}$ である． 
$\bullet 1 < h\leqq 2$のとき平行な直線の一本には必ず交わるが，2本と交わる場合をのぞかなければならない． したがって，右図の黄色の領域に円の落ちれば条件を満たす． 求める確率は $p=\dfrac{4(h-1)^2}{h^2}$ である． (2) まず，２円が交わるための条件を確認しよう． 2円$O,O'$の半径を$R,r \ \ ( r < R),$中心間の距離を$d$とする．このとき２円$O,O'$が交わるための必要十分条件は $R-r\leqq d\leqq R+r$ である．ただし，内接，外接する場合も交わる場合に含む． 
黄色の部分の面積を求めよう． $OA=O"A=\sqrt{2}+2,OO"=2+2\sqrt{2}=\sqrt{2}OA$ より，$\angle AOO"=\pi/4$．したがって$\angle AOB=\pi/6$ 弦$AB$と青色の太円の間の弓形の面積は $\dfrac{1}{12}\cdot \pi (2+\sqrt{2})^2-\dfrac{1}{2}\cdot (2+\sqrt{2})^2\sin \dfrac{\pi}{6}$ $=\dfrac{(2+\sqrt{2})^2(\pi -3)}{12}$ $AB^2=2(2+\sqrt{2})^2-2(2+\sqrt{2})^2\cos \dfrac{\pi}{6}=(2+\sqrt{2})^2(2-\sqrt{3})$ したがって，青色の領域の面積は $\dfrac{\sqrt{3}AB^2}{4}+3\cdot \dfrac{(2+\sqrt{2})^2(\pi -3)}{12}$ $=\dfrac{(2+\sqrt{2})^2(2\sqrt{3}+\pi -6)}{4}$ $\triangle OO'O"$の面積は $\dfrac{\sqrt{3}(2+2\sqrt{2})^2}{4}=\dfrac{\sqrt{3}(2+\sqrt{2})^2}{2}$ であるから，求める確率は $\dfrac{2\sqrt{3}+\pi -6}{2\sqrt{3}}$ 
以上の解答でよいと思うが，解答では，半径１の円が３円と交わる条件だけで，ちょうど３つの円と交わることは
示していない．すなわち，求めた領域に中心があるとき，他の円と交わらないことを示す必要がある．すなわち，右図で，円$O,O',O"$に交わるとき，他の円とは交わらないことを示す必要がある． 3円を囲む円は９個．そのうち，円$A,A',A"$のいずれも，円$O$と半径１の円が 同時に交わることはないことを示せばよい． 円$O$と円$A',A"$は同時に交わる半径１の円が存在しないことは明らか． 円$O$と円$A$の場合を調べればよい． $OA=\sqrt{3}OO'=\sqrt{3}(2\sqrt{2}+2)$ $(\because \angle AOO'=\dfrac{\pi}{6})$ 示したい式は $OA-2(\sqrt{2}+1) > 2$ である． $OA-2(\sqrt{2}+2)$ $=\sqrt{3}(2\sqrt{2}+2)-\sqrt{2}(2+2\sqrt{2})$ $=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{2}+2) > 0$ したがって示された． アルキメデス2の項目終わり(2016年4月) 目次 |