11.１次変換の不動直線と不動楕円 11.4 対称行列と２次曲線(2) 曲線 $ax^2+2hxy+by^2=1$ を調べよう. ここで，用語を一つ定義する． 行列$A$に対して，行と列を入れ替えた行列を$A^T$と表し，行列$A$の転置行列という． 例えば， $A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ のとき$A$の転置行列$A^T$は $A^T= \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ である． さらに，正方行列$A$が $A^T=A$ を満たすとき，対称行列という． ちなみに，2次の正方行列における対称行列は$(1,2)$成分と$(2,1)$成分が等しい行列のことである． 以後，ベクトルは列ベクトルと考え，ベクトルの成分を縦に表すもとのする． $\overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} $ の内積は $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}^T\overrightarrow{v}　\ \ \ $(右辺は行列の積) となる． 行列$A$が$A\neq kE$である対称行列のときの固有値，固有ベクトルを調べよう． $(A\overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}$ $=(A\overrightarrow{u})^T \overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{u}^TA^T\overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{u}\cdot A^T\overrightarrow{v}$ したがって，$A^T=A$のとき任意の$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$に対して $(A\overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot A\overrightarrow{v}$ が成り立つ． 次に対称行列$A$(ただし$A\neq kE$)の固有値，固有ベクトルを調べよう． $A= \begin{pmatrix} a & h \\ h & b \end{pmatrix}$ の固有方程式は $x^2-(a+b)+(ab-h^2)=0$ であり，固有方程式の判別式を$D$と置くと， $D=(a+b)^2-4(ab-h^2)=(a-b)^2+4h^2$＞$0 \ \ (\because A\neq kE)$ したがって，対称行列$A$の固有値は異なる２つの実数である． 次に対称行列の固有ベクトルを調べよう． 対称行列$A$の固有値を$\alpha ,\beta$として，$\alpha ,\beta$に対応する固有ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$とする．すなわち $A\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{u}$ $A\overrightarrow{v}=\beta \overrightarrow{v}$ このとき， $(A\overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}=\alpha \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$ $\overrightarrow{u} \cdot (A\overrightarrow{v})=\beta \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$ 一方，$A$は対称行列より $(A\overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} \cdot (A\overrightarrow{v})$ より $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$ を得る． したがって，対称行列の固有ベクトルは直交していることが分かる． 対称行列の固有ベクトル$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$として単位ベクトルをとる． $\overrightarrow{v}$として，$\overrightarrow{u}$を$\frac{\pi}{2}$回転したベクトルをとれば $P=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})$ は原点の周りの回転を表す行列であり，$\overrightarrow{u}$を$-\frac{\pi}{2}$回転したベクトルとして$\overrightarrow{v}$を とれば$P$は原点を通る直線に関する対称移動を表す行列である． 行列$P$が原点の周りの回転移動か原点を通る直線に関する対称移動のとき，$P$で決まる一次変換によりベクトルの大きさ変えない． すなわち任意のベクトル$\overrightarrow{u}$に対して $|P\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{u}|$ を満たす．一方 $P\overrightarrow{u}\cdot P\overrightarrow{u}=P^TP\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}$ したがって， 任意のベクトル$\overrightarrow{u}$に対して $P^TP\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}$ $\therefore P^TP=E$ これは，行列を成分表示することによっても確かめることが出来る． 対称行列$A$に対して，$A$の固有ベクトルを並べて作った行列$P$を原点の周りの回転移動とすることが出来るので， 対称行列は回転を表す行列$P$で対角化できることが分かった．すなわち，対称行列$A$は回転を表す行列$P$を 用いて $A=P \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} P^T$ と表すことができる． 以上の準備の下で1次の項を含まない２次曲線 $a^2+2hxy+by^2=1$・・・�@ を調べよう． �@は $\overrightarrow{p}= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, A= \begin{pmatrix} a & h \\ h & b \end{pmatrix} $ とおけば $\overrightarrow{p}^TA\overrightarrow{p}=1$ ここで， $A[\overrightarrow{p}]=\overrightarrow{p}^TA\overrightarrow{p}$ によって$A[\overrightarrow{p}]$を定義する． 対称行列$A$が回転を表す行列$P$で対角化できるとき，$\overrightarrow{q}$を $\overrightarrow{q}=P\overrightarrow{p}$ とおけば， $A[\overrightarrow{q}]=A[P\overrightarrow{p}]$ $=\overrightarrow{p}^TP^TAP\overrightarrow{p}$ $=\overrightarrow{p}^T \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \overrightarrow{p}$ これは， $P=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})$ とおけば，直交座標系$\{O;\overrightarrow{e_1} \ \ \overrightarrow{e_2}\}$で表した曲線 $ax^2+2hxy+by^2=1$ は座標軸を回転した新しい直交座標系$\{O;\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}\}$で表せば $\alpha x^2+\beta y^2=1$ になることを意味している． 例 曲線 $5x^2-2\sqrt{3}xy+7y^2=32$ を調べよう． 行列 $A= \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & 7 \end{pmatrix}$ の固有値は方程式 $x^2-12x+32=0$ を解いて， $x=4,8$ 固有値$4$に対応する単位固有ベクトルとして， $\overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ をとり， 固有値$8$に対応する単位固有ベクトルとして， $\overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$ をとる． 行列$S$を $S=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})$ で定義し， $\overrightarrow{e_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{e_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ のとき， $(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})=(\overrightarrow{e_1} \ \ \overrightarrow{e_2})S$ である． ここで，２つの直交座標系$\{O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2} \},\{O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \}$で $x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}=X\overrightarrow{e_1}+Y\overrightarrow{e_2}$ のとき， $x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $=(\overrightarrow{e_1} \ \ \overrightarrow{e_2})S \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $\therefore \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix} =S \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ 曲線 $5x^2-2\sqrt{3}xy+7y^2=32$ は $A\left[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right]=32$ と表せる，この曲線を新しい直交座標系$\{O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \}$ で表した式は，$T=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})$を用いて， $A\left[T \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\right]=32$ であり， $T^TAT= \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} $ であるから， $4x^2+8y^2=32$ 通常２次曲線を扱うとき，原点の周りに回転して，曲線を調べるが，座標軸を回転するここで述べた方が標準的な ２次曲線の扱い方である． 以上の内容を用いることにより，１次の項を含まない２次曲線 $ax^2+2hxy+by^2=1$・・・�@ が分類できる． 行列 $A= \begin{pmatrix} a & h \\ h & b \end{pmatrix}$ の固有値$\alpha ,\beta$を用いて，直交座標を原点の周りに回転することにより， $\alpha x^2+\beta y^2=1$ となる．一方，固有方程式は $x^2-\textrm {tr}(A)x+\det (A)=0$ である．したがって， $\alpha +\beta =\textrm {tr}(A)=a+b$ $\alpha \cdot \beta =\det (A)=ab-h^2$ よって，次の定理を得る． 定理 ２次曲線$ax^2+2hxy+by^2=1$は次のように分類される． $A= \begin{pmatrix} a & h \\ h & b \end{pmatrix}$ とおくと $\bullet \det A$＞$0$のとき �@　$\textrm {tr}(A)$＞$0$なら楕円 �A　$\textrm {tr}(A)$＜$0$なら存在しない $\bullet \det A=0$のとき �@　$\textrm {tr}(A)$＞$0$なら平行な２直線 �A　$\textrm {tr}(A)$＜$0$なら存在しない $\bullet \det A$＜$0$のとき 双曲線 上の定理で楕円，放物線，双曲線以外の場合を退化された場合という．$\det (A)=0$の場合は退化された場合しかないが，$x,y$ の１次の項を含むときは放物線が現れる．このことは，放物線はどのように平行移動しても$x,y$の１次の項を両方消すことは出来ないことを意味するが， これは$x$に$x-a$,$y$に$y-b$を代入して直接確かめることも出来る． 続く 目次