11.１次変換の不動直線と不動楕円 11.2行列の固有値が重解のとき 以下，行列$A$の重解の固有値を$\alpha $とする． $\overrightarrow{v}$を固有ベクトルでないベクトルとする． $(A-\alpha E)^2=0$ より， $\overrightarrow{u}=(A-\alpha E)\overrightarrow{v}$ と置けば，$\overrightarrow{u}$は行列$A$の固有値$\alpha$に対応する固有ベクトルである． 方向ベクトルが固有値$\alpha $に対応する固有ベクトルの任意の直線は， 直線上の任意の点を$\overrightarrow{v},(A-\alpha E)\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}$によって， $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v}+t\overrightarrow{u}$ と表せる． $A\overrightarrow{p}=A\overrightarrow{v}+tA\overrightarrow{u}$ $=(\alpha \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u})+t\alpha \overrightarrow{u}$ $=\alpha \overrightarrow{v}+(1+t\alpha )\overrightarrow{u}$ したがって，不動直線は固有値$\alpha $に対応する固有ベクトルを方向ベクトルの直線のうち $\alpha \neq 1$のときは原点を通る場合だけであり， $\alpha = 1$のときはすべての直線が不動直線である． 命題 行列$A$の固有値が重解の固有値$\alpha $を持つとき，$A$で決まる１次変換による不動直線は $\alpha \neq 1$のとき，固有値$\alpha$に対応する固有ベクトルを方向ベクトルとする原点を通る直線であり， $\alpha =1$のとき，固有値$\alpha$に対応する固有ベクトルを方向ベクトルとする任意の直線である． 続く 目次