11.１次変換の不動直線と不動楕円 11.3対称行列と２次曲線(1) 次に行列$A$の固有値が複素数のときを考える．実数の固有値がないから，不動直線は存在しない． ここでは，不動直線にかわるものとして不動楕円を考える．そのためにいくつかの準備を行う． まず，平面上の2次曲線について復習する． 曲線 $ax^2+2hxy+by^2=1$ を調べるとき，通常は原点の周りにこの曲線を回転し，$xy$の項を消去する方法をとるが，ここでは 座標軸を変える方法をとる． すなわち，通常は基本ベクトル $\overrightarrow{e_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{e_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ を用いて，平面上の点を $x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_1}$ と表し，曲線を$x,y$の関係式で表している． 同様に，平面上の一次独立な２つのベクトル $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ を用いて，平面上の点を $s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}$ と表し，$s,t$の関係式として曲線を表す ことも考えられる．このような座標系を斜交座標系といい$\{O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$と表す． $O$はこの座標系の原点で，$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$をこの座標系の基本ベクトルという． まず同じ曲線を通常の直交座標系$\{O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_1}\}$ で表示した場合と，斜交座標系$\{O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$ で表示した場合の関係を調べよう． $\overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ のとき， $x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}=X\overrightarrow{e_1}+Y\overrightarrow{e_2}$ を成分表示すると $x \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} +y \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ $\therefore \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$ したがって，通常の座標平面すなわち直交座標系$\{O;\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_1}\}$における曲線の方程式 $f(x,y)=0$ を斜交座標系 $\{O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$ で表す式は， $x$に$ax+cy,y$に$bx+dy$を代入すれば得られる． ＜例＞ 原点を中心とする単位円 $x^2+y^2=1$ を $\overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ である，斜交座標系$\{O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\}$ で表すと $\begin{pmatrix} \overrightarrow{u} & \overrightarrow{v} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x+y \\ x+2y \end{pmatrix} $ より，$x$に$2x+y,y$に$x+2y$を代入し $(2x+y)^2+(x+2y)^2=1$ を得る ここで，通常行う原点の回りの回転移動との関係を確認しておこう． 曲線$f(x,y)=0$を原点の周りに$-\theta$回転した図形は, 原点の周りに$\theta$回転する行列を用いて $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{pmatrix}$ より$f(x,y)=0$の式に，$x$に$x\cos \theta -y\sin \theta ,y$に$x\sin \theta +\cos \theta$を代入することに より得られる．一方得られた式は $\overrightarrow{u}= \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}, \overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix}$ である斜交座標$\{O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$による曲線$f(x,y)=0$の表示である． 座標系が回転するか，曲線が回転するかの違いで，$\theta$だけ回転するとき$-\theta$で計算する理由も分かるとおもう． 続く 目次