13-2 逆関数の積分



次に逆関数の積分を考えます.
積分では$y=f(x)$とその逆関数$y=g(x)$が直線$y=x$に関して対称であることがしばしば使われます. ここで考える$f(x)$は定義域,値域ともに正で単調増加であることを仮定します.一般の場合,特に単調減少の場合は 議論を複雑にするだけで最初学ぶときは賢明ではありません. それらは各自必要に応じて考えましょう.

$f(x)$の逆関数を$g(x)$とします.
ここで
$\displaystyle \int_a^bg(x)dx$
を考えましょう.この値は右図の黄色の部分の面積です.
この面積は対称移動した緑色の部分の面積と一致します.
緑色の面積は$y=f(x)$で表せます.すなわち
$\displaystyle \int_a^bxdy$
ここで$x$を$y$で表すと$x=g(y)$で$\int_a^bg(y)dy$と元の式に戻ります.
ここでは $y=f(x)$と置換積分します.
$g(a)=\alpha,g(b)=\beta$とおくと$f(\alpha)=a,f(\beta)=b$であり,
$\displaystyle \int_a^bxdy=\int_{\alpha}^{\beta}xf'(x)dx$
ここで部分積分すれば
$\displaystyle =[xf(x)]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx$
すなわち
(緑色の面積)=$bf(\beta)-af(\alpha)$-(青色の面積)
が出ました.これは当たり前の式です.
これから,
$\bullet \ $逆関数の積分は,対称移動すると元の関数で表すことができる.

$\bullet \ $曲線と$y$軸で挟まれた部分の面積
$\displaystyle \int_a^bxdy$
は逆関数の積分
$\displaystyle \int_a^bg(x)dx$
のことである.

この2点を理解すれば,問題を解くうえで大きな困難はないでしょう.

例 $y=\tan x$の逆関数を$y=g(x)$とする.
$\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}g(x)dx$
を求めよう.
$x=\tan t$とおいて置換積分する.
$\tan \frac{\pi}{4}=1,\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$
$\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}}g(x)dx =\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}g(\tan t)\dfrac{dt}{\cos ^2t}=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}t\cdot \dfrac{dt}{\cos ^2t}$
部分積分し
$=\displaystyle \left[t\tan t\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} -\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\tan tdt$
$=\dfrac{\pi}{\sqrt{3}}-\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\log 2}{2}$
もちろん,面積を対称移動して考えれば,部分積分した後の式になり計算が少し楽になる.

例題1
$y=x+\sqrt{x^2+5}$の逆関数を$y=f(x)$とする.
(1) $f(x)$を求めよ.
(2) 定積分
$\displaystyle \int_{\sqrt{5}}^5f(x)dx$
を求めよ.
(3) 曲線$y=x+\sqrt{x^2+5},x$軸,$y$軸および直線$x=2$で囲まれる部分の面積を求めよ.


(平成26年度大同大)



(1)$y=x+\sqrt{x^2+5}$を$x$について解いて
$x=\dfrac{y^2-5}{2y}$
$x,y$を入れ替えて
$f(x)=\dfrac{x^2-5}{2x}$
(2)$\displaystyle \int_{\sqrt{5}}^5\dfrac{x^2-5}{2x}=5-\dfrac{5\log 5}{4}$
(3)求める値は図の灰色の部分の面積.$y=x$に関して対称移動して
$2\times 5-(5-\dfrac{5\log 5}{4})=5+\dfrac{5\log 5}{4}$


例題2
$x$>$0$を定義域とする関数
$f(x)=\dfrac{12(e^{3x}-3e^x)}{e^{2x}-1}$
について以下の問いに答えよ.
(1)関数$y=f(x) \ (x$>$0)$は実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ.
(2)前問(1)で定められた逆関数を$y=g(x) \ (-\infty$<$x$<$\infty )$とする.このとき,定積分
$\displaystyle \int_8^{27}g(x)dx$を求めよ.
(平成18年度東京大)



(1)
$f'(x)=\dfrac{12e^x(e^{4x}+3)}{(e^{2x}-1)^2}$>$0$
より$f(x)$は$x$>$0$で増加関数.
$f(x)=\dfrac{12(e^x-3e^{-x})}{1-e^{-2x}}\to \infty \ \ (x\to \infty)$
$x\to +0$のとき分母は正の値をとりながら$0$に近づき,分子は$12\cdot (-2)$に近づくので $f(x)\to -\infty \ \ (x\to +0)$
したがって(1)が成り立つ.

(2)求める値は右図の灰色の部分の面積である.
$f(x)=8,27$を解く.
それぞれ,
$e^x=2,e^x=3$
より
$x=\log 2,x=\log 3$
$\displaystyle \int_{\log 2}^{\log 3}\dfrac{12(e^{2x}-3)e^x}{e^{2x}-1}dx$
$t=e^x$とおくと
$=\displaystyle \int_2^3\dfrac{12(t^2-3)}{t^2-1}dt=12\int_2^3(1-\dfrac{1}{t-1}+\dfrac{1}{t+1})dt$
$=12(1+\log 2-\log 3)$
求める値は
$27\log 3-8\log 2-12(1+\log 2-\log 3)=39\log 3-20\log 2-12$


例題3
関数$f(x)=x^3-x^2+x$について,以下の各問いに答えよ.
(1)$f(x)$は常に増加する関数であることを示せ.
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$とおく.$x$>$0$について
$\sqrt[3]{x}-1$<$g(x)$<$\sqrt[3]{x}+1$
が成立することを示せ.
(3)$b$>$a$>$0$について
$0$<$\displaystyle \int_a^b\dfrac{1}{x^2+1}dx$<$\dfrac{1}{a}$
が成立することを示せ.
(4)自然数$n$について,(2)で定義された$g(x)$を用いて
$\displaystyle A_n=\int_n^{2n}\dfrac{1}{g(x)^3+g(x)}dx$
とおくとき,極限値$\displaystyle \lim_{n\to \infty}A_nを求めよ.$

(平成24年度東京医科歯科大)


(1)$f'(x)=3x^2-2x+1 > 0 \ \ (\because D/4=-1)$
したがって,$f(x)$は常に増加する.
(2)$y=\sqrt[3]{x}-1$の逆関数は$y=(x+1)^3$
$y=\sqrt[3]{x}+1$の逆関数は$y=(x-1)^3$
$(x+1)^3-(x^3-x^2+x)$
$=4x^2+2x+1$>$0 \ \ (\because D/4=-3)$
$(x^3-x^2+x)-(x-1)^3$
$=2x^2-2x+1$>$0 \ \ (\because D/4=-1)$
したがって,任意の$x$で
$(x-1)^3$<$x^3-x^2+x$<$(x+1)^3$
逆関数は元の関数を$y$軸側から見たものであるから
$\sqrt[3]{x}-1$<$g(x)$<$\sqrt[3]{x}+1$
が成り立つ.

(3)$0$<$\displaystyle \int_a^b\dfrac{1}{x^2+1}dx$<$\displaystyle \int_a^b\dfrac{1}{x^2}dx =\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$<$\dfrac{1}{a}$
(4) $\displaystyle \int_n^{2n}\dfrac{1}{g(x)^3+g(x)}dx$
$x=f(t)$とおく.$f(g(n))=n,f(g(2n))=2n$より
$\displaystyle =\int_{g(n)}^{g(2n)}\dfrac{f'(t)}{t^3+t}dt$
$\displaystyle =\int_{g(n)}^{g(2n)}\dfrac{3t^2-2t+1}{t^3+t}dt$
$\displaystyle =\int_{g(n)}^{g(2n)}(\dfrac{3t+1}{t^3+t}-\dfrac{2t}{t^3+t})dt$
$\displaystyle = \log \dfrac{g(2n)^3+g(2n)}{g(n)^3+g(n)}-2\int_{g(n)}^{g(2n)}\dfrac{1}{x^2+1}dx$
$n\to \infty$の時の極限を求める.
まず第1項について
(2)の結果より
$\sqrt[3]{n}-1$<$g(n)$<$\sqrt[3]{n}+1$
$h(n)=g(n)-\sqrt[3]{n}$とおけば$-1$<$h(n)$<$1$.
同様に
$k(2n)=g(2n)-\sqrt[3]{2n}$とおけば$-1$<$k(2n)$<$1$.
$g(n)=\sqrt[3]{n}+h(n),g(2n)=\sqrt[3]{2n}+k(2n)$より
$\dfrac{g(2n)^3+g(2n)}{g(n)^3+g(n)}= \dfrac{(\sqrt[3]{2n}+k(n))^3+ (\sqrt[3]{2n}+h(2n))}{(\sqrt[3]{n}+h(n))^3+(\sqrt[3]{n}+h(n))}\to 2 \ \ (n\to \infty)$
$\because \text{分子,分母展開し最高次に注目}$
次に第2項の極限について.
(3)より
$\displaystyle \int_{g(n)}^{g(2n)}\dfrac{1}{x^2+1}dx$<$\dfrac{1}{g(n)}$<$\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}-1}$
$\therefore 0$<$\displaystyle \int_{g(n)}^{g(2n)}\dfrac{1}{x^2+1}dx$<$\dfrac{1}{\sqrt[3]{n}-1}$ $\displaystyle \therefore \lim_{n\to \infty}\int_{g(n)}^{g(2n)}\dfrac{1}{x^2+1}dx=0$
以上より求める極限値を$\log 2$である.


次の問題は,出題者の意図とは少し異なりますが,逆関数を用いると解答が一本道です.
例題4
$-1\leqq x\leqq 1$で定義された関数$y=f(x)$は次の@,Aを満たしている.
@ $\sin f(x)=1-x^2$ A $0\leqq f(x) \leqq \dfrac{\pi}{2}$
(1) $y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2) $y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(平成3年(1991年)京都大・後期,一部改)

$y=\sin x \ \ (0\leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2})$の逆関数を$y=g(x)$とすると$f(x)=g(1-x^2)$.
$y=g(x)$の導関数を求める.
$y=g(x)$の定義域は$0\leqq x \leqq 1$で値域は$0\leqq y \leqq \dfrac{\pi}{2}$である. また$g(0)=0,g(1)=\dfrac{\pi}{2}$である.
$y=g(x)$より$x=\sin y$
両辺を$x$で微分すると
$1=\cos y y'$
$\cos y \geqq 0$より
$y'=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin ^2y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\therefore g'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f'(x)=g'(1-x^2)(-2x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-(1-x^2)^2}}=\dfrac{-2x}{\sqrt{2x^2-x^4}}$
場合分けして議論を進めた方が間違いがない.
$0\leqq x \leqq 1$のとき
$f'(x)=\dfrac{-2}{\sqrt{2-x^2}}$
$f"(x)=\dfrac{-2x}{\sqrt{(2-x^2)^3}}$
$-1\leqq x \leqq 0$のとき
$f'(x)=\dfrac{2}{\sqrt{2-x^2}}$
$f"(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{(2-x^2)^3}}$
$x=0$では微分可能でない.
$x=0$を除いた$-1 \leqq x < 0,0 < x \leqq 1$における 増減表は次のようになる.
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x &-1 &\cdots& 0 & \cdots & 1 \\ \hline g'(x) & & + &\diagup & - & \\ \hline g"(x)& & - & \diagup & - & \\ \hline g(x) & 0 & \nearrow \text{&}\frown &\frac{\pi}{2} & \searrow \text{&}\frown & 0 \\ \hline \end{array}$

(2) $y=f(x)=g(1-x^2)$は$y$軸に関して対称である.求める面積を$S$とすると
$\displaystyle S=2\int_0^1g(1-x^2)dx$
$g(x)$は$\sin x$の逆関数であるから
$\sin \theta =1-x^2 \ \ (0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2})$
と置換積分をする.
$x:0 \to 1$のとき$\theta :\frac{\pi}{2}\to 0$である. さらに,$1-x^2=\sin \theta$より
$x^2=1-\sin \theta =(\sin \frac{\theta}{2}-\cos \frac{\theta}{2})^2$
$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$および$0\leqq x$より
$x=\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}$
$\dfrac{dx}{d\theta}=\dfrac{1}{2}(-\sin \frac{\theta}{2}-\cos \frac{\theta}{2})$
したがって
$\displaystyle S=2\int_{\frac{\pi}{2}}^0\theta(-\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\theta}{2} -\dfrac{1}{2}\cos \dfrac{\theta}{2})d\theta$
$\displaystyle =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta (\sin \dfrac{\theta}{2}+\cos \dfrac{\theta}{2})d\theta$
$=4\sqrt{2}-4$

解説
出題者はここで考えた解答は意図していない.実際の問題文は次のようになっている.
(1) $x$を$y$の関数として表し,$y=f(x)$のグラフを描け.

出題者の意図にしたがって解けば次のようになる.
(1)の解答
$y=f(x)$とおく.
$x^2=1-\sin y=(\sin \dfrac{y}{2}-\cos \dfrac{y}{2})$
$0 \leqq x \leqq 1$のとき
$x=\cos \dfrac{y}{2}-\sin \dfrac{y}{2}=\sqrt{2}\cos (\dfrac{y}{2}+\dfrac{\pi}{4})$
$-1 \leqq x \leqq 0$のとき
$x=-(\cos \dfrac{y}{2}-\sin \dfrac{y}{2})=-\sqrt{2}\cos (\dfrac{y}{2}+\dfrac{\pi}{4})$
(2)の面積は置換積分が必要なく単純な積分計算である.
$\displaystyle 2\int_0^1\sqrt{2}\cos (\dfrac{y}{2}+\dfrac{\pi}{4})dy=4\sqrt{2}-4$


つぎは逆関数ではないのですが関連しているので付け加えました.面白い問題です.
例題5
$k$>$0$とする.$xy$平面上の2曲線
$y=k(x-x^3), \ x=k(y-y^3)$
が第1象限に$\alpha \neq \beta$となる交点$(\alpha ,\beta)$を持つような$k$の範囲を求めよ.

(1989年度東京大)

$y=k(x-x^3), \ x=k(y-y^3) \cdots (\sharp)$
より$k$を消去すると
$\dfrac{y}{x-x^3}=\dfrac{x}{y-y^3}$
この式を整理すると
$(x-y)(x+y)(x^2+y^2-1)=0$
$x,y$はともに正で$x\neq y$より
$x^2+y^2=1$
これは,$(\sharp)$を共に満たす,第1象限にあり$x\neq y$である$(x,y)$は存在すれば単位円$x^2+y^2$上に あることを意味している.
与えられた2式の差をとれば
$y-x=k(x-y-(x^3-y^3))$
$x\neq y$より
$k(1-x^2-xy-y^2)=-1$
$x^2+y^2=1$であるから
$\therefore xy=\dfrac{1}{k}$
円$x^2+y^2=1$と双曲線$xy=\dfrac{1}{k}$は$y=x$の交点における接線の傾きは同じで,上に凸4と下に凸であるから, $k=2$のとき接し,$2$<$k$のとき交わる.したがってもとめる$k$の範囲は$2$<$k$.

解説
この問題からわかるようの$y=f(x)$とその逆関数$y=g(x)$の交点は$y=x$上にあるとは限らない.この例題を出すまでもなく, これは直線$x+y=k$を考えれ明らかである.
2曲線
$y=k(x-x^3), \ x=k(y-y^3)$
を表すと次のようになる.

(スライダーをドラッグすると媒介変数$k$が変わり,スライダーの右の+をクリックすると小さな コントロールパネルが開き,連続的に変化させることができます.グラフは
$y=k(x-x^3),x=k(y-y^3),x^2+y^2=1,kxy=1$
でデフォルト値(初期値)は$k=1$
です.$k$を大きくすると$kxy=1$が現れます.
もし,画面にGet the Wolfram CDF Player とあらわれたら,画面をクリックしCDF Playerをインストールしてください.
ブラウザによって差があるので,うまくいかないときはほかのブラウザをお試しください. ブラウザの差が実感できると思います)


最後に関数について一言述べます.
関数$y=2x+1$とは対応が2倍し1加えるということです.それを次にように表します.
$x\xrightarrow{\text{2倍して1加える}}y$
対応が大事なので$x,y$はどうでもいいことなのです.
ですから $s=2t+1$や$x=2y+1$も同じ関数です.たとえば
$\displaystyle f(x)=\dfrac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt$
で被積分関数$f(t)$と計算した式である$f(x)$は同じ関数です.
高校では混乱するので,定義域側の変数は$x$を値域側の変数は$y$を使うようにしています.
ですから, $y=2x+1$
を$x$について解いた
$x=\dfrac{y-1}{2}$
が逆関数です.全く問題ないのです.将来慣れてきたらこの扱いになりますが, 今はやはり$x,y$を交換して
$y=\dfrac{x-1}{2}$
とするほうがよいでしょう.
(逆関数の項目終わり)



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