2-1 球の体積(アルキメデスの求積)


ここでは，アルキメデスによる球の体積の求め方について述べる．
力のモーメントを用います．力のモーメントといっても棹秤(さおばかり)の性質です． すなわち，棹ばかりの重さを無視すれば右図でつり合いがとれていれば
$OA=a,OB=b$のとき
$am=bn$
が成り立つことです．

それではアルキメデスの方法に入ろう．
線分$SC$の中点を$A$とし，$AC$を直径とする円$O$を書く．

$AC$に垂直な直径を$BD$とし，直線$AB,AD$の延長と円$O$の点$C$における接線との交点をそれぞれ $B',D'$とする．$B'D'$を底辺，高さが$CA$の長方形を$K'B'D'L'$とする．
線分$AC$上に任意に点$M$をとり，$M$を通り$AC$に垂直な直線と直線，円との交点を右図のように $K,G,E,F,I,L$とする．
円$O$の半径を$r,AM=ME=x,MG=y$とすると,方べきの定理より
$x(2r-x)=y^2$
$\therefore x^2+y^2=2rx$
アルキメデスはこの式を次のように見ました．
両辺に$2\pi r$をかけて
$2r\cdot (\pi x^2+\pi y^2)=x\cdot \pi (2r)^2$
$\cdots (\sharp )$
としました．ここで，上の図の長方形$K'B'D'L'$，円$O$，$\triangle AB'D'$を$AC$の周りに回転した 円柱，球，円錐を$AC$に垂直な平面で薄く切ったものを考えましょう．
$(\sharp)$は$AC$上の点$M$におけるそれぞれの円板すなわち，半径$x$の円板(黄色)， 半径$y$の円(黄緑色)，および半径$MK$の円板(緑色)が点$A$を支点とし て釣り合っていることを示している．
ですから，球と円錐は薄く切ったものは$S$で吊るし，円柱を薄く切ったものは点$M$で吊るせば釣り合います． $M$を$A$から$C$まで移動し，切ったものを集めていく．
円柱の点$A$の周りの鉛直方向のモーメントは，円柱の重心$O$に円柱の体積を置いたものと考えるから
半径$r$の球の体積を$V$とおくと，
$2r\cdot (\dfrac{1}{3}\pi (2r)^2\cdot 2r+V)=r\cdot \pi(2r)^2\cdot 2r$
$\therefore V=\dfrac{4\pi r^3}{3}$
いかがでしょうか．以上がアルキメデスの考えた方法です．

アルキメデスのすごさがわかったのではないでしょうか． アルキメデスはここで用いたモーメント（てこの原理）は気に入っていたのでしょう． 「私に１つの足場を与えたならば，地球をも動かして見せる」といったと伝えられています．
アルキメデスは，球の体積の公式が特に気に入ったそうで，彼の墓標に右の図が刻まれていたそうです．
墓標の正確な図は
幾何学大辞典5 522ページ
にありますので機会があったらご覧ください．


球の体積を求めるアルキメデスの方法はちょっと分かりづらい．高校の教科書ではガバリエリの原理を用いる 方法が採用されている．

カバリエリの原理
２つの立体に対して，１つの平面が存在し，その平面に平行な平面で切ったとき，切り口の面積が 等しいならば，２つの立体の体積は等しい．

を用います．

積分を学べばこの原理がすっきり理解できます．
立体が与えられたとき，ある軸に垂直な平面で切った切り口の面積を$S(x)$とすると， 立体の体積は$\int_a^bf(x)dx$で与えられるのですが
体積を求めるのに，切り口の面積$S(x)$だけが必要で形は何で も構わないことにも目を向けることとが重要で，それがガバリエリの原理です．

原点を中心とする半径$r$の半球を$xy$平面上の置いて考えます．この球を平面$z=t$で切ったとき の切り口の図形は半径$\sqrt{r^2-t^2}$ の円であるから，面積は$\pi (r^2-t^2)$です．
実際，右図で$A(0,0,t),OB=r$より
$AB=\sqrt{r^2-t^2}$
したがって，平面$z=t$で切った切り口の面積が$\pi (r^2-t^2)=\pi r^2-\pi t^2$となる 立体が見つかれば，半球の 体積が求まります．比較的簡単に見つかります．それは，底面の半径$r$，高さ$r$の直円柱から 底面の半径$r$高さ$r$の直円錐を逆さにしたものをくりぬいたものです．
実際右図を見ればわかると思います．
したがって，半径$r$の半球の体積$V$は
$V=\pi r^2\cdot r-\dfrac{\pi r^2\cdot r}{3}=\dfrac{2\pi r^3}{3}$
よって半径$r$の球の体積は$\dfrac{4\pi r^3}{3}$である．


球の体積は以上で求められるようになりました．

アルキメデスは球の表面積は次のように求めました．
半径$r$の球の表面を微小部分に分割する．右図は，緯線と経線で分割したもの．微小部分の面積を $S_1,S_2,\dots ,S_n$ とする．球の中心$O$から面$S_i$に下した垂線の長さを$h_i$とする．球の体積，表面積をそれぞれ$V,S$ とする．このとき，$V$は
$V\doteqdot \sum_{i=1}^n\dfrac{1}{3}\cdot S_ih_i$
と近似できる．分割を小さくする，すなわち$n \to \infty$のとき, 各$h_i$は$h_i \to r$で$S_1+\dots +S_n\to S$であるから
$V=\dfrac{Sr}{3}$・・・(1)
$V=\dfrac{4\pi r^3}{3}$より
$S=4\pi r^2$

アルキメデスは球の表面積を求めるこの方法について次のように述べている．
関係式(1)が成り立つ理由として
「任意の円が,円周に等しい底辺と，半径に等しい高さをもつ三角形に等しいから，任意の球は ，その球の表面積に等しい底面と，球の半径に等しい高さを持つ円錐に 等しいと予想されるからである」
(科学の名著　アルキメデス　朝日出版社　132ページ)
すでに述べた，放物線と直線で囲まれた領域の面積の取り扱いは19世紀以降の現代的な方法である． 一方極限の厳密な取り扱いが確立したのはやはり 19世紀で，アルキメデスは関係式(1)は正しいことではあるが， 厳密性には不安があり，きちんと証明したとは考えていなかったことがわかる．
きちんと証明されたことしか証明できたと考えない．自然科学の研究者としては当たり前のことではあるが， 超一流の証しである．


続く(球欠と球冠)



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