ギリシャの三大作図問題

先ず1から始めよう．
一辺の長さ$a$の立方体が与えられたとする．$a$は作図可能な数である．
このとき，この立方体の２倍の体積は$2a^3$より 一辺の長さは$\sqrt[3]{2}a$である．
したがって，$\sqrt[3]{2}$が作図できるかどうかがこの問題の本質です．
この問題は簡単に解決します．
実際，$\sqrt[3]{2}$は方程式
$x^3-2=0$
の解です．この方程式は有理数を解に持つなら$\pm 1,\pm 2$だけですが共に解でないから，有理数解を 持たない．したがって，$\sqrt[3]{2}$は作図できない．

次に，2を考える．
これは三等分できる角があるではありません．
角の二等分のように任意の角が与えられたときその角が三等分きるかといいう問題です．
まず，二等分から考えましょう．
$\cos 2\theta =a$のとき
$\cos \theta =\sqrt{\dfrac{1+a}{2}}$
である．したがって，$2\theta$が与えられたら$\theta$は作図可能である．

つぎに三等分を考える．
$\cos 3\theta =a$のとき
$\cos 3\theta =4\cos ^3\theta -3cos \theta$
であるから
$4x^3-3x=a$
が有理数の解をもつときに限り作図できる．
たとえば$a=0 \ (3\theta =\frac{\pi}{2}),a=-1 \ (3\theta =\pi)$は 作図できる．
一般には，三等分できないことは示すには例を一つ挙げればよい．
ここでは$3\theta =\frac{\pi}{3}$を考える．
このとき
$4x^3-3x=\dfrac{1}{2} \ \cdots (\sharp)$
$8x^3-6x-1=0$
$y=2x$とおくと
$y^3-3y-1=0$
有理数で解となり得るのは$\pm 1$だけで，ともに解でない．
したがって，$(\sharp)$は有理数の解をもたないので，$\frac{\pi}{3}$ の三等分は作図できない，
角の三等分はできるとはいえないことが証明された．

最後に３を考えます．
半径$a$の面積は$\pi a^2$であるから等面積の正方形の一辺の長さは $\sqrt{\pi}a$です． したがって，$\sqrt{\pi}$の作図可能性を調べれば解決します．
$\sqrt{\pi}$が作図可能なら$\pi$は作図可能であるし，逆に$\pi$ が作図可能なら$\sqrt{\pi}$も作図可能です．
ですから，$\pi$が作図できるかどうかがこの問題の本質です．
ここで，作図の可能性で述べた
数$\alpha$が作図可能なら，$\alpha$は有理数係数の$2^n$次 方程式の解である．
に注目しましょう．
当然
数$\alpha$が作図可能なら，$\alpha$はある有理数係数の$n$次 方程式の解である．
が成り立ちます．対偶をとり
数$\alpha $がいかなる有理数係数の方程式の解にも ならないとき$\alpha$は作図不可能である
となる．
ここで述べたいかなる有理数係数の方程式の解にも ならない数を超越数という．
この問題は1882年F.Lindemannが$\pi$が超越数 であることを証明し解決した．
すなわち，Lindemannの証明をもって，円積問題は不可能であると解決されました．
私は，残念ながら超越数に関して論ずることができません． $\pi$が超越数であることの証明については
藤原松三郎著　代数学第２巻　　内田老鶴圃
が優れています．

目次