大学入試問題

8-5 伸開線

定義
曲線$C^*$が曲線の$C$の縮閉線のとき，曲線$C$を曲線$C^*$の伸開線という

曲線$C(x(s),y(s))$ただし，$s$は弧長，があたえられたとき，その伸開線$C^*(x^*(s),y^*(s))$を求めましょう．
伸開線上の点は，元の曲線の接線上にあるから
$(x^*(s),y^*(s))=(x(s),y(s))+a(s)(x'(s),y'(s))$
と表せる．
伸開線の接ベクトルは
$({x^*}'(s),{y^*}'(s))=(x'(s),y'(s))+a'(s)(x'(s),y'(s))+a(s)(x"(s),y"(s))$
$=(x'(s),y'(s))+a'(s)(x'(s),y'(s))+a(s)k(s)(-y'(s),x'(s))$
$({x^*}'(s),{y^*}'(s))\perp (x'(s),y'(s))$であるから(縮閉線の定義)
$0=({x^*}'(s),{y^*}'(s))\cdot (x'(s),y'(s))=1+a'(s)$
したがって，
$a'(s)=-1$
$a(s)$は初期条件$a(0)=s_0$を与えれば$a(s)=s_0-s$
$(x^*(s),y^*(s))=(x(s),y(s))+(s_0-s)(x'(s),y'(s))\cdots (\sharp)$

曲線$C(x(s),y(s))$の伸開線の方程式$(\sharp )$の意味を考えよう．
曲線$(x(s),y(s))$は弧長変数であることに注意する．
右図で$A(x(0),y(0))$とする．$B(x(s),y(s))$とすれば
$\text{弧}AB=s$
さらに，$|(x'(s),y'(s))|=1$であるから
$AP=s_0$
また，
$\text{弧}AB+BQ=s+(s_0-s)=s_0$
したがって
点$A$を固定し，接線である線分$AP$をゆるまないようひっぱりつつ曲線$C$に沿って巻きつけたときの端点$P$の軌跡が曲線$C$ の伸開線である．
逆に，与えられた曲線に巻きついた紐をはがしていったときできる端点の軌跡と考えてもよく，実際にはこの方が分かりやすい（下の例を参照）．
曲線$C$上の点$A$と長さ$AP$を定めれば伸開線が決まり１つには定まらない．このように，縮閉線と伸開線は微分と不定積分の関係に似ている．
実際に伸開線を求めてみよう．

例
原点を中心とする単位円の伸開線を求めよう．

右図の青色の線が伸開線である.

円の伸開線$(x^*,y^*)$の方程式は驚くほど簡単です．
右図で，$\text{弧}AB=BP$である．
$\angle BOA=t$とおけば
$B(\cos t,\sin t),\overrightarrow{BP}=t(\sin t,-\cos t)$
より
$x^*(t)=\cos t+t\sin t,y^*(t)=\sin t-t\cos t$

伸開線は実用面でも利用される．
上の図を見てみよう．$(-1,0)$から伸びた長さ$\pi$の線分の端点に重りをつけたとき，重りの動く範囲は伸開線の周および内部であり，この性質を利用して作られたのが歯車の形です．なお，歯車(ウィキペディア)に解説とともに面白い動画があります．

伸開線を表す式は簡単ですが，弧長を求めるのが簡単ではありません．ですから，古い微分幾何の教科書を見ても，伸開線のグラフはあまり見かけません．ほとんどが縮閉線を求めるものになっています．
しかし，パソコンで伸開線を描くのはとても簡単です．
楕円$C(2\cos t,\sin t)$の伸開線をパソコンで書いてみました．楕円の弧長はいわゆる楕円積分でどうなるかなと思ったら時間はかかりますがまったく問題なく描けました(下図)．

伸開線は応用範囲が広そうです．皆さんもパソコンで書いてみたらいいと思います．さらに，それが何かに役にたてたらそれはすごいことです．若い皆さんこそよいアイディアがありそうです．

曲率の項目終わり(2016年4月)