11.１次変換の不動直線と不動楕円 11.5不動楕円 逆行列が存在する１次変換による原点を中心とする単位円の像は，１次変換を表す行列の逆行列を $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ とすると， $(ax+by)^2+(cx+dy)^2=1$・・・@ したがって， $(a^2+c^2)x^2+2(ab+cd)xy+(b^2+d^2)y^2=1$ ここで， $(a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2=(ad-bc)^2$＞$0 \ \ \ (\because A$は逆行列が存在する$)$ $a^2+b^2+c^2+d^2$＞$0$ であるから曲線@は楕円である，したがって，原点を中心とする単位円の像は楕円であることが分かった．これは，単位円の像の面積 が有限，実際は行列式の絶対値倍である．面積が有限な２次曲線は楕円だけであるから，当たり前の事実である． 逆に，原点を中心とする任意の楕円は，長軸を$2R$,短軸の長さを$2r$とすると， $\begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R & 0 \\ 0 & r \end{pmatrix}$ で決まる一次変換による原点を中心とする単位円の像である． 原点を中心とする単位円の媒介変数表示は $\overrightarrow{p}=\cos \theta \overrightarrow{e_1}+\sin \theta \overrightarrow{e_2}$ であるから，原点を中心とする楕円の媒介変数表示は $\overrightarrow{p}=\cos \theta \overrightarrow{u}+\sin \theta \overrightarrow{v}$ であることが分かった．ただし，$\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}$は1次独立なベクトルである． いま，行いたい事をもう一度確認しよう． 成分が実数である行列$A$の固有値が複素数のとき，不動直線は存在しないので，不動直線にかわるものとして不動楕円を考える．その不動楕円を 求めようというのが本稿の趣旨である． $\overrightarrow{p_0}$を中心とする楕円は $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_0}+\cos \theta \overrightarrow{u}+\sin \theta \overrightarrow{v}$ であり，この楕円の$A$による像は $A\overrightarrow{p}=A\overrightarrow{p_0}+\cos \theta A\overrightarrow{u}+\sin \theta A\overrightarrow{v}$ より，$A\overrightarrow{p_0}$を中心とする楕円である．この楕円が$A$の不動楕円なら $A\overrightarrow{p_0}=\overrightarrow{p_0}$ であり，$A$の不動点は原点以外存在しないから $\overrightarrow{p_0}=\overrightarrow{0}$ したがって，次が成り立つ． 命題 不動楕円が存在するならその不動楕円の中心は原点である． 成分が実数の行列$A$の固有値が複素数$\alpha \pm \beta i$のとき，行列$A$で決まる一次変換により面積は$|\det A|$になる．したがって， $A$が不動楕円を持つなら $|\det A|=1$ でなければならない． 一方固有方程式は $x^2-(\textrm{Tr}A)x+\det A=0$ であるから $\det A=(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i)=\alpha ^2+\beta ^2$ $\therefore \alpha^2+\beta ^2=1$ したがって，次が成り立つ． 命題 固有値が複素数$\alpha \pm \beta i$である実数成分の行列の定める１次変換が不動楕円を持つなら $\alpha ^2+\beta ^2=1$ である． この命題の逆を示すことが目的である． 行列の固有値$\alpha \pm \beta i$が$\alpha ^2+\beta ^2=1$のとき固有値は $\cos \theta \pm \sin \theta i$ と置いてよい．行列$A$は行列 $P=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})$ が存在して $AP=P \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ と表せる．この式は，$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$を基本ベクトルとする 斜交座標系 $\{O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\}$で$A$で定まる１次変換を考えると $\begin{pmatrix} t \\ s \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ s \end{pmatrix} $ を意味する．したがって， 楕円 $\overrightarrow{p}=k\cos \phi \overrightarrow{u}+k\sin \phi \overrightarrow{v} \ \ (k$＞$0)$ はこの１次変換の不動楕円である． 逆に原点を中心とする楕円$C$が不動楕円のとき， $A(C)=C$ 一方， $A=P \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}P^{-1}$ より $\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}P^{-1}(C) =P^{-1}(C)$ したがって，$P^{-1}(C)$は原点を中心とする円$(\because \theta \neq 0,\pi)$より $\overrightarrow{p}=k\cos \theta \overrightarrow{e_1}+k\sin \theta \overrightarrow{e_2} \ \ \ (k$＞$0)$ したがって，不動楕円は $\overrightarrow{p}=k\cos \phi \overrightarrow{u}+k\sin \phi \overrightarrow{v} \ \ (k$＞$0)$ である． 以上で次の定理が証明された． 定理 実数成分の行列$A$の固有値が複素数$\alpha +i\beta$のとき，ある行列 $P=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})$ が存在して $AP=P \begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix}$ と変形できる． $A$で決まる１次変換で不動楕円が存在するのは $\alpha ^2+\beta ^2=1$ が成り立つときだけで，そのときの不動楕円は $\overrightarrow{p}=k(\cos \theta \overrightarrow{u}+\sin \theta \overrightarrow{v})$ であり，この楕円だけに限る． 注意 楕円の族 $\overrightarrow{p}=k(\cos \theta \overrightarrow{u}+\sin \theta \overrightarrow{v}) \ \ (k$＞$0)$ を１つのものと考え，楕円の像が同じ族に含まれれば，その族が不動楕円であるという定義にすれば定理の条件の $\alpha ^2+\beta ^2=1$の条件が除かれ，すべての固有値複素数の行列が定める１次変換に不動楕円が存在することになる． 例 $A=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$ の固有値は$\frac{1}{\sqrt{2}}\pm \frac{i}{\sqrt{2}}$である． 行列$A$の不動楕円を求めよう． ここでは固有値$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}$を用いる． $A-\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}E=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 2-i & 1 \\ -5 & -2-i \end{pmatrix}$ は，逆行列が存在しない． 固有値$\frac{1+i}{\sqrt{2}}$の固有ベクトルとして $\overrightarrow{z}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2+i \end{pmatrix} $ をとる． $\overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と置けば， $\overrightarrow{z}=\overrightarrow{v}+i\overrightarrow{u}$ であり， $A\overrightarrow{u}=\dfrac{\overrightarrow{u}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{2}}$ $A\overrightarrow{v}=-\dfrac{\overrightarrow{u}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\overrightarrow{v}}{\sqrt{2}}$ したがって， $A(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}) =(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}) \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4}\\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} $ これは，平面上の点$P(\overrightarrow{p})$を $\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}$ と表せば，１次変換$A$は $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4}\\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ となることを意味している． したがって，楕円 $\overrightarrow{p}=k(\cos \theta \overrightarrow{u}+\cos \theta \overrightarrow{v})$ が不動楕円である． この楕円は $x=k\sin \theta ,y=k(\cos \theta -2\sin \theta )$ であるから，$\theta$を消去して $5x^2+4xy+y^2=k^2$ (この項目終わり) 目次 |