10.行列の固有値と固有ベクトルと1次変換 10.3 固有値が虚数のとき 行列$A$の固有方程式 $x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0$ が虚数解$\alpha +\beta i$を持つとき， $A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ を満たす実数$k$，実数が成分のベクトル$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$は存在しない．しかし， 成分が複素数の行列，ベクトルで考えれば，行列$A$の固有値を$\alpha +\beta i$とすると $A\overrightarrow{z}=(\alpha +\beta i)\overrightarrow{z}$・・・@ を満たす$\overrightarrow{z}(\neq \overrightarrow{0})$が存在する． そこで，$\overrightarrow{z}$の成分を実部と虚部に分け $\overrightarrow{z}=\overrightarrow{v}+i\overrightarrow{u}$ とすると， $A(\overrightarrow{v}+i\overrightarrow{u})=(\alpha +i\beta )(\overrightarrow{v}+i\overrightarrow{u})$・・・@ $=(\alpha \overrightarrow{v}-\beta \overrightarrow{u})+i(\beta \overrightarrow{v}+\alpha \overrightarrow{u})$ $\therefore A\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v}, A\overrightarrow{v}=-\beta \overrightarrow{u}+\alpha \overrightarrow{v}$ $\bigl($@の両辺の共役をとると $A(\overrightarrow{v}-i\overrightarrow{u})=(\alpha -i\beta )(\overrightarrow{v}-i\overrightarrow{u})$ より固有値$\alpha -i\beta $は考える必要がない$\bigr)$ 行列で表すと， $A(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}) \begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix} $ $P:=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})$ とおけば $AP=P \begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix} $ $\therefore A=P \begin{pmatrix} \alpha & -\beta \\ \beta & \alpha \end{pmatrix} P^{-1}$ さらに， $k=\sqrt{\alpha ^2+\beta ^2}, \alpha =k\cos \theta ,\beta =k\sin \theta$ で$k,\theta$を定めれば， $A=kP \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} P^{-1}$ となる． 例で確かめよう． $A= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -5 & -1 \end{pmatrix}$ の固有値は$1\pm i$である． ここでは固有値$1+i$を用いる． $A-(1+i)E= \begin{pmatrix} 2-i & 1 \\ -5 & -2-i \end{pmatrix}$ は，逆行列が存在しない． 固有値$1+i$の固有ベクトルとして $\overrightarrow{z}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2+i \end{pmatrix} $ をとる． $\overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ と置けば， $\overrightarrow{z}=\overrightarrow{v}+i\overrightarrow{u}$ であり， $A\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ $A\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ したがって， $A(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}) =(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}) \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})\sqrt{2} \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4}\\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} $ すなわち， $P= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ と置けば $A=\sqrt{2}P \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4}\\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix}P^{-1}$ (この項目終わり) 11.１次変換の不動直線と不動楕円 目次 |