15.5 漸化式の極限の基本事項（5）
漸化式
$a_{n+1}=f(a_n)$
で定まる数列$\{a_n\}$の極限について，関数$f(x)$が多項式，無理関数，分数関数のときは解決しました．
残されたのは，$f(x)$が三角関数や指数・対数関数のときです．
解き方を振り返ると
$f(x)=x$の解の中から極限値$\alpha$を定め，
$a_{n+1}-\alpha =f(a_n)-f(\alpha)$
の右辺から$a_n-\alpha$をくくりだす．これは多項式なら因数定理で，
分数式や無理式のときは分子を多項式にすればうまくいきました．
$f(a_n)-f(\alpha)=g(a_n)(a_n-\alpha)$
を
$\dfrac{f(a_n)-f(\alpha)}{a_n-\alpha}=g(a_n)$
と書き直せば，一般の関数で成り立つ
$\dfrac{f(a_n)-f(\alpha)}{a_n-\alpha}=f'(c) \ \ (\alpha < c < a_n )$
すなわち，平均値の定理に思い至ります．(なお，ここでは$a_n > \alpha$の場合を考えている)
もう一つ注意することがあります．
一般には，方程式
$f(x)=x$
は解けません．ですから，解が存在することを示す必要があります．
その時に用いるのが中間値の定理です．
中間値の定理
関数$f(x)$が閉区間$[a,b]$で連続であって，$f(a)\neq f(b)$のとき，$f(a)$と$f(b)$の間の任意の値$A$
に対して
$f(c)=A \ \ (a < c < b)$
を満たす$c$が少なくとも一つ存在する．
次の形で使われることが多い．
関数$f(x)$が閉区間$[a,b]$で連続であって，$f(a),f(b)$が異符号($f(a)f(b) < 0$)のとき，方程式$f(x)=0$
は開区間$(a,b)$に少なくとも一つの解をもつ．
平均値の定理，中間値の定理を使う機会はあまり多くありません．この機会に教科書や使い慣れた参考書を読み返すとよいでしょう．
それでは問題を解きましょう．
例題4
$f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$
とする．
数列$\{a_n\}$が
$a_1=0,a_{n+1}=f(a_n)$
を満たすとき，次の問に答えよ．
(1) 方程式$f(x)=x$はただ一つの解を持つことを証明せよ．
以下(1)の解を$\alpha$とする．
(2) $0\leqq a_n < \alpha$を証明せよ．
(3) 数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．
解答
まず，$y=f(x)$のグラフを調べる．
$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x)=1,\lim_{x\to \infty}f(x)=0$
および
$f'(x)=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} > 0$
であるから，$f(x)$は$y=0,y=1$が漸近線の単調増加の関数．$y=f(x),y=x$を合わせて書くと右図．
なお，指数関数を含む関数をパソコンでグラフで書くとしばしば図のように直線に近くなる．したがって，
凹凸はグラフからは読み取れないことが少なくない．
(1) $F(x)=x-f(x)$
とおく．
$F'(x)=1-\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}=\dfrac{e^{2x}+e^x+1}{(e^x+1)^2} > 0$
より，$F(x)$は全域で単調増加．
$F(0)=-\dfrac{1}{2},F(1)=1-\dfrac{e}{e+1} > 0$
$F(x)$は連続であるから，$F(x)$はただ一つの解を開区間$(0,1)$にもつ．
(2) 数学的帰納法で示す．
(@) $a_1=0$より，$n=1$のとき成り立つ．
(A) $n=k$のとき成り立つと仮定する．すなわち$0\leqq a_k < \alpha$を仮定する．
このとき,$f(x)$は単調増加より
$f(0)\leqq f(a_k) < f(\alpha)$
$f(0)=\dfrac{1}{2},f(a_n)=a_{n+1},f(\alpha )=\alpha$
より
$0\leqq a_{k+1} < \alpha$
したがって，$n=k+1$の時も成り立つ．
(@)，(A)よりすべての自然数$n$で
$0\leqq a_n < \alpha$
が成り立つ．
(3) 平均値の定理を用います．
$a_{n+1}-\alpha =f(a_n)-f(\alpha)=f'(c)(a_n - \alpha) \ \ \ (0\leqq a_n < c <\alpha < 1)$
を満たす$c$が存在する．
$\therefore |a_{n+1}-\alpha|=|f'(c)||a_n-\alpha|$
$f'(x) > 0$で
$f''(x)=-\dfrac{e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^3}$
であるから
$f'(x)$は$0\leqq x$で単調減少．したがって，
$0\leqq x < 0$で$0 < f'(x)\leqq f'(0)=\dfrac{1}{4}$
したがって
$|a_{n+1}-\alpha|\leqq \dfrac{1}{4}|a_n-\alpha|$
$\therefore 0 < |a_n-\alpha | \leqq (\dfrac{1}{4})^{n-1}|a_1-\alpha|$
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\dfrac{1}{4})^{n-1}|a_1-\alpha|=0$
であるから，はさみうちの原理より
$\displaystyle |a_n-\alpha|=0$
$\displaystyle \therefore \lim_{n\to \infty}a_n=\alpha$
漸化式の極限についての基本事項は終了しました．以上の内容を必要に応じて
読み返しましょう．あとは，入試問題を解きましょう．関数の形を調べたり，近似計算をする等
やることがいくつか必要になります．この経験により少しずつ地力がついていきます．
続く(15.6 減少関数の場合)
目次
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