11. 1次変換の不動直線と不動楕円 行列の固有値，固有ベクトルは，行列の対角化のために用いられますが，それより，行列を１次変換と見たとき，固有ベクトルを 用いると，１次変換が分かりやすくなります．これが，固有値，固有ベクトルを学ぶ目的です． これから，１次変換を固有値，固有ベクトルを用いて見直していきますが，あわせて，不動直線も 解説します． 議論は固有方程式の判別式を$D$とすると， $D$＞$0,D=0,D$＜$0$ によって,さらに固有値が$1$であるかどうかで変わります．場合分けして調べていきます． 11.1 行列の固有値$\alpha,\beta$が実数で異なるとき$(D$＞$0)$ 行列 $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ で決まる１次変換は，平面上の点を，基本ベクトル $\overrightarrow{e_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{e_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $ を用いて， $x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$ と表せば， $x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2} \mapsto (ax+by)\overrightarrow{e_1}+(cx+dy)\overrightarrow{e_2}$ のことです．これを成分に注目して表したのが，通常用いる $(x,y) \mapsto (ax+by,cx+dy)$ すなわち $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ です．これでは点の移動がどのようになっているか分かりません． 一方，行列$A$の固有値を$\alpha ,\beta$とし，それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$とすれば， この１次変換は $x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v} \mapsto \alpha x\overrightarrow{u}+\beta y\overrightarrow{v}$ となります．これを成分で表すと $(x,y) \mapsto (\alpha x,\beta y)$ となり，これなら点がどのように動くかが分かります． 右図は$\alpha =2,\beta =3$で$\overrightarrow{u}$は$\overrightarrow{OQ}$と同じ向きのベクトルで， $\overrightarrow{v}$は$\overrightarrow{OR}$と同じ向きのベクトルです． 平面上の点は通常$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$をもちいて表すが，新しい２つの１次独立なベクトル $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$を用いて１次変換を表せば分かりやすくなるということです． この立場で $A=P\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & l \end{pmatrix}P^{-1}$ を見てみましょう． $AP=P\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & l \end{pmatrix}$ より $P=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})$ で$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$を定めれば， $A\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u},A\overrightarrow{v}=l\overrightarrow{v}$ であるから $A$で決まる１次変換は，平面上の点を$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$で表示すれば $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & l \end{pmatrix}$ で決まる１次変換になるということです． もう少し一般的に書けば， $\begin{cases} A\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{v} \\ A\overrightarrow{v}=\gamma \overrightarrow{u}+\delta \overrightarrow{v} \end{cases}$ $\Longleftrightarrow$ $P= \begin{pmatrix} \overrightarrow{u} & \overrightarrow{v} \end{pmatrix}$とおけば $AP=P \begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \\ \end{pmatrix}$ です．これは後で，固有値が複素数のとき用いられます． 次に，一次変換による不動直線を調べましょう． 不動直線を調べることは，１次変換の理解を深めることになります． まず１次変換の不動直線の定義をします． 定義 直線$l$上のすべての点が行列$A$で決まる１次変換$f$により$l$上の点にうつるとき，直線$l$を１次変換$f$の 不動直線という． この定義を読めば分かるように，直線の像が同じ直線であるというだけではなく，直線上の点が同じ直線上の １点に移る場合も不動直線に含めます．これは，逆行列が存在しない１次変換のときにおこります． 以下，行列$A$の固有値を$\alpha ,\beta$とする． $\bullet \ \ \alpha ,\beta \neq 1$のとき． 直線を $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{p_0}+t\overrightarrow{u}$ と媒介変数表示すれば， $A\overrightarrow{p}=A\overrightarrow{p_0}+tA\overrightarrow{u}$ であるから，不動直線の方向ベクトルは固有ベクトルであることが分かる． さらに，$\overrightarrow{p_0}=\overrightarrow{0}$なら不動直線である． すなわち，不動直線の方向ベクトルは固有ベクトルであり，さらに，原点を通る固有ベクトルが方向ベクトルの直線は必ず 不動直線である． したがって，不動直線の問題は，方向ベクトルが固有ベクトルの直線のうち，原点を通らない 直線が不動直線になるかどうかを調べることである． 固有値$\alpha ,\beta$のそれぞれの固有ベクトルは１次独立であるから， 方向ベクトルが固有ベクトル$\overrightarrow{u}$である任意の直線は， $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_0}+t\overrightarrow{u}$・・・�@ と表せる．ただし，$\overrightarrow{v_0}$は$\overrightarrow{u}$と異なる方向の固有ベクトル． $A\overrightarrow{p}=A\overrightarrow{v_0}+tA\overrightarrow{u}$・・・�A �@と�Aが一致する $\Longleftrightarrow$ $(A\overrightarrow{v_0}-\overrightarrow{v_0})\parallel \overrightarrow{u}$ $\Longleftrightarrow$ $(A-E)\overrightarrow{v_0}\parallel \overrightarrow{u}$ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v_0}$は１次独立で，固有値が$1$でないから， $\overrightarrow{v_0}=\overrightarrow{0}$ すなわち，不動直線は原点を通る場合に限ることが示された． なお，固有値が$0$のときは，固有値$0$の固有ベクトルを方向ベクトルとする原点を通る直線の像は原点 であるが，この直線も不動直線である． まとめると次のようになる． 命題 行列$A$の固有値が異なる２つの実数であり，ともに$1$でないとき，$A$で決まる１次変換の不動直線は， 原点を通る固有ベクトルを方向ベクトルとする直線だけである． $\bullet \ \ \text{固有値が}1,\alpha$のとき． $1$を固有値に持つとき，少し様子が異なる． 行列$A$が$1$を固有値に持つとき，$1$に対応する固有ベクトル$\overrightarrow{u}$は $A\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$ を満たすから，固有値$1$に対応する固有ベクトルとは行列$A$の不動点のことである． したがって， $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ について， 行列$A$が原点以外の不動点を持つ $\Longleftrightarrow$ 行列$A$が$1$を固有値に持つ $\Longleftrightarrow$ $1-(a+d)+(ad-bc)=0$ を満たす． 不動直線を調べよう． すでに述べたように，方向ベクトルが固有ベクトルのうち，原点を通らない場合に不動直線になるかどうかを調べればよい． 方向ベクトルが固有ベクトル$\overrightarrow{u}$である任意の直線は， $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{v_0}+t\overrightarrow{u}$・・・�@ と表せる．ただし，$\overrightarrow{v_0}$は$\overrightarrow{u}$と異なる方向の固有ベクトル. $A\overrightarrow{p}=A\overrightarrow{v_0}+tA\overrightarrow{u}$・・・�A �@と�Aが一致するのは $A\overrightarrow{v_0}=\overrightarrow{v_0}$ $\overrightarrow{v_0}$が固有値$1$の固有ベクトルのときである． すなわち，固有値$\alpha$に対応する固有ベクトルを方向ベクトルとする任意の直線が不動直線である． 一方，固有値$1$に対応する固有ベクトルを方向ベクトルとする直線は，原点を通るときだけが不動直線である．さらに，この直線は 不動直線であるだけでなく，固有値が$1$より不動点全体よりなる集合である． なお，固有値が$\alpha =0$のときは，固有値$0$の固有ベクトルを方向ベクトルとする任意の直線はその直線上に ただ１点不動点が存在し，その直線上の点はすべて不動点に移る． まとめると次のようになる． 命題 行列$A$の固有値が異なる実数$1,\alpha$を持つとき，$A$で決まる１次変換による不動直線は 固有値$\alpha$に対応する固有ベクトルを方向ベクトルとする任意の直線と 固有値$1$に対応する固有ベクトルを方向ベクトルとする原点を通る直線である． 続く 目次