１２.ユークリッド互除法と近似分数 12.3 近似分数(3) すでに， 定理 任意の正の無理数$x$と任意の正の整数$t$に対して， $|nx-m|$＜$\dfrac{1}{t}, \ \ 1\leqq n\leqq t \ \ \ \cdots (\sharp)$ を満たす整数$n,m$が存在する． を証明した．この定理をもう少し眺めてみよう． $(\sharp)$を変形すると $|x-\dfrac{m}{n}|$＜$\dfrac{1}{nt}, \ \ 1\leqq n \leqq t$ である．すなわち，分母が大きくなれば精度のよい分数を対象にしているわけです． この定理がどの程度優れているかを確かめてみましょう． $t=5$として $|x-\dfrac{m}{n}|$＜$\dfrac{1}{5n}, \ \ 1\leqq n \leqq t$ と書きなおします． 定理は開集合の集合の和が$[0,1]$を含む．すなわち $\displaystyle \bigcup _{0\leqq \frac{m}{n}\leqq 1,1\leqq n \leqq 5}(\dfrac{m}{n}-\dfrac{1}{5n},\dfrac{m}{n}+\dfrac{1}{5n})\supset [0,1]$ $0$以上$1$以下の分母が$5$以下の分数を小さいに順に並べれば， $0,\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{5},\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{5},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{5},1$ それぞれの開区間の幅を考えます．$\frac{1}{5}$なら $(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{25},\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{25})$ より幅は$\frac{2}{25}$ です． それぞれの幅の和を計算すれば$1$より大きくなります．もちろん$1$より大きいからといって定理を証明したことにはなりませんが， その和が$1$に近ければそれぞれの重複の部分が少ないことを意味しそれを調べようとしているのです． なお，端の区間は$[0,\dfrac{1}{5}),(\dfrac{4}{5},1]$とします． 区間の和と計算しましょう． $0,1$の区間の幅はそれぞれ$\frac{1}{5}$ $\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}$の区間の幅はそれぞれ$\frac{2}{25}$ $\frac{1}{4},\frac{3}{4}$の区間の幅はそれぞれ$\frac{1}{10}$ $\frac{1}{3},\frac{2}{3},$の区間の幅はそれぞれ$\frac{2}{15}$ $\frac{1}{2}$の区間の幅は$\frac{1}{5}$ これらを加えると$\frac{104}{75}$となります． もう少し$1$に近いかなと思ったのですが，重なった部分が結構あるのが分かります． 続く 目次