8-2 高速道路の設計(クロソイド曲線)

曲率を学んだので,曲率が題材の入試問題を解きましょう.
問題
高速道路のカーブの設計を考える.この際,自動車の運転者にとって運転しやすい自然なカーブ形状が望ましい. そこで,自動車の運転者は,速さ一定で走行しつつハンドルを一定角速度で回転させるものとして設計を 行う.
$x-y$平面上で$x$軸の正の方向に速さ$v$で走行していた自動車が,時刻$t=0$においてハンドルを一定 角速度で回転させるものとする.ハンドルの回転角速度を$\omega$とすれば, ハンドルを切り始めて$t$秒後のハンドルの回転角$\phi$は$\phi =\omega t$であり, タイヤの転向角$\psi$は$\psi =k\phi =k\omega t$である.ここで,$k$は定数であり,$v$は常に 一定である.また,自動車の大きさは無視できるものとして,次の問いに答えよ.
(1) 時刻に$t$における自動車の進行方向と$x$軸とのなす角$\tau$を求めよ.ただし,$t\geqq 0$とする.
(2) 自動車の進行方向と$x$軸とのなす角$\tau$と,時刻$t=0$からの自動車の走行距離$L$との 関係式を求めよ.
(3) 曲率半径$R$と走行距離$L$の積は,カーブ上のあらゆる点において常に一定となることを示せ.
なお,曲率半径とは曲線の曲がり具合を接触円の半径として表現したもので,次の式で定義される.
$R=\dfrac{\{1+(\dfrac{dy}{dx})^2\}^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{d^2y}{dx^2}} =\dfrac{\{(\dfrac{dx}{dt})^2+(\dfrac{dy}{dt})^2\}^{\frac{3}{2}}}{\dfrac{dx}{dt}\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{d^2x}{dt^2}\dfrac{dy}{dt}}$

時刻$t=t_1$まで回転角速度$\omega$でハンドルを切り,時刻$t=t_1$からは回転速度$-\omega$でハンドルを 切ったところ,時刻$t=2\times t_1$において自動車の進行方向は$y$軸方向となった.
(4) 時刻$t_1$における曲率半径$R_1$を求めよ.
(5) 実際には,カーブ走行中の遠心力に起因する不快感や危険性を緩和するために,道路面に傾き角 をもたせるように設計がなされている.このとき,道路面の傾き角$\theta$に対する$\tan \theta$は 片こう配と呼ばれる.時刻$t_1$の地点における片こう配$\tan \theta$を求めよ.重力加速度を$g$とする.

1996年 東京大学 後期 総合科目第2問(1996年)

解答・解説
高速道路は比較的自由に道路が作れる.カーブをどのように作ればよいかについての文章です.
高速道路は直線や円なら安全かというとそうではありません.それはハンドルを一定にするだけで, 運転者にとって単調すぎて決して安全ではないのです.運転者が適度な刺激を受けて,さらに過剰な刺激でない道路 形状が望ましい.そのためにどのように設計するか述べたものです.
解答を述べてから,曲線の曲率の説明をし,ここで扱った曲線を求めます.

(1) 時刻$t$における自動車と$x$軸とのなす角を$\tau (t)$とする.
このとき
$\tau (t+\Delta t)-\tau (t)\doteqdot k\omega t \Delta t$
$\displaystyle \tau '(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\dfrac{\tau (t+\Delta t)-\tau(t)}{\Delta t}=k\omega t$
$\displaystyle \tau (t)=\int_0^tk\omega tdt=\dfrac{k\omega t^2}{2}$
もしわかりづらければ,円で考えるとよい.タイヤの転向角$k\omega$が一定のとき,
$\tau (t+\Delta t)-\tau (t)=k\omega \Delta t$

(2) $L=vt$を(1)に代入し
$\tau =\dfrac{k\omega }{2}(\dfrac{L}{v})^2$

(3) 自動車の軌跡を$(x(t),y(t))$とおく.速度ベクトルの大きさが一定$v$で$x$軸とのなす角が$\tau (t)$ であるから,速度ベクトルは
$(x'(t),y'(t))=v(\cos \tau (t),\sin \tau (t))$
加速度ベクトルは
$(x"(t),y"(t))=v(-\sin \tau (t),\cos \tau (t))\tau '(t)=vk\omega t(-\sin \tau (t),\cos \tau (t))$
与えられた曲率半径の式に代入する.
分子は$v^3$.
(分母)=$\dfrac{dx}{dt}\dfrac{d^2y}{dt^2}-\dfrac{d^2x}{dt^2}\dfrac{dy}{dt}$
$=v^2k\omega t(\cos ^2\tau (t)+\sin ^2\tau (t))=v^2k\omega t$
$=\dfrac{v^2k\omega L}{v}$
$=vk\omega L$
$\therefore R=\dfrac{v^3}{vk\omega L}=\dfrac{v^2}{k\omega L}$
したがって$RL$は一定.

(4) $t=t_1$まで回転を続け,それから$t=2t_1$まで回転を戻し, すなわち$t=2t_1$では回転していない. $0$から$t_1$までと$t_1$から$2t_1$まで同じだけ回転するから,$t=t_1$では$\tau =\pi /4$である.
(1)より$t_1$を求めると
$\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{k\omega t_1^2}{2}$
より
$t_1=\sqrt{\dfrac{\pi}{2k\omega }}$
この値を(3)の$R$の分母の途中式
$R=\dfrac{v^3}{v^2k\omega t}$
に代入し
$R_1=\dfrac{\sqrt{2}v}{\sqrt{\pi k\omega}}$


(5) $t=t_1$においては(4)で求めた半径$R_1$の円のと考える.遠心力$F$は
$R_1F=mv^2$
$F=\dfrac{mv^2}{R_1}=\dfrac{\sqrt{\pi k\omega }mv^2}{\sqrt{2}v}=\dfrac{\sqrt{\pi k\omega}mv}{\sqrt{2}}$
重力は$mg$であるから
$\tan \theta =\dfrac{F}{mg}=\dfrac{\sqrt{\pi k \omega }v}{\sqrt{2}g}$


何の知識もない高校生がこの問題を解けるとはにわかに信じがたいが,解答を見れば分かるように 計算は簡単で何とかあるのかもしれない.

さて,解答を見ても曲線の曲率がわからないと,何を計算しているか分かりません.
それではもったいない.曲率の定義を理解し, 高速道路がどうのような曲線になっているかを調べましょう.

続く(曲率の定義)


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