15.7 分岐の場所

$p=\frac{1}{2},p=1$の場合に，2つのグラフ
$y=f(x),y=f\circ f(x),y=x$
を並べて比べよう．なお，極限値になるのは$\alpha _1$またはその周辺であるから 区間$[0,1]$で表すと，(fig.2),(fig.3)になる．
$p=\frac{1}{2}$のとき，
$y=f\circ f(x)$
のグラフが，$\alpha _1 < x$では$y=x$より下にあり，$x < \alpha _1$ では$y=x$より上にある.
したがって，数列$\{a_{2n-1}\}$は単調減少，数列$\{a_{2n}\}$は単調増加，かつ $a_{2n-1} \to \alpha _1,a_{2n}\to \alpha _1 \ \ \ (n\to \infty)$
$\therefore a_n \to \alpha _1 \ \ (n\to \infty)$

次に$p=1$の時を考える．
このとき初項を$a_1=0$とするとと面白くないので，$a_1=\frac{1}{3}$とする．
(fig.3)を見ればわかるように， $y=f\circ f(x)$
のグラフが，$\alpha _1 < x$では$y=x$より上にあり，$x < \alpha _1$ では$y=x$よりしたにある.
したがって，数列$\{a_{2n-1}\}$は単調減少，数列$\{a_{2n}\}$は単調増加，かつ $a_{2n-1} \to \beta _2,a_{2n}\to \beta _1 \ \ \ (n\to \infty)$

極限値が1つになるか２つになるかの境目を調べよう．
(fig.3)で$a=1$から$a$を小さくしていくと$beta_1,\beta _2$はともに$\alpha _1$に近づき，$\beta _1=\beta _2$ にとき，すなわち方程式
$f\circ f(x)=x$
が３重解$x=\alpha _1$を持つときが境目である．
それは，
$x^2-x+1-p=0$
が重解を持つときで
$p=\dfrac{3}{4}$
である．

$p=1$のとき
$f\circ f(x)=-x^4-2x^2$
であり，$0\leqq x\leqq 1$で単調増加であるから，$p\leqq 1$では問題は起こらない．
$p > 1$のとき，
$y=f\circ f(x)$
は$x=\beta _2$で減少しているので($x=\beta _1$でも減少している)ので，さらに合成関数である
$y=f\circ f\circ f\circ f(x)　\cdots (\sharp)$
を考える必要がある．
なお，関数$(\sharp)$は16次関数である．
ここでは，$x=\beta _2$の周りの状況を調べる．
$y=f\circ f(x),y=f\circ f \circ f\circ f(x),y=x$
を書いて調べる．
(fig.5)は$p=1.2$の場合である.このとき，グラフの形より振動しながら$\beta _2$に収束し
(fig.6)は$p=1.3$の場合である．このとき，方程式
$f\circ f \circ f\circ f(x)$
の解のうち，$\beta _2$前後の解を$\gamma _1,\gamma _2$とする．
ただし
$\gamma _2 \leqq \beta _2 \leqq \gamma _1$.
このとき，$\gamma _1,\gamma _2$に収束する．
境目がどこかは大切である．
そこでは$\beta _2$が3重解を持つことで$f\circ f \circ f\circ f(x)-x$を$f\circ f(x)-x$で割った商が因数$x-\beta _2$ を持つことで求まる)
$p=\dfrac{5}{4}$
を得る．
$p=\dfrac{5}{4}$
のとき，パソコンで計算すると
$f\circ f \circ f\circ f(x)-x$
$=-\dfrac{1}{65536}(4x^2-4x-1)^3(4x^2+4x-5)\times$
$(256x^8+512x^7-1024x^6-2688x^5-96x^4+2912x^3+2336x^2+1672x+1021)$
なり，
$x=\dfrac{1\pm \sqrt{2}}{2}$
は3重解である．

次に進む前に，極限値が4つなる場合をまとめておこう．
右図は$p=1.31$のである．
$f\circ f\circ f\circ f(x)=x$
の実数解を小さい順に
$\alpha _2,\delta _4,\beta _2,\delta _3,\alpha _1,\delta _2,\beta _1,\delta _1$
とすると，極限値は
$\delta _1,\delta _2,\delta _3,\delta _4$
である．
それを確かめよう．
右に，方程式
$f\circ f\circ f\circ f(x)=x$
の近似解と数列
$a_{n+1}=1.31^2-a_n^2,a_1=0$
の数列$\{a_n\}$の初項から第100項までが書いてあり，方程式の解と数列の極限値が一致することが読み取れる.

さて，ここまでは大きな困難はないが，ここからは大変である．というのは
$g=f\circ f \circ f\circ f(x)$は16次式でさらに，振動の数列の収束を調べるためには
$g\circ g(x)$
これは$16^2=256$次式である．
$p$をさらに大きくしている．
右上の図は$p=1.31$の場合です．
区間$[\delta _4,\delta _3],[\delta _2,\delta _1]$で
$g=f\circ f \circ f\circ f(x)$
は単調増加なので問題はない．
$p$をさらに大きくすると$y=g(x)$が$\delta _i$おいて減少するので，さらに$y=g\circ g(x)$を考える必要がある．
ここでは$\delta _3$の周辺すなわち原点の周辺で考える．
右図は，$p=1.3476$と$p=1.3846$の図である．
$p=1.3476$では極限値が4個であるが，$p=1.3846$では極限値が8個であることが分かる．
($\because$ 区間$[\epsilon _2,\epsilon _1]$で単調増加．もちろん， 他の$\delta _1,\delta _2,\delta _4$の周辺も調べる必要があるがここでは省略する)
極限値が4個と8個の境目，要するに
$y=g\circ g(x),y=x$
が$x=\delta _3$で接する$p$の値を求める必要がある．
これは，実験によると
$p=1.36$前後の値である．
さらに$p$を大きくした$p=1.4082$の図が右図で，
$y=g\circ g(x),$
$y=g\circ g\circ g\circ g(x)$
を描いたものである．
$\eta _1,\eta _2$は
$y=g\circ g\circ g\circ g(x),y=x$
の共有点のうち，$\epsilon _1$前後のものである．
図よりわかるように，すでに$\eta _1,\eta _2$はともに$y=y=g\circ g\circ g\circ g(x)$の減少区間にあるため，調べるためには $256^2$次関数が必要になる．
なお，実験によると概ね
$p=1.3944$
で
$y=g\circ g\circ g\circ g(x),y=x$
が接するので，極限値の個数は次のようになる．
$\dfrac{5}{4} < p \leqq 1.366$のとき極限値は　$4$個
$1.366 < p \leqq 1.3944$のとき極限値は　$8$個
$1.3944 < p$のとき極限値は　$16$個
なお極限値が$16$個現れるのは短い範囲で，すぐに不規則になる．

続く(15.8 カオス)

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