10.行列の固有値と固有ベクトル ここで，行列の固有値，固有ベクトルを定義する． $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して， $A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$・・・�@ $\text{ただし}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たすとき，$k$を行列$A$の固有値，ベクトル$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $ を行列$A$の固有値$k$に対応する固有ベクトルという． �@は $\begin{pmatrix} a-k & b \\ c & d-k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$・・・�A より$k$は $k^2-(a+d)k+(ad-bc)=0$ を満たす． したがって，行列$A$の固有値は,$x$についての２次方程式 $x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0$・・・�B の解です． ２次方程式�Bを行列$A$の固有方程式といいます． 具体的に，固有値，固有ベクトルを求め行列の対角化を行いましょう． $A= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ の固有値は $x$の２次方程式 $x^2-7x+10=0$ より， $x=2,5 \ \ \ $・・・・・（行列$A$の固有値） $x=2$のとき $\begin{pmatrix} 3-2 & 1 \\ 2 & 4-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より，固有ベクトルの１つとして， $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}　\ \ \ $・・・（固有値の$2$に対応する固有ベクトルの一つ） をとる． $x=5$のとき $\begin{pmatrix} 3-5 & 1 \\ 2 & 4-5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より，固有ベクトルの１つとして， $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}　\ \ \ $・・・（固有値の$5$に対応する固有ベクトルの一つ） をとる． したがって， $A \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} =2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} =5 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ をえる．この２つの式より， $A \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} & 5 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ ここで $P= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ とおくと， $AP=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ $\therefore A=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} P^{-1}$ 10.2 固有値が重解のとき 行列 $A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の固有方程式 $x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0$ の判別式$D$は$D=0,D\text{＜}0$の場合もあります．そのときの行列の対角化に対応する式を求めましょう． ここでは，固有値が重解のときを調べます． 固有値を$\alpha$とすると，行列$A$は $(A-\alpha E)^2=0$・・・・�@ を満たす． �@はどんなベクトル$\overrightarrow{u}$でも， $(A-\alpha E)^2\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ を満たすことを示している．すなわち，$\overrightarrow{u}$が固有ベクトルなら当然 $(A-\alpha E)\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ であり，$\overrightarrow{u}$が固有ベクトルでないなら，$(A-\alpha E)\overrightarrow{u}$が固有ベクトルである． 固有ベクトル以外のベクトルを$\overrightarrow{v}$とし， $\overrightarrow{u}:=(A-\alpha E)\overrightarrow{v}$ で$\overrightarrow{u}$を定義すれば，$\overrightarrow{u}$は固有ベクトルであるから， $A\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{u}$ $A\overrightarrow{v}=\alpha \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ したがって， $A(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}) =(\alpha \overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{u}+\alpha \overrightarrow{v})$ $=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}) \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix}$ ここで， $P:=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})$ とおけば， $A=P \begin{pmatrix} \alpha & 1 \\ 0 & \alpha \end{pmatrix} P^{-1}$ 例を計算しよう． $A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$ の固有値は重解$3$である． $A-3E= \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$ 固有ベクトルでないベクトルとして $\overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ をとれば， $\overrightarrow{u}=(A-3E)\overrightarrow{v}= \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}$ は固有値$3$の固有ベクトルである． $A\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{u}$ $A\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$ より $A(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})= (\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v}) \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $ すなわち， $P=(\overrightarrow{u} \ \ \overrightarrow{v})= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ とおけば $A=P \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}P^{-1}$ となる． 続く 目次