8-4 縮閉線 平面曲線Cが与えられたとき，C上の点Pに， Pにおける曲率中心P∗(Pにおける曲率円の中心)が対応する．Pが 曲線C上を動くとき点P∗の動く軌跡C∗を曲線Cの縮閉線という． 曲線のCの縮閉線を求めよう． ここでも，曲線Cを弧長変数で表し，その後一般の媒介変数で書き直す． 曲線 →f(s)=(x(s),y(s))(sは弧長) の曲率をk(s),曲率半径をR(s)=1k(s)とおくと，点P(x(s),y(s))に対応する 曲率中心P∗(x∗(s),y∗(s))は (x∗(s),y∗(s)) =(x(s),y(s))+R(s)(−y′(s),x′(s)) ここで，(x″より(-y'(s),x'(s))=R(s)(x''(s),y''(s))であるから =(x(s),y(s))+R(s)^2(x''(s),y''(s)) この式はR(s) < 0でも成り立つ式であることがわかる． Cの曲率中心の軌跡すなわちCの縮閉線C^*の式は x^*(s)=x(s)+R(s)^2x''(s) y^*(s)=y(s)+R(s)^2y''(s) であることが分かったが，実際に縮閉線をもとめるときにはこの式は使い物にならない． それは 曲線Cの弧長変数(x(s),y(s))を求めることは一般に簡単ではないからです． そこで， 曲線Cの一般の媒介変数(x(t),y(t))の場合に書き直す必要があります． 曲率半径R(s)は計算されていて,それは k(s)=\dfrac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)}^3} であるから R(s)^2=\dfrac{(x'(t)^2+y'(t))^3}{(x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t))^2} 次に(x''(s),y''(s))を計算する． (x'(s),y'(s))=(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt})\dfrac{dt}{ds} =(\dfrac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}},\dfrac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}) \dfrac{d\biggl(\dfrac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}\biggr)}{dt}=\dfrac{y'(t)(x''(t)y'(t)-x'(t)y''(t))}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}^3} 同様に，yに関しても計算すれば (x''(s),y''(s))=(\dfrac{y'(t)(x''(t)y'(t)-x'(t)y''(t))}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^2}, \dfrac{x'(t)(x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t))}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^2}) したがって，縮閉線の媒介変数表示(x^*,y^*)は x^*(t)=x(t)-\dfrac{y'(t)(x'(t)^2+y'(t)^2)}{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)} y^*(t)=y(t)+\dfrac{x'(t)(x'(t)^2+y'(t)^2)}{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)} である． 
右図は図は,放物線y=x^2の縮閉線です．あわせて，放物線の法線も書いてみました．図から，放物線の法線が縮閉線に接することが分かります．言い方を変えれば，縮閉線は元の曲線の包絡線になっています．これは縮閉線の持つ重要性質です． それを証明しましょう． 曲線(x(s),y(s))ただしsは弧長とする． この曲線の曲率半径をR(s)とすると縮閉線(x^*(s),y^*(s))は (x^*(s),y^*(s)) =(x(s),y(s))+R(s)(-y'(s),x'(s)) である．なお，縮閉線のこの表示は一般に弧長変数ではない． 縮閉線の接ベクトルを求める． ({x^*}'(s),{y^*}'(s)) =(x'(s),y'(s))+R'(s)(-y'(s),x'(s))+R(s)(-y"(s),x"(s)) (x"(s),y"(s))=k(s)(-y'(s),x'(s))より (-y"(s),x"(s))=-k(s)(x'(s),y'(s))であるから ({x^*}'(s),{y^*}'(s))=R'(s)(-y'(s),x'(s)) したがって，もとの曲線の法線が縮閉線に接することが分かった． 続く(伸開線) 目次 |