8-4 縮閉線

曲線の曲率について,異なる2つの方法で定義している.
1つは,関数$y=f(x)$について,$(a,f(a))$において接する円のうち, 2次導関数まで一致する円(これを2位の接触という)で定義した. すなわち,その円の半径が$x=a$における曲率半径で,曲率半径の逆数が$x=a$における曲率である.
なお,混乱するとおもい触れなかったが,曲線に向きを考え,正の向き(反時計回り)のとき曲率も曲率半径も正,負の向きのとき 曲率も曲率半径も負とする.
2つめの定義は
弧長変数表示された曲線
$x=f(s),y=g(s) \ \ (s\text{は弧長})$
において,曲率$k(s)$は
$(f"(s),g"(s))=k(s)(-g'(x),f'(x))$
で定義された.
ベクトル$(f"(s),g"(s))$は必ず曲線の凹んだ方を向くので,接線ベクトルを正の方向に$\pi /2$だけ回転したベクトル $(-g'(s),f'(s))$が凹んだ方を向くとき曲率は正で反対側を向くとき曲率は負となる.

以上の2つの定義が一致することを確認しよう.

曲線$x=f(s),y=g(s) \ \ (s\text{は弧長})$
を平行移動および原点の周りに回転移動することにより,原点を通り,原点における接ベクトル が$x$軸と 平行になるようにとる.すなわち,$s=s$で$(f(s),g(s))=(0,0)$および,弧長変数であるから$(f'(s),g'(s))=(1,0)$としてよい.
これは,注意が必要である.平行移動や回転移動で今対象にしている事柄が不変であること(合同変換で保たれる性質)に注意を払う必要がある.
弧長は合同変換(平行移動,回転移動,対称移動またはそれらの合成)で不変であるし,曲率の定義も微分の定義に戻って調べれば,保たれることがわかる.
円$x^2+(y-R)^2=R^2$
を$x$で微分すると
$x+(y-R)y'=0$
さらに$x$で微分すると
$1+y'^2+(y-R)y"=0$
したがって
$y"|_{(0,0)}=\dfrac{1}{R}$
一方,曲線$x=f(s),y=g(s) \ \ (s\text{は弧長})$は$s=s$で
$(f(s),g(s))=(0,0),(f'(s),g'(s))=(1,0)$
である.
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{g'(s)}{f'(s)}$
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{ds}(\dfrac{g'(s)}{f'(s)})\cdot \dfrac{1}{f'(s)}$
$=\dfrac{-f"(s)g'(s)+f'(s)g"(s)}{f'(s)^3}$
曲率$k(s)$は$k(s)=(f"(s),g"(s))\cdot (-g'(s),f'(s))=-f"(s)g'(s)+f'(s)g"(s)$であるから
$\dfrac{d^2y}{dx^2}|_{s=s}=k(s)$
したがって,2つの定義が一致することがわかる.

曲線$x=f(s), \ y=g(s) \ (s\text{は弧長})$に対して,2位の接触をする円を接点における 曲率円または接触円といい, 曲率円の中心を接点における曲率中心という. 曲率円の半径を曲率半径,曲率半径の逆数を曲率という.


放物線$y=x^2$の曲率円を求めよう.
放物線の媒介変数表示は
$x=t,y=t^2$
より
$x'=1,y'=2t$
$x"=0,y"=2$
$x'^2+y'^2=1+4t^2$であるから
曲率$k(t)$,曲率半径$R(t)$は
$R(t)=\dfrac{1}{k(t)}=\dfrac{(1+4t^2)^{3/2}}{2}$
曲率中心の座標$(x^*(t),y^*(t))$は
$(x^*(t),y^*(t))=(t,t^2)+\dfrac{1+4t^2}{2}(-2t,1)=(-4t^3,3t^2+\dfrac{1}{2})$
図示すると次のようになる.

もし,画面にGet the Wolfram CDF Player とあらわれたら,画面をクリックしCDF Playerをインストールしてください.
ブラウザによって差があるので,うまくいかないときはほかのブラウザをお試しください.
スライダーをドラッグすると放物線上の点が変わり,それにつれて曲率円が変わります.スライダーの右の+をクリックすると小さな コントロールパネルが開き,連続的に変化させることができます.デフォルト値(初期値)は原点です.


平面曲線$C$が与えられたとき,$C$上の点$P$に,$P$における曲率中心$P^*$が対応する.$P$が 曲線$C$上を動くとき点$P^*$の動く軌跡$C^*$を求めよう.曲線$C^*$を曲線$C$の縮閉線という.
ここでも,曲線$C$を弧長変数で表し,その後一般の媒介変数で書き直す.

曲線
$\overrightarrow{f}(s)=(x(s),y(s)) \ \ (s\text{は弧長})$
の曲率を$k(s)$,曲率半径を$R(s)=\dfrac{1}{k(s)}$とおくと,点$P(x(s),y(s))$に対応する 曲率中心$P^*(x^*(s),y^*(s))$は
$(x^*(s),y^*(s))=(x(s),y(s))+R(s)(-y'(s),x'(s))$
ここで,$(x"(s),y"(s))=k(s)(-y'(s),x'(s))$より$(-y'(s),x'(s))=R(s)(x"(s),y"(s))$であるから
$=(x(s),y(s))+R(s)^2(x"(s),y"(s))$
この式は$R(s) < 0$でも成り立つ式であることがわかる.

$C$の曲率中心の軌跡すなわち$C$の縮閉線$C^*$の式は
$x^*(s)=x(s)+R(s)^2x"(s)$
$y^*(s)=y(s)+R(s)^2y"(s)$
であることが分かったが,実際に縮閉線をもとめるときにはこの式は使い物にならない.それは
曲線$C$の弧長変数$(x(s),y(s))$を求めることは一般に簡単ではないからです.そこで,
曲線$C$の一般の媒介変数$(x(t),y(t))$の場合に書き直す必要があります.
曲率半径$R(s)$は計算されていて,それは
$k(s)=\dfrac{x'(t)y"(t)-x"(t)y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)}^3}$
であるから
$R(s)^2=\dfrac{(x'(t)^2+y'(t))^3}{(x'(t)y"(t)-x"(t)y'(t))^2}$

次に$(x"(s),y"(s))$を計算する.
$(x'(s),y'(s))=(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt})\dfrac{dt}{ds} =(\dfrac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}},\dfrac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}})$
$\dfrac{d\biggl(\dfrac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}\biggr)}{dt}=\dfrac{y'(t)(x"(t)y'(t)-x'(t)y"(t))}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}^3}$
同様に,$y$に関しても計算すれば
$(x"(s),y"(s))=(\dfrac{y'(t)(x"(t)y'(t)-x'(t)y"(t))}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^2}, \dfrac{x'(t)(x'(t)y"(t)-y'(t)x"(t))}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^2})$
したがって,縮閉線の媒介変数表示$(x^*,y^*)$は
$x^*(t)=x(t)-\dfrac{y'(t)(x'(t)^2+y'(t)^2)}{x'(t)y"(t)-y'(t)x"(t)}$
$y^*(t)=y(t)+\dfrac{x'(t)(x'(t)^2+y'(t)^2)}{x'(t)y"(t)-y'(t)x"(t)}$
である.

次の図は,放物線$y=x^2$の縮閉線です.あわせて,放物線の法線も書いてみました.

図から,放物線の法線が縮閉線に接することが分かります.言い方を変えれば,縮閉線は元の曲線の包絡線になっています.これは縮閉線の持つ重要性質です.
それを証明しましょう.
曲線$(x(s),y(s))$ただし$s$は弧長とする.
この曲線の曲率半径を$R(s)$とすると縮閉線$(x^*(s),y^*(s))$は
$(x^*(s),y^*(s))=(x(s),y(s))+R(s)(-y'(s),x'(s))$
である.なお,縮閉線のこの表示は一般に弧長変数ではない.
縮閉線の接ベクトルを求める.
$({x^*}'(s),{y^*}'(s))=(x'(s),y'(s))+R'(s)(-y'(s),x'(s))+R(s)(-y"(s),x"(s))$
$(x"(s),y"(s))=k(s)(-y'(s),x'(s))$より
$(-y"(s),x"(s))=-k(s)(x'(s),y'(s))$であるから
$({x^*}'(s),{y^*}'(s))=R'(s)(-y'(s),x'(s))$
したがって,もとの曲線の法線が縮閉線に接することが分かった.


続く(伸開線)


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