8-4 縮閉線 平面曲線$C$が与えられたとき，$C$上の点$P$に， $P$における曲率中心$P^*$($P$における曲率円の中心)が対応する．$P$が 曲線$C$上を動くとき点$P^*$の動く軌跡$C^*$を曲線$C$の縮閉線という． 曲線の$C$の縮閉線を求めよう． ここでも，曲線$C$を弧長変数で表し，その後一般の媒介変数で書き直す． 曲線 $\overrightarrow{f}(s)=(x(s),y(s))$($s$は弧長) の曲率を$k(s)$,曲率半径を$R(s)=\dfrac{1}{k(s)}$とおくと，点$P(x(s),y(s))$に対応する 曲率中心$P^*(x^*(s),y^*(s))$は $(x^*(s),y^*(s))$ $=(x(s),y(s))+R(s)(-y'(s),x'(s))$ ここで，$(x''(s),y''(s))=k(s)(-y'(s),x'(s))$より$(-y'(s),x'(s))=R(s)(x''(s),y''(s))$であるから $=(x(s),y(s))+R(s)^2(x''(s),y''(s))$ この式は$R(s) < 0$でも成り立つ式であることがわかる． $C$の曲率中心の軌跡すなわち$C$の縮閉線$C^*$の式は $x^*(s)=x(s)+R(s)^2x''(s)$ $y^*(s)=y(s)+R(s)^2y''(s)$ であることが分かったが，実際に縮閉線をもとめるときにはこの式は使い物にならない． それは 曲線$C$の弧長変数$(x(s),y(s))$を求めることは一般に簡単ではないからです． そこで， 曲線$C$の一般の媒介変数$(x(t),y(t))$の場合に書き直す必要があります． 曲率半径$R(s)$は計算されていて,それは $k(s)=\dfrac{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)}^3}$ であるから $R(s)^2=\dfrac{(x'(t)^2+y'(t))^3}{(x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t))^2}$ 次に$(x''(s),y''(s))$を計算する． $(x'(s),y'(s))=(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt})\dfrac{dt}{ds} =(\dfrac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}},\dfrac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}})$ $\dfrac{d\biggl(\dfrac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}}\biggr)}{dt}=\dfrac{y'(t)(x''(t)y'(t)-x'(t)y''(t))}{\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}^3}$ 同様に，$y$に関しても計算すれば $(x''(s),y''(s))=(\dfrac{y'(t)(x''(t)y'(t)-x'(t)y''(t))}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^2}, \dfrac{x'(t)(x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t))}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^2})$ したがって，縮閉線の媒介変数表示$(x^*,y^*)$は $x^*(t)=x(t)-\dfrac{y'(t)(x'(t)^2+y'(t)^2)}{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}$ $y^*(t)=y(t)+\dfrac{x'(t)(x'(t)^2+y'(t)^2)}{x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)}$ である． 右図は図は,放物線$y=x^2$の縮閉線です．あわせて，放物線の法線も書いてみました． 図から，放物線の法線が縮閉線に接することが分かります．言い方を変えれば，縮閉線は元の曲線の包絡線になっています．これは縮閉線の持つ重要性質です． それを証明しましょう． 曲線$(x(s),y(s))$ただし$s$は弧長とする． この曲線の曲率半径を$R(s)$とすると縮閉線$(x^*(s),y^*(s))$は $(x^*(s),y^*(s))$ $=(x(s),y(s))+R(s)(-y'(s),x'(s))$ である．なお，縮閉線のこの表示は一般に弧長変数ではない． 縮閉線の接ベクトルを求める． $({x^*}'(s),{y^*}'(s))$ $=(x'(s),y'(s))+R'(s)(-y'(s),x'(s))+R(s)(-y"(s),x"(s))$ $(x"(s),y"(s))=k(s)(-y'(s),x'(s))$より $(-y"(s),x"(s))=-k(s)(x'(s),y'(s))$であるから $({x^*}'(s),{y^*}'(s))=R'(s)(-y'(s),x'(s))$ したがって，もとの曲線の法線が縮閉線に接することが分かった． 続く(伸開線) 目次