2-3 重心とPappus-Guldinの定理 アルキメデスは力のモーメントを用いて，球の体積を求めました． ここでは平面の領域の重心を説明しあわせて，回転体の体積を求めるとき便利なPappus-Guldin の定理を述べます． 物体の重心とは，物体の全体を支えることができる点です． 物体の各点に重力すなわち垂直方面の力がかかります． 原点を定めれば，原点の周りの鉛直方面の重力のモーメントの和を一点で表した点です． 平面図形では，水平方向も考えることになります． 例１ $n$個の質点$P_1(x_1,y_1),P(x_2,y_2),\dots ,P_n(x_n,y_n)$があり，各質点$P_i$の質量がそれぞれ $m_1,m_2,\dots ,m_n$とする．このとき，これらの質点の原点のまわりに働くモーメントの総量は $\text{鉛直方向}=m_1x_1+m_2x_2+\dots +m_nx_n$ $\text{水平方向}=m_1y_1+m_2y_2+\dots +m_ny_n$ で，これらのモーメントと全質量が一点に働くモーメントとが一致する．その点が重心である． したがって，重心を$(\bar{x},\bar{y})$とすると $(m_1+m_2+\dots +m_n)\bar{x}$ $=m_1x_1+m_2x_2+\dots +m_nx_n$ $(m_1+m_2+\dots +m_n)\bar{y}$ $=m_1y_1+m_2y_2+\dots +m_ny_n$ したがって，重心の座標$(\bar{x},\bar{y})$は $\bar{x}=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2+\dots +m_nx_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}$ $\bar{y}=\dfrac{m_1y_1+m_2y_2+\dots +m_ny_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}$ 次に平面図形における右の図のような$y=f(x),y=g(x),x=a,x=b$, ただし$a\leqq x \leqq b$で$g(x)\leqq f(x)$を満たす，で囲まれた領域を$S$とし，さらに$S$ の密度は$1$で一定とする．すなわち面積が質量である．このとき$S$の重心の座標を求めよう． 区間$[a,b]$を$n$等分し，分点を$x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$とする． $y=f(x),y=g(x),x=x_i,x=x_{i+1}$で囲まれた領域を$S_i$とする．$n$が十分大きいとき，$S_i$ の重心は$(x_i,\frac{f(x_i)+g(x_i)}{2})$,質量は$\frac{b-a}{n}\cdot (f(x_i)-g(x_i))$と 考えてよい． したがって，$S_i$の垂直方向，水平方向のモーメントはそれぞれ $x_i\cdot \dfrac{b-a}{n}(f(x_i)-g(x_i))=x_i(f(x_i)-g(x_i))\dfrac{b-a}{n}$ $\dfrac{f(x_i)+g(x_i)}{2}\cdot \dfrac{b-a}{n}(f(x_i)-g(x_i)) =\dfrac{1}{2}\{f(x_i)^2-g(x_i)^2\}\dfrac{b-a}{n}$ である．$S$の原点の周りに働くモーメントは各$S_i$に働くモーメントの和であるから，$n \to \infty$とすることにより $\displaystyle \text{垂直方向のモーメント} =\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}x_i(f(x_i)-g(x_i))\dfrac{b-a}{n}=\int_a^bx(f(x)-g(x))dx$ $\displaystyle \text{水平方向のモーメント} =\lim_{n\to \infty}\sum_{i=0}^{n-1}\dfrac{1}{2}(f(x_i)^2-g(x_i)^2)\dfrac{b-a}{n} =\dfrac{1}{2}\int_a^b\{f(x)^2-g(x)^2\}dx$ が成り立つ． 領域$S$の重心を$(\bar{x},\bar{y}),S$の面積を$S$で表せば $\displaystyle \bar{x}S=\int_a^bx(f(x)-g(x))dx, \ \ \bar{y}S=\int_a^b\dfrac{1}{2}\{f(x)^2-g(x)^2\}dx$ $\displaystyle \therefore \bar{x}=\dfrac{1}{S}\int_a^bx(f(x)-g(x))dx,\ \ \bar{y}=\dfrac{1}{2S}\int_a^b\{f(x)^2-g(x)^2\}dx$ ただし，$S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}dx$. 注意 $y=f(x),y=g(x)$が単調ならば，$x=f^{-1}(y),x=g^{-1}(y)$を 用いて$\bar{x}$を求める方法と同様に$\bar{y}$を求めることができる．実際 $x=0,y=0,y=f(x)$で囲まれた図形(右図)の重心の$y$座標を求めよう． $\displaystyle \int_0^byf^{-1}(y)dy$ $y=f(x)$と置換積分すると $\displaystyle =\int_a^0f(x)xf'(x)dx$ 部分積分をする $\displaystyle =\left[f(x)xf(x)\right]_a^0-\int_a^0(f'(x)x+f(x))f(x)dx$ $f(a)=0$であるから $\displaystyle =-\int_a^0f'(x)xf(x)dx-\int_a^0f(x)^2dx$ したがって(同値出現．これは積分でよく使われる)， $\displaystyle \int_a^0f(x)xf'(x)dx=-\dfrac{1}{2}\int_a^0f(x)^2dx =\dfrac{1}{2}\int_0^af(x)^2dx$ $\displaystyle \therefore \int_0^byf^{-1}(y)dy=\int_a^0f(x)xf'(x)dx=\dfrac{1}{2}\int_0^af(x)^2dx$ 平面の領域の重心が求められた．この定義による三角形の重心を求めよう． 例2 $\triangle ABC$について，$B$を原点$A(a,b),C(c,0)$とする． 重心の座標を$(\bar{x},\bar{y})$とすると,$\triangle ABC$の面積は$\frac{bc}{2}$であるから $\dfrac{bc\bar{x}}{2}=\displaystyle \int_0^ax\cdot \dfrac{bx}{a}dx+\int_a^cx\cdot \dfrac{b(x-c)}{a-c}dx$ $=\dfrac{bc(a+c)}{6}$ $\therefore \bar{x}=\dfrac{a+c}{3}$ $\dfrac{bc\bar{y}}{2}=\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_0^a\Bigl(\dfrac{bx}{a}\Bigr)^2dx +\dfrac{1}{2}\cdot \int_a^c\Bigl\{\dfrac{b}{a-c}(x-c)\Bigr\}^2dx =\dfrac{b^2c}{6}$ $\therefore \bar{y}=\dfrac{b}{3}$ したがって，$\triangle ABC$の重心は$(\frac{a+c}{3},\frac{b}{3})$であり，これは通常の重心と一致する． 例3 つぎに四角形の重心を求めよう． 右の四角形$ABCD$で，$\triangle ABD,\triangle BCD$の重心をそれぞれ$H,K$面積をそれぞれ$S_1,S_2$ とすると，四角形$ABCD$重心は線分$HK$を$S_2:S_1$に内分する点． 図で$AE:EC=S_1:S_2$であるから，$AC$上に点$F$を$AF=CE$を満たすようにとり，$BD$の中点を$M$とする． 四角形$ABCD$の重心$G$は$MF$と$HK$の交点である． 例4 $y=x^2,x$軸，$x=a$で囲まれた領域の重心を求めよう． $\displaystyle S=\int_0^ax^2dx=\dfrac{a^3}{3}$ 重心$(\bar{x},\bar{y})$は $\displaystyle S\bar{x}=\int_0^ax\cdot x^2dx=\dfrac{a^4}{4}$ $\displaystyle S\bar{y}=\dfrac{1}{2}\int_0^a(x^2)^2dx=\dfrac{a^5}{10}$ $\therefore (\bar{x},\bar{y})=(\dfrac{3a}{4},\dfrac{3a^2}{10})$ これからが本題である． $y=f(x),y=g(x),x=a,x=b \ \ (0 < g(x) < f(x))$で囲まれた領域を$S$とする． $S$の重心の$y$座標を$\bar{y}$とすると $\bar{y}S=\int_a^b\dfrac{1}{2}\{f(x)^2-g(x)^2\}dx$ 両辺に$2\pi$をかけると $2\pi \bar{y}S=\pi\int_a^b\{f(x)^2-g(x)^2\}dx$ 右辺は，$x$軸のまわりに領域$S$を回転したときにできる回転体の体積である． したがって次の定理を得る． 定理 平面上において，領域$S$を$S$と交わらない直線の周りに回転して得られる回転体の体積は $S$の面積と$S$の密度を一様とした重心の一回転による通過した道の長さの積に等しい． すなわち，$S$の密度を一定で$1$とする．$S$の面積を$S$,$S$の重心と回転軸$l$との距離を$h$とすれば， $S$を$l$の周りに回転して得られる回転体の体積は$2\pi hS$である． この定理をPappus-Guldinの定理という． 注意 Pappus-Guldinの定理では，図形が回転軸と交わらないことが重要である． もし，図形が回転軸と交わるときは，回転軸に関して片方を対称移動して考えなければならない． たとえば，右図で$\triangle ABC$を直線$m$の周りに回転して得られる回転体は，$m$の下側を$m$に関して 対称移動し，多角形$ADEFG$を$m$の周りに回転したものと考える．すなわち，Pappus-Guldinの定理を 用いて回転体の体積を求めるには多角形$ADEFG$の重心の $y$座標を求める必要がある． 領域$S$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積と$S$の重心の$y$座標の関係より 回転体の体積によって重心を求めることもできる． 例5 半径$1$の四分円でPappus-Guldinの定理が成り立つことを確認する． 四分円$x^2+y^2\leqq 1,x,y\geqq 0$を$S$とする． $S$の重心$(\bar{x},\bar{y})$を求める． $S$の面積は$\frac{\pi}{4}$であるから $\displaystyle \dfrac{\pi}{4}\bar{y}=\dfrac{1}{2}\cdot \int_0^1y^2dx=\dfrac{1}{3}$ $\bar{y}=\dfrac{4}{3\pi}$. Pappus-Guldin の定理で１辺の長さ1の半球の体積を求めると $2\pi\cdot \dfrac{4}{3\pi}\cdot \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{2\pi}{3}$ Pappus-Guidinの定理で斜回転体の体積を求める． 例6 $y=x^2$と$y=ax \ \ (0 < a)$で囲まれた領域$S$を$y=ax$の周りに回転してできる回転体の体積 まず$S$の重心を求める．定義に従って単純な計算であるが，ここでは例題4の結果を利用しよう． $S$の面積は$\frac{a^3}{6} \ \ (\because \frac{1}{6}\text{公式})$，$\triangle OAB=\frac{a^3}{2}$ であるから，右図の面積比は $S_1:S=2:1 \ \cdots (*)$ である． $S_1$の重心は$(\dfrac{3a}{4},\dfrac{3a^2}{10}) \ \ (\because \text{例題4})$，$\triangle OAB$ の重心は$(\dfrac{2a}{3},\dfrac{a^2}{3})$である，$\triangle OAB$の重心は$S_1,S$それぞれの重心を $1:2$の比に内分する点である． $S$の重心$G$を$(\bar{x},\bar{y})$は$(*)$より $3(\dfrac{2a}{3},\dfrac{a^2}{3})=2(\dfrac{3a}{4},\dfrac{3a^2}{10})+(\bar{x},\bar{y})$ $\therefore (\bar{x},\bar{y})=(\dfrac{a}{2},\dfrac{2a^2}{5})$ $S$の重心$G(\frac{a}{2},\frac{2a^2}{5})$と回転軸$y=ax$との距離は$\frac{a^2}{10\sqrt{a^2+1}}$より，求める回転体の体積$V$は $V=2\pi \cdot \dfrac{a^2}{10\sqrt{a^2+1}}\cdot \dfrac{a^3}{6}=\dfrac{\pi a^5}{30\sqrt{a^2+1}}$ Pappus-Guildinの定理を用いない標準的な解答は次の通り． 放物線$y=x^2 \ \ (0\leqq x \leqq a)$上の点を$P(t,t^2)$とおき，$P$から直線$y=ax$に下した垂線の 足を$H$とする． ここで， $X=OH,Y=PH$ とおくと，$OB=a\sqrt{1+a^2}$であるから，求める回転体の体積$V$は $\displaystyle V=\pi \int_0^{a\sqrt{a^2+1}}Y^2dX$ である．ここで $Y=PH=\dfrac{at-t^2}{\sqrt{a^2+1}}$, $P$を通り直線$y=ax$に垂直な直線は$x+ay-at^2-t=0$より $X=\dfrac{at^2+t}{\sqrt{a^2+1}}$ $\displaystyle V=\pi \int_0^a(\dfrac{at-t^2}{\sqrt{a^2+1}})^2\dfrac{2at+1}{\sqrt{a^2+1}}dt$ $\displaystyle =\dfrac{\pi}{(a^2+1)\sqrt{a^2+1}}\int_0^a (2at^5+(-4a^2+1)t^4+(2a^3-2a)t^3+a^2t^2)dt$ $=\dfrac{\pi a^5}{30\sqrt{a^2+1}}$ 続く(微積分の基本定理) 目次