1-5 $\pi$の評価(3)

問題2で重要な事項は
$1+a+a^2+\cdots +a^{n-1}=\dfrac{1-a^n}{1-a}=\dfrac{1}{1-a}-\dfrac{a^n}{1-a}$
とみるところである.等比数列の和の公式で当たり前の等式であるが慣れが必要である.
この変形は難関大でしばしば見かける.たとえば

問題3
自然数$n$に対し
$\displaystyle S_n=\int_0^1\dfrac{1-(-x)^n}{1+x}dx, \ T_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)}$
とおく.このとき,以下の各問に答えよ.
(1)次の不等式を示せ.
$\displaystyle \left|S_n-\int_0^1\dfrac{1}{1+x}dx\right|\leqq \dfrac{1}{n+1}$
(2)$T_n-2S_n$を$n$を用いて表せ.
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n\to \infty}T_n$を求めよ.
東京医科歯科大(2011年)

解答
(1)$\displaystyle \left|S_n-\int_0^1\dfrac{1}{1+x}dx\right|=\left|\int_0^1\dfrac{-(-x)^n}{1+x}dx\right|$
$\displaystyle =\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\leqq \int_0^1x^ndx=\dfrac{1}{n+1}$
(2)$\dfrac{1-(-x)^n}{1+x}=\dfrac{1-(-x)^n}{1-(-x)}=1+(-x)+(-x)^2+\cdots +(-x)^{n-1}$
であるから,
$\displaystyle S_n=\int_0^1(1-x+x^2-\cdots +(-1)^{n-1}x^{n-1})dx$
$=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\cdots +(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\dfrac{1}{k}$
したがって
$\displaystyle T_n-2S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k(k+1)}-2\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n(-\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}-\dfrac{(-1)^{k-1}}{k+1})\cdots (\sharp)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k}-\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\dfrac{1}{k+1} \ (\because (-1)^{k-1}=(-1)^{k+1})$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k}{k}-\sum_{k=2}^{n+1}(-1)^{k}\dfrac{1}{k}$
$=-1-(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n+1}$
(3)
(2)より
$T_n=2S_n-\dfrac{(-1)^{n+1}}{n+1}-1$
であり,(1)より
$S_n\to \displaystyle \int_0^1\dfrac{dx}{1+x}=\log 2 \ \ (n\to \infty)$
であるから
$T_n=2S_n-\dfrac{(-1)^{n+1}}{n+1}-1 \to 2\log 2-1 \ \ (n\to \infty)$

注意
(2)の解答における$(\sharp)$の計算は,$n=5$ぐらいで計算してみればわかる.次の解答の 方がわかりやすいかもしれない.
$\displaystyle \sum_{k=1}^n(-\dfrac{(-1)^{k-1}}{k+1}-\dfrac{(-1)^{k-1}}{k})$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^n(\dfrac{(-1)^{k}}{k}+\dfrac{(-1)^{k}}{k+1})$
$=(-\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})+ \cdots +(\dfrac{(-1)^{n-1}}{n-1}+\dfrac{(-1)^{n-1}}{n})+(\dfrac{(-1)^{n}}{n}+\dfrac{(-1)^{n}}{n+1})$
$=\dfrac{(-1)^n}{n+1}-1$
このような解法は問題をたくさん解くことにより身に付くと考えたらそれは大きな間違いです. 問題に対して,いろいろ実験したり,$n$の小さい値で計算したりすることにより身につき 問題が解けるようになります.そしてこれこそが数学思考力を身につける方法です.

アルキメデス1の項目終わり(2016年2月)




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