.2 大学入試問題

ケプラーの法則(1)

ここでは,惑星は太陽を焦点とする楕円軌道,すなわちケプラーの第1法則を証明します.
恒星の周りを惑星が回るとき,2つの天体の間には万有引力(それぞれの質量の積に比例し,距離の2乗に反比例する)が働き, 一方ニュートンの第2法則より $F=ma$がなりたつ.すなわち次の関係式(万有引力の法則)が成り立つ.
$\mathbb{R}^2$において,恒星を原点,惑星の軌道を$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$とするとき,
$ m\dfrac{d^2\boldsymbol{z}(t)}{dt^2}=-\dfrac{GMm}{|\boldsymbol{z}(t)|^2}\dfrac{\boldsymbol{z}(t)}{|\boldsymbol{z}(t)|} $
ただし,$M$は恒星の質量,$m$は惑星の質量,$G$は万有引力定数である.
両辺を惑星の質量$m$で割り
$\dfrac{d^2\boldsymbol{z}(t)}{dt^2}=-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}(t)|^2}\dfrac{\boldsymbol{z}(t)}{|\boldsymbol{z}(t)|}$
となる.
$\mathbb{R}^2$において,恒星を原点,惑星の軌道を$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$とするとき, $\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$は微分方程式
$\dfrac{d^2\boldsymbol{z}(t)}{dt^2}=-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}(t)|^2} \dfrac{\boldsymbol{z}(t)}{|\boldsymbol{z}(t)|}\cdots (\sharp)$
を満たす.ただし,$M$は恒星の質量,$G$は万有引力定数
微分方程式$(\sharp)$を解くのですが,見方を変えれば微分方程式につきものの,解の存在や一意性を議論する必要がなく,式の変形を追うだけですから 気楽といえば気楽です.行間をあんまり開けない変形をしていくつもりです.

まず,方針を述べます.
$\boldsymbol{z}$の極座標を$(r,\theta)$とおく.すなわち
$\boldsymbol{z}=(x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta)$
ここで,$u=\frac{1}{r}$とおいて
$\dfrac{d^2u}{d\theta ^2}=-u+K\cdots (\flat)$
ただし,$K$は定数.
を導き出します.
微分方程式
$y''=-y$
は$y=\sin \theta,y=\cos \theta$が解だから一般解は
$y=a\sin \theta +b\sin \theta =c\cos (\theta+\theta_0)$
微分方程式
$y''=-y+K$
は$y''=-y$の解を用いて
$y=K+c\cos (\theta +\theta_0)$
となる.
実際,
$y''=-c\cos (\theta +\theta _0),$
$-y+K=-c\cos (\theta +\theta _0)$
である.
$u=\frac{1}{r}$と置いたから $(\flat)$の解は
$u=K+c\cos (\theta +\theta _0)=K(1+\dfrac{c}{K}\cos (\theta +\theta _0))$
$l=\frac{1}{K},e=\frac{c}{K}$とおいて
$r=\dfrac{l}{1+e\cos (\theta +\theta _0)}$
と2次曲線の極方程式が導き出される.

これから,上記の$(\flat)$を導き出すのであるが,記号についていくつか注意する.
関数の時間$t$での微分は上に点をつけ
$\dfrac{d\boldsymbol{z}}{dt}=\dot{\boldsymbol{z}},\dfrac{d^2\boldsymbol{z}}{dt^2}=\ddot{\boldsymbol{z}}$
と表します.
関数$f$の変数$x$による偏微分は$\frac{\partial f}{\partial x}$が一般的ですが,ここでは $f_x$の様に下付きの添え字を用いることが多い.

ここでの証明は, 与えられた微分方程式,ここでは万有引力の法則
$\dfrac{d^2\boldsymbol{z}(t)}{dt^2}=-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}(t)|^2}\dfrac{\boldsymbol{z}(t)}{|\boldsymbol{z}(t)|}$
の解の曲線$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$上の不変量(エネルギー保存法則,面積速度一定)を用いて,目標の微分方程式を導き出します.
微分方程式が与えられたとき,解曲線上の不変量,もう少し分かりやすく言うと,$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$が 与えられた微分方程式の解のとき
$f(x(t),y(t))=$定数
をみたすとき,この関数$f$を与えられた微分方程式の第1積分といいます. これは,微分方程式の解を求めるための有力な情報です.

$\S1 \ \ $楕円の基本事項
楕円の基本事項から始めます.
2次曲線の極方程式は高校で学ぶ内容ですが,教科書の最後の方で比較的簡単に扱われています. ここでまとめておきます.
定義
2定点$F,F'$から距離の和が一定である点の軌跡を楕円といい,$F,F'$をその焦点という

2点$F(c,0),F'(-c,0)$を焦点とし,2点からの距離の和が$2a$である楕円の式を求めよう.
まず,
$2a=PF+PF' > FF'=2c$
より$0 < c < a$であることに注意する.
楕円上の点を$P(x,y)$とする.
このとき$PF+PF'=2a$より
$\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
$+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\cdots (1.1)$
$\sqrt{(x+c)^2+y^2}$
$=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$
とし,平方し整理すると
$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a-\dfrac{cx}{a}=\dfrac{c}{a}\left(\dfrac{a^2}{c}-x\right)$
ここで$\frac{c}{a}=e \ \ (0 < e < 1)$と置く
$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\left(\dfrac{a}{e}-x\right)\cdots (1.2)$
直線$x=\frac{a}{e}$を直線$l$,楕円上の点$P$から$l$に下ろした垂線の足を$H$とすると$(1.2)$は
$PF=ePH$
を意味している.
したがって,次のことが分かる.

楕円は定点$F$と定直線$l$への距離の比が$e:1 \ (0 < e < 1)$である点の軌跡である.この$e$ の値を楕円の離心率,直線$l$を準線という.
このことは後で楕円の極方程式で用いられる.
話を続けよう.
$(1.2)$の両辺を平方し整理する.$c=ae$に注意して
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\cdots (1.3)$
$(1.3)$より楕円は$a$と$e$できまる. $2a$は楕円の長軸の長さ($PF+PF'$)であるから,長軸の長さと$e$で決まるといってもよい.
さらに$e$が決まれば形が決まる.これは,$e$が同じだ円は互いに相似であるという意味.
実際,$a=1$のとき
$x^2+\dfrac{y^2}{1-e^2}=1\cdots (1.4)$
であり$(1.4)$の相似変換$(x,y)\mapsto (ax,ay)$による像が$(1.3)$である.

楕円は定点$F$と直線$l$との距離の比$e:1 \ (0 < e < 1)$である点の軌跡である.この性質を用いて 楕円の極方程式を求めよう.
$F$から$l$に下ろした垂線の足を$A$とし,$FA=a$とする.
点$F$が極$O$,半直線$OA$が始線の極座標系で考える.
楕円上の点$P$から$l$に下ろした垂線の足を$H$とする.
$P$の極座標を$(r,\theta)$とすると
$OP=ePH$
であるから
$r\cos \theta +\dfrac{r}{e}=a$
$\therefore r=\dfrac{ae}{1+e\cos \theta}\cdots (1,5)$
$(1.5)$が楕円の極方程式である.
ここで,
$r=\dfrac{ae}{1+e\cos (\theta -\theta _0)}$
は楕円$(1.5)$を極の周りに$\theta _0$だけ回転したもので形は変わらないことに注意する.
つぎに,楕円$(1.5) \ 0 < e < 1$の面積を求めよう.
$r(0)=\dfrac{ae}{1+e},r(\pi)=\dfrac{ae}{1-e}$
より,長軸の長さを$2\alpha $とおくと
$2\alpha =\dfrac{ae}{1+e}+\dfrac{ae}{1-e}=\dfrac{2ae}{1-e^2}$
短軸の長さを$2\beta$とする.
$\beta =\alpha \sqrt{1-e^2}=\dfrac{ae}{\sqrt{1-e^2}}$
したがって,楕円の面積は
$\pi \alpha \beta=\dfrac{\pi a^2e^2}{(1-e^2)\sqrt{1-e^2}}$

注意
長軸の両端を$M.N$とすると,$M,N$は線分$OA$を$e:1$に内分,外分する点である($O,A;M,N$は調和点列をなすという).したがって,
$OP:AP=e:1$
を満たす点$P$の軌跡は線分$MN$を直径とする円である(アポロニウスの円).

ここでは楕円だけを扱ったが,放物線($e=1$),双曲線($e > 1$)は同様に扱えばよい.

本論に入ります.万有引力の微分方程式$(\sharp)$の解の満たす不変量を調べていきます.

$\S2 \ \ $エネルギー保存法則
力を受けて運動する粒子を考えます.これを力の場の中で運動するといいます.
ここで考えている$\boldsymbol{z}=(x,y)$における力の場は万有引力の法則$(\sharp)$の右辺である
$-\dfrac{GM\boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{z}|^3}$
です.
力の場とは,各点にその点が始点であるベクトルを定義したもので,数学ではベクトル場といいます.
右図は力の場(ベクトル場)$\boldsymbol{X}$
$\boldsymbol{X}(x,y)=(x+y,x-y)$
を図示したものです.
この例のように,力の場$\boldsymbol{X}$は2つの関数$p(x,y),q(x,y)$を用いて
$\boldsymbol{X}(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$
と表せます.

力の場$\boldsymbol{X}(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$がある関数$V(x,y)$を用いて
$\boldsymbol{X}(x,y)=-(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y})$
と表せるとき(マイナスを付けるのは反対の向きを正と考えるから),この力の場は保存的であるといい, この関数$V(x,y)$を力の場$\boldsymbol{X}(x,y)$のポテンシャルエネルギー関数と呼ぶ.
なお,
$(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y})=\mathrm{grad}(V(x,y))$
と表し,$V$の勾配(gradient)という.
力の場$\boldsymbol{X}$が保存的でポテンシャルエネルギーが$V$のとき
$\boldsymbol{X}=-\mathrm{grad}(V)$
となる.
$c_0$が定数の時
$V(x,y)=c_0$
は一つの曲線をあらわす.この曲線を関数$V(x,y)$の等位線という.$\mathrm{grad}(V)$は等位線に垂直なベクトル場である.
実際,等位線を$(x(t),y(t))$と置くと
$V(x(t),y(t))=c_0$
したがって,
$V_xx'(t)+V_yy'(t)=0$
$\therefore (V_x,V_y)\cdot (x'(t),y'(t))=0$

注意
ポテンシャルエネルギー関数の説明が不十分,力の場とポテンシャルエネルギー関数の関係は最後に説明する

ここで,一般の力の場$\boldsymbol{X}=(p(x,y),q(x,y))$が保存的とは限らないことに注意しよう.
保存的ならある関数$V(x,y)$が存在し
$\dfrac{\partial V}{\partial x}=-p(x,y), \dfrac{\partial V}{\partial y}=-q(x,y)\cdots (2.1)$
となる.
$(2.1)$の第1式を$y$で偏微分,第2式を$x$で偏微分すると
$\dfrac{\partial ^2V}{\partial x\partial y}=-\dfrac{\partial p}{\partial y},\dfrac{\partial ^2V}{\partial y\partial x}=-\dfrac{\partial q}{\partial x} $
より
$\dfrac{\partial p}{\partial y}=\dfrac{\partial q}{\partial x}\cdots (2.2)$
が必要であることはすぐにわかる.逆に領域が単連結(任意の交わらない閉曲線(単純閉曲線という)を描いたとき, その内部がかならず領域に含まれる.要するに穴が開いていない領域のこと)なら $(2.2)$が十分条件であることが示される.
$V$を求めることは偏微分方程式$(2,1)$を解くことで,解けるための条件$(2.2)$を偏微分方程式$(2.1)$の可積分条件という.
以上のことより,次のことが成り立つ.

領域が単連結の時,ベクトル場$\boldsymbol{X}(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$が保存的であるための必要十分条件は
$\dfrac{\partial p}{\partial y}=\dfrac{\partial q}{\partial x}$
である.

つぎに,保存的な場$\boldsymbol{X}=-\mathrm{grad}(V)$を粒子が動くとき, その軌道を$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$とすれば
$\dfrac{dV(x(t),y(t))}{dt}=\dfrac{\partial V}{\partial x}\dot{x}+\dfrac{\partial V}{\partial y}\dot{y} =\mathrm{grad}(V) \cdot (\dot{x},\dot{y})\cdots (2.3)$
が成り立つ.ただし$\cdot$は内積.
ここで,重力場$\boldsymbol{X}=-\dfrac{GM\boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{z}|^3}$は保存的であることに注意する.
それは$(2.2)$を示してもよいが,ここではポテンシャルエネルギー関数$V$を求める.
実際$\boldsymbol{z}=(x,y)$で$|\boldsymbol{z}|=\sqrt{x^2+y^2}$であるから
$\dfrac{\partial |\boldsymbol{z}|}{\partial x}=\dfrac{x}{|\boldsymbol{z}|}$より
$\mathrm{grad}(\dfrac{1}{|\boldsymbol{z}|})=-\dfrac{(x,y)}{|\boldsymbol{z}|^3}$
である.すなわち,重力場は保存的であり
$\boldsymbol{X}=-\dfrac{GM\boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{z}|^3}=GM\mathrm{grad}(\dfrac{1}{|\boldsymbol{z}|})=-\mathrm{grad}(-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}|})$
より,ポテンシャルエネルギー関数は
$V=-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}|}$
であることがわかる.
運動する質量$1$の粒子$\boldsymbol{z}(t)$の運動エネルギー$T=\dfrac{|\dot{z}|^2}{2}$は速度に関係 するが,ポテンシャルエネルギーは 位置の関数であり,速度に関係しないことに注意する.

保存力の場$\boldsymbol{X}=-\mathrm{grad}(V)$の中で運動している 質量$1$の粒子の運動$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$の全エネルギー$E$を
$E=T+V=\dfrac{|\dot{\boldsymbol{z}}|^2}{2}+V(\boldsymbol{z}(t))$
で定義する.$V(\boldsymbol{z}(t))$の意味は$\S5$で説明する.

$E$は時間$t$の関数であるが$t$によらない一定であることを証明しよう.
$\dfrac{dE(t)}{dt}=0$を示せばよい.
$\dfrac{dE(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\dot{\boldsymbol{z}}\cdot \dot{\boldsymbol{z}}}{2}+V(\boldsymbol{z}(t)))$
ここで,$\boldsymbol{X}=-\mathrm{grad}(V)$であり,$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$および$(2.3)$より
$\dfrac{dV(\boldsymbol{z}(t))}{dt}=(V_x,V_y)\cdot (\dot{x},\dot{y})=-\boldsymbol{X}\cdot \dot{\boldsymbol{z}}$
であるから
$=\ddot{\boldsymbol{z}}\cdot \dot{\boldsymbol{z}}-\boldsymbol{X}\cdot \dot{\boldsymbol{z}}$
$=(\ddot{\boldsymbol{z}}-\boldsymbol{X})\cdot \dot{\boldsymbol{z}}=0 \ \ (\because \text{万有引力の法則より} \ddot{\boldsymbol{z}}=-\dfrac{GM\boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{z}|^3}=\boldsymbol{X}(\boldsymbol{z}))$
以上で,次の命題が証明された.

定理(エネルギー保存の法則)
保存的である力の場の中で運動する粒子の全エネルギーは一定である(時間によらない).


続く



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