ケプラーの法則(1)
ここでは，惑星は太陽を焦点とする楕円軌道，すなわちケプラーの第1法則を証明します．
恒星の周りを惑星が回るとき，2つの天体の間には万有引力(それぞれの質量の積に比例し，距離の２乗に反比例する)が働き，
一方ニュートンの第2法則より
$F=ma$がなりたつ．すなわち次の関係式(万有引力の法則)が成り立つ．
$\mathbb{R}^2$において，恒星を原点，惑星の軌道を$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$とするとき，
$
m\dfrac{d^2\boldsymbol{z}(t)}{dt^2}=-\dfrac{GMm}{|\boldsymbol{z}(t)|^2}\dfrac{\boldsymbol{z}(t)}{|\boldsymbol{z}(t)|}
$
ただし，$M$は恒星の質量，$m$は惑星の質量，$G$は万有引力定数である．
両辺を惑星の質量$m$で割り
$\dfrac{d^2\boldsymbol{z}(t)}{dt^2}=-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}(t)|^2}\dfrac{\boldsymbol{z}(t)}{|\boldsymbol{z}(t)|}$
となる．
$\mathbb{R}^2$において，恒星を原点，惑星の軌道を$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$とするとき，
$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$は微分方程式
$\dfrac{d^2\boldsymbol{z}(t)}{dt^2}=-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}(t)|^2}
\dfrac{\boldsymbol{z}(t)}{|\boldsymbol{z}(t)|}\cdots (\sharp)$
を満たす．ただし，$M$は恒星の質量，$G$は万有引力定数
微分方程式$(\sharp)$を解くのですが，見方を変えれば微分方程式につきものの，解の存在や一意性を議論する必要がなく，式の変形を追うだけですから
気楽といえば気楽です．行間をあんまり開けない変形をしていくつもりです．
まず，方針を述べます．
$\boldsymbol{z}$の極座標を$(r,\theta)$とおく．すなわち
$\boldsymbol{z}=(x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta)$
ここで，$u=\frac{1}{r}$とおいて
$\dfrac{d^2u}{d\theta ^2}=-u+K\cdots (\flat)$
ただし，$K$は定数．
を導き出します．
微分方程式
$y''=-y$
は$y=\sin \theta,y=\cos \theta$が解だから一般解は
$y=a\sin \theta +b\sin \theta =c\cos (\theta+\theta_0)$
微分方程式
$y''=-y+K$
は$y''=-y$の解を用いて
$y=K+c\cos (\theta +\theta_0)$
となる．
実際，
$y''=-c\cos (\theta +\theta _0),$
$-y+K=-c\cos (\theta +\theta _0)$
である．
$u=\frac{1}{r}$と置いたから
$(\flat)$の解は
$u=K+c\cos (\theta +\theta _0)=K(1+\dfrac{c}{K}\cos (\theta +\theta _0))$
$l=\frac{1}{K},e=\frac{c}{K}$とおいて
$r=\dfrac{l}{1+e\cos (\theta +\theta _0)}$
と2次曲線の極方程式が導き出される．
これから，上記の$(\flat)$を導き出すのであるが，記号についていくつか注意する．
関数の時間$t$での微分は上に点をつけ
$\dfrac{d\boldsymbol{z}}{dt}=\dot{\boldsymbol{z}},\dfrac{d^2\boldsymbol{z}}{dt^2}=\ddot{\boldsymbol{z}}$
と表します．
関数$f$の変数$x$による偏微分は$\frac{\partial f}{\partial x}$が一般的ですが，ここでは
$f_x$の様に下付きの添え字を用いることが多い．
ここでの証明は，
与えられた微分方程式，ここでは万有引力の法則
$\dfrac{d^2\boldsymbol{z}(t)}{dt^2}=-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}(t)|^2}\dfrac{\boldsymbol{z}(t)}{|\boldsymbol{z}(t)|}$
の解の曲線$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$上の不変量(エネルギー保存法則，面積速度一定)を用いて，目標の微分方程式を導き出します．
微分方程式が与えられたとき，解曲線上の不変量，もう少し分かりやすく言うと，$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$が
与えられた微分方程式の解のとき
$f(x(t),y(t))=$定数
をみたすとき，この関数$f$を与えられた微分方程式の第１積分といいます．
これは，微分方程式の解を求めるための有力な情報です．
$\S1 \ \ $楕円の基本事項
楕円の基本事項から始めます．
2次曲線の極方程式は高校で学ぶ内容ですが，教科書の最後の方で比較的簡単に扱われています．
ここでまとめておきます．
定義
2定点$F,F'$から距離の和が一定である点の軌跡を楕円といい，$F,F'$をその焦点という
2点$F(c,0),F'(-c,0)$を焦点とし，2点からの距離の和が$2a$である楕円の式を求めよう．
まず，
$2a=PF+PF' > FF'=2c$
より$0 < c < a$であることに注意する．
楕円上の点を$P(x,y)$とする．
このとき$PF+PF'=2a$より
$\sqrt{(x-c)^2+y^2}$
$+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\cdots (1.1)$
$\sqrt{(x+c)^2+y^2}$
$=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}$
とし，平方し整理すると
$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a-\dfrac{cx}{a}=\dfrac{c}{a}\left(\dfrac{a^2}{c}-x\right)$
ここで$\frac{c}{a}=e \ \ (0 < e < 1)$と置く
$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\left(\dfrac{a}{e}-x\right)\cdots (1.2)$
直線$x=\frac{a}{e}$を直線$l$,楕円上の点$P$から$l$に下ろした垂線の足を$H$とすると$(1.2)$は
$PF=ePH$
を意味している．
したがって，次のことが分かる．
楕円は定点$F$と定直線$l$への距離の比が$e:1 \ (0 < e < 1)$である点の軌跡である.この$e$
の値を楕円の離心率，直線$l$を準線という．
このことは後で楕円の極方程式で用いられる．
話を続けよう．
$(1.2)$の両辺を平方し整理する.$c=ae$に注意して
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\cdots (1.3)$
$(1.3)$より楕円は$a$と$e$できまる．
$2a$は楕円の長軸の長さ($PF+PF'$)であるから，長軸の長さと$e$で決まるといってもよい．
さらに$e$が決まれば形が決まる．これは，$e$が同じだ円は互いに相似であるという意味．
実際，$a=1$のとき
$x^2+\dfrac{y^2}{1-e^2}=1\cdots (1.4)$
であり$(1.4)$の相似変換$(x,y)\mapsto (ax,ay)$による像が$(1.3)$である．
楕円は定点$F$と直線$l$との距離の比$e:1 \ (0 < e < 1)$である点の軌跡である．この性質を用いて
楕円の極方程式を求めよう．
$F$から$l$に下ろした垂線の足を$A$とし，$FA=a$とする．
点$F$が極$O$，半直線$OA$が始線の極座標系で考える．
楕円上の点$P$から$l$に下ろした垂線の足を$H$とする.
$P$の極座標を$(r,\theta)$とすると
$OP=ePH$
であるから
$r\cos \theta +\dfrac{r}{e}=a$
$\therefore r=\dfrac{ae}{1+e\cos \theta}\cdots (1,5)$
$(1.5)$が楕円の極方程式である．
ここで，
$r=\dfrac{ae}{1+e\cos (\theta -\theta _0)}$
は楕円$(1.5)$を極の周りに$\theta _0$だけ回転したもので形は変わらないことに注意する．
つぎに，楕円$(1.5) \ 0 < e < 1$の面積を求めよう．
$r(0)=\dfrac{ae}{1+e},r(\pi)=\dfrac{ae}{1-e}$
より，長軸の長さを$2\alpha $とおくと
$2\alpha =\dfrac{ae}{1+e}+\dfrac{ae}{1-e}=\dfrac{2ae}{1-e^2}$
短軸の長さを$2\beta$とする.
$\beta =\alpha \sqrt{1-e^2}=\dfrac{ae}{\sqrt{1-e^2}}$
したがって，楕円の面積は
$\pi \alpha \beta=\dfrac{\pi a^2e^2}{(1-e^2)\sqrt{1-e^2}}$
注意
長軸の両端を$M.N$とすると，$M,N$は線分$OA$を$e:1$に内分，外分する点である($O,A;M,N$は調和点列をなすという)．したがって，
$OP:AP=e:1$
を満たす点$P$の軌跡は線分$MN$を直径とする円である(アポロニウスの円)．
ここでは楕円だけを扱ったが，放物線($e=1$),双曲線($e > 1$)は同様に扱えばよい．
本論に入ります．万有引力の微分方程式$(\sharp)$の解の満たす不変量を調べていきます．
$\S2 \ \ $エネルギー保存法則
力を受けて運動する粒子を考えます．これを力の場の中で運動するといいます．
ここで考えている$\boldsymbol{z}=(x,y)$における力の場は万有引力の法則$(\sharp)$の右辺である
$-\dfrac{GM\boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{z}|^3}$
です．
力の場とは，各点にその点が始点であるベクトルを定義したもので，数学ではベクトル場といいます．
右図は力の場(ベクトル場)$\boldsymbol{X}$
$\boldsymbol{X}(x,y)=(x+y,x-y)$
を図示したものです．
この例のように，力の場$\boldsymbol{X}$は2つの関数$p(x,y),q(x,y)$を用いて
$\boldsymbol{X}(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$
と表せます．
力の場$\boldsymbol{X}(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$がある関数$V(x,y)$を用いて
$\boldsymbol{X}(x,y)=-(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y})$
と表せるとき(マイナスを付けるのは反対の向きを正と考えるから)，この力の場は保存的であるといい，
この関数$V(x,y)$を力の場$\boldsymbol{X}(x,y)$のポテンシャルエネルギー関数と呼ぶ．
なお，
$(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y})=\mathrm{grad}(V(x,y))$
と表し，$V$の勾配(gradient)という．
力の場$\boldsymbol{X}$が保存的でポテンシャルエネルギーが$V$のとき
$\boldsymbol{X}=-\mathrm{grad}(V)$
となる．
$c_0$が定数の時
$V(x,y)=c_0$
は一つの曲線をあらわす．この曲線を関数$V(x,y)$の等位線という．$\mathrm{grad}(V)$は等位線に垂直なベクトル場である．
実際，等位線を$(x(t),y(t))$と置くと
$V(x(t),y(t))=c_0$
したがって，
$V_xx'(t)+V_yy'(t)=0$
$\therefore (V_x,V_y)\cdot (x'(t),y'(t))=0$
注意
ポテンシャルエネルギー関数の説明が不十分，力の場とポテンシャルエネルギー関数の関係は最後に説明する
ここで，一般の力の場$\boldsymbol{X}=(p(x,y),q(x,y))$が保存的とは限らないことに注意しよう．
保存的ならある関数$V(x,y)$が存在し
$\dfrac{\partial V}{\partial x}=-p(x,y),
\dfrac{\partial V}{\partial y}=-q(x,y)\cdots (2.1)$
となる．
$(2.1)$の第１式を$y$で偏微分，第2式を$x$で偏微分すると
$\dfrac{\partial ^2V}{\partial x\partial y}=-\dfrac{\partial p}{\partial y},\dfrac{\partial ^2V}{\partial y\partial x}=-\dfrac{\partial q}{\partial x} $
より
$\dfrac{\partial p}{\partial y}=\dfrac{\partial q}{\partial x}\cdots (2.2)$
が必要であることはすぐにわかる．逆に領域が単連結(任意の交わらない閉曲線(単純閉曲線という)を描いたとき，
その内部がかならず領域に含まれる．要するに穴が開いていない領域のこと)なら
$(2.2)$が十分条件であることが示される．
$V$を求めることは偏微分方程式$(2,1)$を解くことで，解けるための条件$(2.2)$を偏微分方程式$(2.1)$の可積分条件という．
以上のことより，次のことが成り立つ．
領域が単連結の時，ベクトル場$\boldsymbol{X}(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$が保存的であるための必要十分条件は
$\dfrac{\partial p}{\partial y}=\dfrac{\partial q}{\partial x}$
である．
つぎに，保存的な場$\boldsymbol{X}=-\mathrm{grad}(V)$を粒子が動くとき,
その軌道を$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$とすれば
$\dfrac{dV(x(t),y(t))}{dt}=\dfrac{\partial V}{\partial x}\dot{x}+\dfrac{\partial V}{\partial y}\dot{y}
=\mathrm{grad}(V) \cdot (\dot{x},\dot{y})\cdots (2.3)$
が成り立つ．ただし$\cdot$は内積．
ここで，重力場$\boldsymbol{X}=-\dfrac{GM\boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{z}|^3}$は保存的であることに注意する．
それは$(2.2)$を示してもよいが，ここではポテンシャルエネルギー関数$V$を求める．
実際$\boldsymbol{z}=(x,y)$で$|\boldsymbol{z}|=\sqrt{x^2+y^2}$であるから
$\dfrac{\partial |\boldsymbol{z}|}{\partial x}=\dfrac{x}{|\boldsymbol{z}|}$より
$\mathrm{grad}(\dfrac{1}{|\boldsymbol{z}|})=-\dfrac{(x,y)}{|\boldsymbol{z}|^3}$
である．すなわち，重力場は保存的であり
$\boldsymbol{X}=-\dfrac{GM\boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{z}|^3}=GM\mathrm{grad}(\dfrac{1}{|\boldsymbol{z}|})=-\mathrm{grad}(-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}|})$
より，ポテンシャルエネルギー関数は
$V=-\dfrac{GM}{|\boldsymbol{z}|}$
であることがわかる．
運動する質量$1$の粒子$\boldsymbol{z}(t)$の運動エネルギー$T=\dfrac{|\dot{z}|^2}{2}$は速度に関係
するが，ポテンシャルエネルギーは
位置の関数であり，速度に関係しないことに注意する．
保存力の場$\boldsymbol{X}=-\mathrm{grad}(V)$の中で運動している
質量$1$の粒子の運動$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$の全エネルギー$E$を
$E=T+V=\dfrac{|\dot{\boldsymbol{z}}|^2}{2}+V(\boldsymbol{z}(t))$
で定義する．$V(\boldsymbol{z}(t))$の意味は$\S5$で説明する．
$E$は時間$t$の関数であるが$t$によらない一定であることを証明しよう．
$\dfrac{dE(t)}{dt}=0$を示せばよい．
$\dfrac{dE(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\dot{\boldsymbol{z}}\cdot \dot{\boldsymbol{z}}}{2}+V(\boldsymbol{z}(t)))$
ここで，$\boldsymbol{X}=-\mathrm{grad}(V)$であり，$\boldsymbol{z}(t)=(x(t),y(t))$および$(2.3)$より
$\dfrac{dV(\boldsymbol{z}(t))}{dt}=(V_x,V_y)\cdot (\dot{x},\dot{y})=-\boldsymbol{X}\cdot \dot{\boldsymbol{z}}$
であるから
$=\ddot{\boldsymbol{z}}\cdot \dot{\boldsymbol{z}}-\boldsymbol{X}\cdot \dot{\boldsymbol{z}}$
$=(\ddot{\boldsymbol{z}}-\boldsymbol{X})\cdot \dot{\boldsymbol{z}}=0 \ \ (\because \text{万有引力の法則より}
\ddot{\boldsymbol{z}}=-\dfrac{GM\boldsymbol{z}}{|\boldsymbol{z}|^3}=\boldsymbol{X}(\boldsymbol{z}))$
以上で，次の命題が証明された．
定理(エネルギー保存の法則)
保存的である力の場の中で運動する粒子の全エネルギーは一定である（時間によらない）．
続く
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