ケプラーの法則

ここでは,惑星は太陽を焦点とする楕円軌道,すなわちケプラーの第1法則を証明します.
恒星の周りを惑星が回るとき,2つの天体の間には万有引力が働き,一方ニュートンの第2法則より $F=ma$がなりたつ.すなわち次の関係式(万有引力の法則)が成り立つ.
$\mathbb{R}^2$において,恒星を原点,惑星の軌道を$z(t)=(x(t),y(t))$とするとき,
$m\dfrac{d^2z(t)}{dt^2}=-\dfrac{GMm}{|z(t)|^2}\dfrac{z(t)}{|z(t)|}$
ただし,$M$は恒星の質量,$m$は惑星の質量,$G$は万有引力定数である.
ここでは,両辺を惑星の質量$m$で割った
$\dfrac{d^2z(t)}{dt^2}=-\dfrac{GM}{|z(t)|^2}\dfrac{z(t)}{|z(t)|}$
すなわち,惑星の質量$1$の場合を考える.
万有引力の法則より,惑星の軌道$z$を求めるのであるが,まず方針を述べる.
$z$の極座標を$(r,\theta)$とおく.すなわち
$z=(x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta)$
ここで,$u=\frac{1}{r}$とおいて
$\dfrac{d^2u}{d\theta ^2}=-u+K\cdots (\sharp)$
ただし,$K$は定数.を導き出します.
ちなみに,微分方程式
$y"=-y$
は$y=\sin x,y=\cos x$が解だから一般解は
$y=a\sin x+b\sin x=c\sin (x+x_0)$
微分方程式
$y"=-y+K$
は$y"=-y$の解を用いて
$y=K+c\cos (x+x_0)$
となる.実際に確かめればよい.
$u=\frac{1}{r}$と置いたから $(\sharp)$の解は
$u=K+c\cos (\theta +\theta _0)=K(1+\dfrac{c}{K}\cos (\theta +\theta _0))$
$l=\frac{1}{K},e=\frac{c}{K}$より
$r=\dfrac{l}{1+e\cos (\theta +\theta _0)}$
と2次曲線の極方程式が導き出される.

これから,上記の$(\sharp)$を導き出すのであるが,記号についていくつか注意する.
関数の時間$t$での微分は上に点をつけ
$\dfrac{dz}{dt}=\dot{z},\dfrac{d^2z}{dt^2}=\ddot{z}$
と表します.
ベクトル値関数は本来太字か上に矢印をつけ
zまたは$\overrightarrow{z}$
と表記すべきですが,ここでは$z$と特別の表し方はしない.出てくるのは $z(t)=(x(t),y(t))$だけです.
偏微分の表記が必要になるので,簡単にのべます.
2変数の関数$f(x,y)$で$y$を固定し$x$の関数とみて$x$で微分して得られる式を
$\dfrac{\partial f}{\partial x}$または$f_x$
と表します.変数$y$についても同様です.
たとえば$f(x,y)=x^2+xy$のとき
$f_x=2x+y,f_y=x$
となります.

本論に入りましょう.
ここでは,万有引力の法則
$\dfrac{d^2z(t)}{dt^2}=-\dfrac{GM}{|z(t)|^2}\dfrac{z(t)}{|z(t)|}$
の解の曲線$z(t)=(x(t),y(t))$上の不変量(エネルギー保存法則,面積速度一定)を用いて,目標の微分方程式を導き出す.
微分方程式が与えられたとき,解曲線上の不変量,もう少し分かりやすく言うと,$z(t)=(x(t),y(t))$が 与えられた微分方程式の解のとき
$f(x(t),y(t))=\text{定数}$
をみたすとき,この関数$f$を与えられた微分方程式の第1積分といいます. これは,微分方程式の解を求めるための有力な情報です.

エネルギー保存法則

質量$1$の粒子は力を受けて運動します.これを力の場の中で運動するといいます.
ここで考えている$z=(x,y)$における力の場は万有引力の法則の右辺である
$-\dfrac{GMz}{|z|^3}$
です.
力の場とは,各点にその点が始点であるベクトルを定義したもので,数学ではベクトル場といいます.
ちなみに,右の力の場(ベクトル場)$X$は
$X(x,y)=(x+y,x-y)$
を図示したものです.
この例のように,力の場$X$は2つの関数$p(x,y),q(x,y)$を用いて
$X(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$
と表せます.
力の場$X(x,y)=(p(x,y),q(x,y))$がある関数$V(x,y)$を用いて
$X(x,y)=-(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y})$
と表せるとき(マイナスを付けるのは習慣で大きな意味はない),この力の場は保存的であるといい, この関数$V(x,y)$を力の場$X(x,y)$のポテンシャルエネルギー関数と呼ぶ.
なお,
$(\dfrac{\partial V}{\partial x},\dfrac{\partial V}{\partial y})=\mathrm{grad}(V(x,y))$
と表す.すなわち,力の場$X$が保存的でポテンシャルエネルギーが$V$のとき
$X=-\mathrm{grad}(V)$
となる.
ここで,一般の力の場$X=(p(x,y),q(x,y))$が保存的とは限らないことに注意しよう.保存的ならある関数$V(x,y)$が存在し
$\dfrac{\partial V}{\partial x}=p(x,y), \dfrac{\partial V}{\partial y}=q(x,y)$
となる.
第1式を$y$で偏微分,第2式を$x$で偏微分することより
$\dfrac{\partial p}{\partial y}=\dfrac{\partial q}{\partial x}\cdots (1)$
が必要であることはすぐにわかる.領域が単連結(任意の交わらない閉曲線(単純閉曲線という)を描いたとき, その内部がかならず領域に含まれる.)なら $(1)$が必要十分条件であることが示される.
つぎに,保存的な場$X=-\mathrm{grad}(V)$を粒子が動くとき, その軌道を$z(t)=(x(t),y(t))$とすれば
$\dfrac{dV(x(t),y(t))}{dt}=\dfrac{\partial V}{\partial x}\dot{x}+\dfrac{\partial V}{\partial y}\dot{y}$
$=\mathrm{grad}(V) \cdot (\dot{x},\dot{y})$
が成り立つ.ただし$\cdot$は内積.
ここで,重力場$X=-\dfrac{GMz}{|z|^3}$は保存的であることに注意する.
実際$z=(x,y)$で$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$であるから
$\dfrac{\partial |z|}{\partial x}=\dfrac{x}{|z|}$より
$\mathrm{grad}(\dfrac{1}{|z|})=-\dfrac{(x,y)}{|z|^3}$
である.すなわち,重力場は保存的であり
$X=-\dfrac{GMz}{|z|^3}=GM\mathrm{grad}(\dfrac{1}{|z|})=-\mathrm{grad}(-\dfrac{GM}{|z|})$
より,ポテンシャルエネルギーは
$V=-\dfrac{GM}{|z|}$
であることがわかる.
運動する粒子$z(t)$の運動エネルギー$T=\dfrac{|\dot{z}|^2}{2}$は速度に関係 するが,ポテンシャルエネルギーは 位置の関数であり,速度に関係しないことに注意する.

保存力の場$X=-\mathrm{grad}(V)$の中で運動している 質量$1$の粒子の運動$z(t)=(x(t),y(t))$の全エネルギー$E$を
$E=T+V=\dfrac{|\dot{z}|^2}{2}+V(z(t))$
で定義する.

$E$は時刻$t$の関数であるが$t$によらない一定であることを証明しよう.
$\dfrac{dE(t)}{dt}=0$を示せばよい.
$\dfrac{dE(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\dfrac{\dot{z}\cdot \dot{z}}{2}+V(z(t)))$
ここで,$X=-\mathrm{grad}(V)$であり,$z(t)=(x(t),y(t))$より
$\dfrac{dV(z(t))}{dt}=(V_x,V_y)\cdot (\dot{x},\dot{y})=-X\cdot \dot{z}$であるから
$=\ddot{z}\cdot \dot{z}-X\cdot \dot{z}$
$=(\ddot{z}-X)\cdot \dot{z}=0 \ \ (\because \text{万有引力の法則より} \ddot{z}=-\dfrac{GMz}{|z|^3}=X(z))$
以上で,次の命題が証明された.
定理(エネルギー保存の法則)
保存力の場の中で運動する粒子の全エネルギーは一定である(時間によらない).

続く



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