1.包絡線

標題は難しいそうですが,ここでは直線群(パラメータを用いて表される直線)の 通過する領域を求めます.
まず次の例題を考えましょう.
例題1 $t$が実数全体を動くとき直線
$(t-1)x-2(t-2)y-4(t-1)=0$
の通過する領域をもとめよ.

$t$で整理し
$(x-2y-4)t-(x-4y+4)=0\cdots (\sharp)$
より,
与えられた直線は任意の$t$で
$\begin{cases} x-2y-4=0 \\ x-4y+4=0 \end{cases}$
の解である点$A(12,4)$は必ず通る.
逆に,点$A$と異なる点$P(x_0,y_0)$が直線$x-2y-4=0$上にあるとき
$x_0-2y_0-4=0,x_0-4y_0+4\neq 0$
より$(\sharp)$を満足する$t$は存在しない.したがって,この直線は$P$を通ることはない.
点$P(x_0,y_0)$が直線$x-2y-4=0$上にないとき
$x_0-2y_0-4\neq 0$
であるから$P$を通る直線は存在する.
以上のことより,直線の通過する領域は
全平面から直線$x-2y-4=0$を除いた部分および点$A$である.

次のようにしてもよい.
$(t-1)x-2(t-2)y-4(t-1)=0$

$t\neq 2$のとき$y=\dfrac{t-1}{2(t-2)}x-\dfrac{2(t-1)}{t-2}$
$t=2$のとき$x-4=0$
$A(12,4)$を通ることはわかっているので傾きだけ調べればよい.
$f(t)=\dfrac{t-1}{2(t-2)}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2(t-2)}$
より,傾きは$\frac{1}{2}$以外のすべてをとり($\infty$を含む)$\frac{1}{2}$は取らない.
したがって,直線の通過する領域は
全平面から直線$x-2y-4=0$を除いた部分および点$A$である.

たとえば$-1\leqq t \leqq 1$のときの直線の通過する領域は直線の傾きに注目すれば簡単に求められる.

パラメータ$t$を含む直線群を扱うとき$t$が1次式のときは大きな問題はありません.
ここでは$t$の2次式になるときの直線の通過する領域を調べます.

まず,曲線$y=x^2$の接線全体を考えましょう.
$P(t,t^2)$における接線を求めることにより
$y=2tx-t^2$・・・(1)
となります.
逆に,媒介変数を$t$を用いて表された曲線群(1)を扱うときに,(1)は ある曲線の接線全体からなる直線の集合であると という考え方が包絡線の考え方です.
この例では,直線群(1)は曲線$y=x^2$の接線の全体であり, 曲線$y=x^2$を曲線群(1)の包絡線といいます. 包絡線が分かると与えられた直線が扱いやすくなります. 多くは直線群の通過する領域を調べるときに利用されますが深入りする必要はありません.

それでは
$y=2tx-t^2$・・・(1)
の包絡線をどのように求めるか考えてみましょう.
包絡線を
$y=ax^2+2bx+c$・・・(2)
とおくと,任意の$t$で(1),(2)は接するから,
$2tx-t^2=ax^2+bx+c$
$ax^2+2(b-t)x+c+t^2=0$
は任意の$t$で重解を持つ.
$D/4=(1-a)t^2-2bt+b^2-ac$
任意の$t$で$D=0$より
$a=1,b=c=0$
を得る.したがって,直線群(1)の包絡線は$y=x^2$となる.
包絡線はもっと簡単に求められます.
$y=2tx-t^2$・・・(1)
$t$についての2次式である左辺を平方完成します.
$y=-(t-x)^2+x^2$
平方部分を除いた$y=x^2$が(1)の包絡線なのですがわかりますか.ピンとくる人は相当のものです.
次のように考えましょう.
$\begin{cases} y=2tx-t^2=-(t-x)^2+x^2\\ y=x^2\end{cases}$
交点は$t$にかかわらず重解$x=t$です.
ですから,直線群(1)は放物線$y=x^2$に接するのです.さらにこのことは直線(1)は 放物線$y=x^2$の$x=t$における接線であることがわかる.
もうひとつ例をあげましょう.
$y=4tx-t^2$・・・(2)
の包絡線は
$y=4tx-t^2=-(2x-t)^2+4x^2$
より$y=4x^2$で
直線(2)は放物線$y=4x^2$の$x=\frac{t}{2}$における接線です.
確認してみましょう.
$y-4\left(\dfrac{t}{2}\right)^2=8\cdot \dfrac{t}{2}\left(x-\dfrac{t}{2}\right)$
$\therefore y=4tx-t^2$
したがって,
$y=4tx-t^2$の$0\leqq t\leqq 2$のときの直線の通過する領域は放物線$y=4x^2$の$0\leqq x\leqq 1$ における接線の通過する領域と一致します.

さて,これからが本題です.包絡線の知識は必要ありません.
これから扱うのは次の2題です.
問題1
$t$が実数全体を動くとき直線
$y=2tx-t^2$
の動く領域$D_1$を求めよ.

問題2
$t$が$0\leqq t \leqq 2$の範囲を動くとき直線
$y=2tx-t^2$
の動く領域$D_2$を求めよ.

まず問題1から解決しよう.2つの解法を紹介します.
解法1
最大値,最小値を利用します.
$x$を固定したとき,$y$の動く範囲を求めます.
$y=-(t-x)^2+x^2$
で$t$は任意より
$y\leqq x^2$
したがって,$D_1$は$y\leqq x^2$である.

解法2
$(x,y)\in D_1 \ \Longleftrightarrow \ y=2tx-t^2$を満たす$t$が少なくとも一つ存在する
を用います.
$t^2-2tx+y=0$
$D/4=x^2-y\geqq 0$
$\therefore y\leqq x^2$
これが解法の基本です.
それでは問題2を解きましょう.
解法1
$y=-(t-x)^2+x^2=f(t)$の$0\leqq t \leqq 2$における最大値,最小値を求めるだけです.
最大値,最小値を一気に求めることもできますが,ここでは別々に求めます.
$\bullet$最大値について
$x\leqq 0$のとき$f(0)=0$
$0\leqq x\leqq 2$のとき$f(x)=x^2$
$2\leqq x$のとき$f(2)=4x-4$
$\bullet$最小値について
放物線は軸に関して対称であることより
$x\leqq 1$のとき$f(2)=4x-4$
$1\leqq x$のとき$f(0)=0$

以上をまとめると
$x\leqq 0$のとき$4x-4\leqq y\leqq 0$
$0\leqq x\leqq 1$のとき$4x-4\leqq y\leqq x^2$
$1\leqq x\leqq 2$のとき$0\leqq y\leqq x^2$
$2\leqq x$のとき$0\leqq y\leqq 4x-4$
図は右図.

解法2
$(x,y)\in D_2 \ \Longleftrightarrow \ y=2tx-t^2$を満たす解$t$が$0\leqq t\leqq 2$に 少なくとも一つ存在する
を用います.
これも頂点の$x$座標で場合分けするのがわかりやすい.
$y=2tx-t^2$
より
$g(t)=t^2-2tx+y=(t-x)^2+y-x^2$
$g(t)=0$の解が少なくとも一つ$0\leqq t\leqq 2$である.たがって, $x\leqq 0$のとき$g(0)\leqq 0$かつ$0\leqq g(2)$
$0\leqq x\leqq 2$のとき,すなわち頂点の$x$座標が範囲内にあるとき,最大値を考え $0\leqq x\leqq 1,1\leqq x\leqq 2$とさらに場合分けした方が考えやすい.
$0\leqq x\leqq 1$のとき $g(x)\leqq 0$かつ$0\leqq g(2)$ 
$1\leqq x\leqq 2$のとき $g(x)\leqq 0$かつ$0\leqq g(0)$ 
さらに
$2\leqq x$のとき$g(2)\leqq 0$かつ$0\leqq g(0)$
$g(0)=y,g(2)=4-4x+y,g(x)=y-x^2$
であるから,
$x\leqq 0$のとき$y \leqq 0$かつ$0\leqq 4-4x+y,\therefore 4x-y\leqq y\leqq 0$
$0\leqq x\leqq 1$のとき $y-x^2\leqq 0$かつ$0\leqq 4-4x+y ,\therefore 4x-4\leqq y\leqq x^2$ 
$1\leqq x\leqq 2$のとき $y-x^2\leqq 0$かつ$0\leqq y \ \ \therefore 0\leqq y \leqq x^2$ 
$2\leqq x$のとき$4-4x+y\leqq 0$かつ$0\leqq y \ \ \therefore 0\leqq y\leqq 4x-4$

直線の動きをグラフで表すと次のようになります.

(スライダーをドラッグすると直線が媒介変数が0から2の範囲で動きます. スライダーの右の+をクリックすると小さな コントロールパネルが開き,連続的に変化させることができます.
もし,画面にGet the Wolfram CDF Player とあらわれたら,画面をクリックしCDF Playerをインストールしてください.
ブラウザによって差があるので,うまくいかないときはほかのブラウザをお試しください. ブラウザの差が実感できると思います)


さて,この2つの解答がこれらの問題のコアとなる部分です.これらをきちんと理解すればたいていの 入試問題は何とかなるものです.
ここまでの内容が 理解できたら次の問題を解いてみましょう.基本事項をきちんと理解することが大事だということがわかってもらえるのではないかな.
問題3
座標平面の原点を$O$で表す.
線分$y=\sqrt{3}x \ (0\leqq x\leqq 2)$上の点$P$と,線分$y=-\sqrt{3}x \ (-2\leqq x\leqq 0)$ 上の点$Q$が,線分$OP$と線分$OQ$の長さの和が$6$となるように動く. このとき線分$PQ$の通過する領域$D$を図示せよ.(一部略)
(平成26年東京大)



まず,前半の線分$OP$と線分$OQ$の長さの和が$6$となるを処理しましょう.
$P(u,\sqrt{3}u),Q(v,-\sqrt{3}v)$ただし$0\leqq u \leqq 2,-2\leqq v \leqq 0$ とおく.
$OP=2u,OQ=-2v$
より
$2u-2v=6 \ \ \therefore Q(u-3,-\sqrt{3}(u-3))$
$0\leqq u\leqq 2,-2\leqq v=u-3 \leqq 0$
したがって,$1\leqq u\leqq 2$
(不等式を解かなくとも,$OA=OB=4,OP+OQ=6$より$1\leqq u\leqq 2$はわかる)
直線$PQ$は
$y-\sqrt{3}u=\dfrac{\sqrt{3}u+\sqrt{3}(u-3)}{3}(x-u)$
$y$を$u$の2次式とみて平方完成すると,
$y=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(u-\dfrac{x+3}{2}\right)^2 +\dfrac{x^2+9}{2\sqrt{3}}=f(u)$
$1\leqq u\leqq 2$における$y$の値域をもとめればよい.
$\dfrac{x+3}{2}\leqq 1$のとき$f(2)\leqq y\leqq f(1)$
$1\leqq \dfrac{x+3}{2}\leqq \dfrac{3}{2}$のとき$f(2)\leqq y\leqq f(\dfrac{x+3}{2})$
$\dfrac{3}{2}\leqq \dfrac{x+3}{2}\leqq 2$のとき$f(1)\leqq y\leqq f(\dfrac{x+3}{2})$
$2\leqq \dfrac{x+3}{2}$のとき$f(1)\leqq y\leqq f(2)$
$f(1)=\dfrac{4-x}{\sqrt{3}},f(2)=\dfrac{x-2}{\sqrt{3}}, f(\dfrac{x+3}{2})=\dfrac{x^2+9}{2\sqrt{3}}$
であるから
$x\leqq -1$のとき$\dfrac{x-2}{\sqrt{3}} \leqq y\leqq \dfrac{4-x}{\sqrt{3}}$
$-1\leqq x\leqq 0$のとき$\dfrac{x-2}{\sqrt{3}}\leqq y\leqq \dfrac{x^2+9}{2\sqrt{3}}$
$0\leqq x \leqq 1$のとき$\dfrac{4-x}{\sqrt{3}}\leqq y\leqq \dfrac{x^2+9}{2\sqrt{3}}$
$1\leqq x$のとき$\dfrac{4-x}{\sqrt{3}}\leqq y\leqq \dfrac{x-2}{\sqrt{3}}$


ここで,問われているの直線$PQ$でなく線分$PQ$であるから,ここで求めた領域の$\triangle OAB$の内部をとればよい.
求める領域は右図.


解説
実際の問題では,求めるグラフが$y$軸に関して対称であることをを考慮して,$x\geqq 0$の範囲で$y$の 範囲を求めさせています.ここでの解答を見ればわかりますが,その設問があるからといって解きやすくなったとは 思えません.

最後に包絡線の考えでこの問題を解いてみましょう.
直線$PQ$は
$y=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(u-\dfrac{x+3}{2}\right)^2 +\dfrac{x^2+9}{2\sqrt{3}}$
であるから,この直線は任意の$u$で放物線
$y=\dfrac{x^2+9}{2\sqrt{3}}$
接する.さらに接点は
$u=\dfrac{x+3}{2}$
である.($\because$ ページの最初の方を参照)
すなわち直線$PQ$は放物線$y=\dfrac{x^2+9}{2\sqrt{3}}$の$x=2u-3$における接線である.
$1\leqq u\leqq 2$より$-1\leqq x\leqq 1$.
したがって,直線$PQ$は放物線$y=\dfrac{x^2+9}{2\sqrt{3}}$の$-1\leqq x\leqq 1$におけ る接線である.

ここで扱った直線の通過領域の問題は昔からよく出題されています.
平成26年度に次の問題がありました.

問題(平成26年度名古屋大)
実数$t$に対して$P(t,t^2),Q(t+1,(t+1)^2)$を考える.$t$が$-1\leqq t\leqq 0$の範囲で動くとき,線分 $PQ$が通過してできる図形を図示し,その面積を求めよ.

問題(平成26年度東北大)
$x=t+\dfrac{1}{3t} \ \ (0$<$\leqq \dfrac{1}{2})$とする.
(1) $x$の取り得る値の範囲を求めよ.
(2) $x$の方程式$x^2+ax+b=0$が(1)の範囲に少なくとも1つの解をもつような点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ.

他にあと2題紹介します.次の問題は今回書き改める前まで扱っていた問題です.
問題(平成21年度札幌医科大)
平面上に2点$P(a,b),Q(a,-b)$がある.ただし$a,b$は正の数とする.線分$OP$と線分$OQ$上に ,それぞれ動点$M,N$があり,$PM=ON$ を満たすように動くとき,線分$MN$が通過する領域を$T$とする.領域$T$を図示せよ.


以上の3題は解答が必要なら各自調べてください.

問題(京都大(1984年))
実数$t$の値によって定まる点$P(t+1,t)$と$Q(t-1,-t)$がある.
$t$が$0\leqq t\leqq 1$を動くとき線分$PQ$が通過する範囲の面積を求めよ.

京都大のこの問題がここで扱った一連の問題の先駆けかどうかはわかりませんが, 私が教員になりたての頃の問題で苦労したのをよく覚えています.


直線$PQ$の方程式は
$y=-t^2+tx=-(t-\dfrac{x}{2})+\dfrac{x^2}{4}$
$0\leqq t\leqq 1$における$y$の値域を求める.
$x\leqq 0$のとき$x-1\leqq y\leqq 0$
$0\leqq x\leqq 1$のとき$x-1\leqq y\leqq \dfrac{x^2}{4}$
$1\leqq x\leqq 2$のとき$0 \leqq y\leqq \dfrac{x^2}{4}$
$2\leqq x$のとき$0\leqq y\leqq x-1$


直線$PQ$の通過する領域は図の(灰色+黄色)の部分.
ここでは点$P$は線分$AB$を点$Q$線分$CD$を動くから,求める領域は図の黄色の部分である.
面積$S$は
$\displaystyle S=\dfrac{1}{2}+\int_0^2(\dfrac{x^2}{4}-x+1)dx=\dfrac{7}{6}$


(以下平成27年6月に追加しました)
包絡線を学んだので,包絡線を使う問題を紹介します.

問題(東京大(1986年))
2次方程式
\(ax^2-2bx+c=0\)
の係数\(a,b,c\)がそれぞれ次の範囲で動くものとする.
\(0.9\leqq a\leqq 1.1, 2.7\leqq b\leqq 3.3, 4.5\leqq c\leqq 5.4 \)
(1) このとき
\(u=\dfrac{b}{a},v=\dfrac{c}{a}\)
を座標とする点\(P(u,v)\)の動く範囲を定め,図示せよ.
(2)上の2次方程式の2つの解のうち,大きい方を\(z\)とする.\(a,b,c\)が上の範囲で動くとき\(z\)の最大値,最小値を求めよ.


(1) 領域\(A=\{(x,y)|2.7\leqq x\leqq 3.3,4.5\leqq y \leqq 5.4\}\)を\(0.9\leqq a\leqq 1.1\)の範囲で\(\dfrac{1}{a}\)倍相似拡大したものである.
\(P(2.7,5.4),Q(2.7,4.5),R(3.3,4.5),S(3.3,5.4\)
とおく.\(O\)を原点とする.
\(\dfrac{\overrightarrow{OQ}}{1.1}=(\dfrac{27}{11},\dfrac{45}{11}), \dfrac{\overrightarrow{OS}}{0.9}=(\dfrac{11}{3},6)\)

であるから,\((u,v)\)の動く範囲は右図の太線で囲まれた部分.
(2) まず, (1)で求めた範囲を\(u,v\)が動くとき,方程式
\(x^2-2ux+v=0\)
は実数解をもつかどうかを調べる.
\(D/4=u^2-v\geqq 0\)
の範囲に(1)の範囲が入っているかどうかを知れべればよい.
\(v=u^2,v=2u\)
を解けば
\(u=0,2\)
であり,\(B\)の\(u\)座標が\(\dfrac{27}{11}\) であるから, (1)で求めた範囲を\(u,v\)が動くとき必ず実数解をもつ.
与えられて方程式の大きい方の解\(z\)は
\(z=u+\sqrt{u^2-v}\)
\(z-u=\sqrt{u^2-v}\)
両辺を平方して
\(v=2zu-z^2 \ \ (u\leqq z)\cdots (\sharp)\)
直線\((\sharp)\)が(1)で得た領域と交わるときの\(z\)の最大値, 最小値が\(z\)の最大値,最小値である.
\(v=2zu-z^2=-(z-u)^2+u^2\)
より,直線\(v=2zu-z^2\)は任意の\(z\)で放物線\(v=u^2\)に接し,接点の\(u\)座標は \(u=z\)である. 半直線\((\sharp)\)は放物線\(v=u^2\)の\(u=z\)における接線の\(u\leqq z\)の範囲である(本項の前半部分を参照). このように直線を具体的放物線の接線と考えることができるの包絡線の強みである.
解答を完成させよう.
直線の傾きは正であるあるから,最大値になる可能性があるのは,\(D\)または\(E\)である.
\(D(3,\dfrac{45}{11})\)のとき
\(z=u+\sqrt{u^2-v}=\dfrac{33+3\sqrt{66}}{11}\)
\(E(\dfrac{11}{3},5)\)のとき
\(z=\dfrac{11+2\sqrt{19}}{3}\)
この2つの数の大小はあきらかではない.きちんと確認する必要がある (というより,2つの数の大小をどのように処理をするかが出題者の狙いの1つ).
ここでは,ともに直線\(v=\dfrac{15}{11}u\)上にあることを利用する.
\(v=u+\sqrt{u^2-\dfrac{15}{11}u}\)
において,\(u(u-\dfrac{15}{11})\)は\(3\leqq u\)で単調増加であるから, \(E(\dfrac{11}{3},5)\)で最大値をとり,その最大値は
\(z=\dfrac{11+2\sqrt{19}}{3}\)
である.
つぎに最小値を調べよう.
直線の傾きは正であるあるから\(A(3,6)\)か\(B(\dfrac{27}{11},\dfrac{54}{11})\)で最小値をとる.
最大値を調べた同様の方法でどちらが小さいかを調べよう.
\(A,B\)はともに直線\(v=2u\)上にある.
\(z=u+\sqrt{u^2-2u}\)
は\(\dfrac{27}{11}\leqq u\)で単調増加より,\(u=\dfrac{27}{11}\)すなわち点\(B\)で最小値
\(z=\dfrac{27+3\sqrt{15}}{11}\)
をとる.

ここでの解答は包絡線を意識したもので,このように解くのは現実的ではない.
次の解答が標準的である.

標準的解答
\(0\leqq u,v\)のとき
\(z=u+\sqrt{u^2-v}\)
は\(v\)が一定のとき\(z\)は\(u\)の増加関数であり,\(u\)が一定のとき\(v\)の 減少関数である.
したがって,最大値は\(D\)か\(E\)でとり,最小値は\(A\)か\(B\)でとる.
\(D,E\)における\(z\)の値の大小および\(A,B\)における\(z\)の値の大小を調べればよい.これは 上の解答で示してある

この解答でわかるように \(x^2-2ux+v=0\)
大きい方の解\(z=u+\sqrt{u^2-v}\)
は比較的扱いやすいが,小さい方の解
\(w=u-\sqrt{u^2-v}\)
は難しくなる.この場合は包絡線の考え方が効果的である.\(z=u+\sqrt{u^2-v}\)は 放物線\(v=u^2\)の\(u=z\)における接線の\(z\leqq u\)の部分である.


(包絡線の項目終わり)



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