１２.ユークリッド互除法と近似分数 ユークリッド互除法は最大公約数を求めるときや不定方程式の解の１つを見つけるときに用いられますが，それだけではありません． ここでは，ユークリッド互除法の応用として近似分数を扱います． 12.1 連分数 $\alpha $を正の数とします．$\alpha $が整数でないとき， $[\alpha ]=a_0 \ \ \ ([\ \ ]$はガウス記号$)$ とおくと， $\alpha =a_0+\dfrac{1}{\alpha _1}$ となる． ただし$\alpha _1=\dfrac{1}{\alpha -a_0}$＞$1$. さらに，$\alpha _1$が整数でなければ $\alpha _1=a_1+\dfrac{1}{\alpha _2} \ \ (\alpha _2$＞$1)$ 順にこの操作を繰り返すことにより $\alpha =a_0+ \cfrac{1}{a_1+ \cfrac{1}{a_2+ \cfrac{1}{a_3+ \cfrac{1}{\alpha _4}}}}$ のようのなります．上の式は４回の操作を繰りかえしたものですが，$\alpha$が無理数なら何回でも続きます． 上の式を繁分数の形で書くのは面倒ですから，通常は $\alpha =[a_0;a_1,a_2,a_3,\alpha _4]$ と表します．有理数なら，有限回の操作で，すなわち有限個の整数で $\alpha =[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$・・・�@ と表せますが，無理数なら $\alpha =[a_0;a_1,a_2,\dots ]$・・・�A と無限に続くことになります． このように有理数や無理数を連分数の形に表すことを連分数に展開するといい， �@，�Aを$\alpha $の連分数展開といいます．また，連分数展開で現れる$a_0,a_1,a_2,\dots$を部分商といいます． 具体的に有理数の連分数展開を求めましょう． $\dfrac{43}{30}$について計算します． ユークリッドの互除法を利用します． $43=30\times 1+13$ $30=13\times 2+4$ $13=4\times 3+1$ $4=1\times 4$ より $\dfrac{43}{30}=1+\dfrac{13}{30}$ $=1+\dfrac{1}{\dfrac{30}{13}}$ $=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{4}{13}}$ $=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{\dfrac{13}{4}}}$ $=1+ \cfrac{1}{2+ \cfrac{1}{3+ \cfrac{1}{4}}}$ となります．この変形から分かるように，連分数展開は，ユークリッド互除法における商が並ぶことになります． 次に，$\frac{43}{30}$の連分数展開を途中でやめた， $1,[1;2],[1;2,3],[1;2,3,4]=\dfrac{43}{30}$ を計算しましょう． $[1,2]=1+\dfrac{1}{2}=1.5$ $[1,2,3]=1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3}}=\dfrac{10}{7}=1.428\dots $ $[1,2,3,4]=\dfrac{43}{30}=1.433\dots$ このように，$\frac{43}{30}$の近似分数の数列が出来ます．この近似分数を後で調べます． 次に，無理数の連分数展開を求めましょう． $\alpha =\sqrt{2}-1$ は， $\alpha =\sqrt{2}-1=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2+\alpha}$ ここで $\alpha $＜$1$より， $\alpha =[0;2,2,2,\dots ]$ したがって， $\sqrt{2}=[1;2,2,\dots ]$ 第２項から循環します．これは，連分数数展開が無限に続き$\sqrt{2}$が無理数であるあることを意味しています． すなわち，$\sqrt{2}$が無理数であることの１つの証明で，直接証明の優れた方法です． 図形的考察により，$\alpha =\sqrt{2}-1$の連分数展開を求めるのも面白い． 右図で $\alpha =\dfrac{AC}{AB}-1=\dfrac{FC}{AB}$ $=\dfrac{1}{1+\dfrac{EC}{FC}}　\ \ \ (\because BE=EF=FC)$ $=\dfrac{1}{1+(1+\alpha)}$ $\alpha $＜$1$より $\alpha =[0;2,2,\dots ]$ $\alpha =\sqrt{n^2+1}-n$ の連分数展開を求めよう． $(\sqrt{n^2+1}+n)(\sqrt{n^2+1}-n)=1$ より， $\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}=\dfrac{1}{2n+\alpha}$ さらに $0$＜$\alpha$＜$1$ より， $\alpha =[0;2n,2n,\dots ]$ である． ここでは次の性質を用いた． $0$＜$\alpha$＜$1$ のとき，正の整数$n$で $\alpha =\dfrac{1}{n+\alpha}$ なら $\alpha =[0;n,n,\dots ]$ である．また，正の整数$n,m$で $\alpha =\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{m+\alpha }}$ なら $\alpha =[0;n,m,n,m,\dots ]$ となる． 逆に，循環する連分数表示を求めよう． $x=[1;2,3,2,3,\dots ]$ のとき $x-1=[0;2,3,2,3,\dots ]$ であるから $x-1=\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{3+(x-1)}}$ より $x=-1+\sqrt{15}$ ＜例1＞ 閏月の定め方に近似分数を利用しよう． 太陽が春分点を通過する周期（１回帰年）は$365.2422$日．月が満ち欠けする周期（１朔望月）は$29.53$日である． そこで， $\dfrac{36524}{2953}$ の近似分数を求めよう． $36524=2953\times 12+1088$ $2953=1088\times 2+777$ $1088=777\times 1+311$ $777=311\times 2+155$ $311=155\times 2+1$ $155=1\times 155$ より $\dfrac{36524}{2953}=[12;2,1,2,2,155]$ である．この連分数展開を見れば分かるように近似分数$[12;2,1,2,2]$を利用するのは自然である． この値を計算すると $[12;2,1,2,2]=12+\dfrac{7}{19}$ したがって，１９年の間に閏月を７回加えるとほぼ誤差がなくなることが分かります．なんとこれは昔から知られたことで，月の欠けかたが １９年周期であることはなんと中国では春秋時代には知られていたというから驚きです．古代人恐るべしです． ちなみに， $\dfrac{36524}{2953}=12.36843887\cdots$ $12+\dfrac{7}{19}=12.3684210526\cdots$ である．いかに近似の精度が高いか分かると思う． ＜例2＞ 閏月を調べたので，閏年も調べよう． 太陽が春分点を通過する周期すなわち１回帰年は$365.2422$日である．すなわち$10000$回帰年で$3652422$日であるので １年を$365$日とすると，$10000$回帰年で$2422$日よけいになる．そこで，閏年をもけることになる． $\dfrac{10000}{2422}=\dfrac{5000}{1211}=[4;7,1,3,4,1,1,1,2]$ したがって，近似分数は $4,\dfrac{29}{7},\dfrac{33}{8},\dfrac{128}{31},\dots$ 近似値を計算すると $\dfrac{29}{7}=4.142857,\dfrac{33}{8}=4.125$ 一方， $\dfrac{5000}{1211}=4.1288191$ であり，グレゴリオ暦は$400$年に$97$回の閏年も設けいているので $\dfrac{400}{97}=4.1237113$ である．したがって，$33$年に$8$回の閏年を設けたほうがグレゴリオ暦より正確なことがわかる． もちろん実用面から考えて，グレゴリオ暦が優れた暦であることは間違いない． ＜例3＞ $\pi $および$e$の近似分数を調べてみましょう． $\pi$の連分数展開は $\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots ]$ です． $[3;7]=\dfrac{22}{7}$, $[3;7,15]=\dfrac{333}{106}=3.1415094\dots $ $[3;7,15,1]=\dfrac{355}{113}=3.1415929\dots $ $e$の連分数展開は $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots]$ と循環はしませんが規則性があります． $[2;1,2]=\dfrac{8}{3}=2.666\dots$ $[2;1,2,1]==\dfrac{11}{4}=2.75$ $e=2.71828182$ であり， $\dfrac{8}{3}$＜$e$＜$\dfrac{11}{4}$・・・�@ $e$に関する式の値の評価に困ったとき，�@は便利な評価式である． $\pi$や$e$の近似分数で現れた， $[3;7,15,1],[2;1,2,1]$ のような最後に$1$の連分数展開は，例えば $\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1}}=\dfrac{1}{3}$ であるから，それぞれ $[3;7,16],[3;1,3]$ である（前の項に１を加える）． 続く 目次