8.1 曲線の曲率

次の問題はちょっと古いですが,東大後期の問題です.東大後期というと難問を連想します.もちろん 簡単ではない問題が多いのですが,数学の本質をついた良問が多いのも事実です.
解説では,曲線の曲がり方の尺度である曲率を扱います.

問題
放物線の一部
$y=x^2, \ \ 0\leqq x \leqq 2$
を$y$軸の周りに回転してできる回転体型の容器に水を満たし,この中に半径$r$の鉛の球を,それが容器 につかえて止まるまでゆっくり沈めた.ただし,鉛直線を$y$軸とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 元の水面の高さから球の中心の高さを引いた差$s$を$r$の関数として表せ.
(2) あふれ出る水の体積の最大にする$r$の値を求めよ.
(平成6年(1993年)東大・後期)

<解答>
(1)は平面の問題で,放物線$y=x^2$と$y$軸上に中心を持つ円$x^2+(y-b)^2=r^2$が接する場合を 調べることになる,
まず,原点以外で接するとき.
$\begin{cases} y=x^2\\ x^2+(y-b)^2=r^2 \end{cases}$
より$x$を消去すると
$y+(y-b)^2-r^2=0$
$y^2-(2b-1)y+b^2-r^2=0$・・・@
放物線と円が接するのは@が重解を持つとき
$D=(2b-1)^2-4(b^2-r^2)=0$
$\therefore b=r^2+\dfrac{1}{4}$
このとき,重解$y$は解と係数の関係より
$y=b-\dfrac{1}{2}=r^2-\dfrac{1}{4}$
接点の$y$座標が$0 < y \leqq 4,4 < y$と場合分けする.
$0 < y\leqq 4$のとき$0 < r^2-\dfrac{1}{4}\leqq 4$であるから
$\dfrac{1}{2} < r \leqq \dfrac{\sqrt{17}}{2}$
$b^2=r^2+\dfrac{1}{4}$であるから
$s=4-b=\dfrac{15}{4}-r^2$
$4 < y$のとき,円は放物線の与えられた範囲外$(4 < y)$で接するので,点$(2,4),(-2,4)$を 通るとき.
このとき
$r > \dfrac{\sqrt{17}}{2}$であり
$2^2+(4-b)^2=r^2$
より
$b=\sqrt{r^2-4}+4$
$\therefore s=4-b=-\sqrt{r^2-4}$
以上をまとめると
$\dfrac{1}{2} < r \leqq \dfrac{\sqrt{17}}{2}$のとき$s=\dfrac{15}{4}-r^2$
$\dfrac{\sqrt{17}}{2} < r$のとき $s=-\sqrt{r^2-4}$
を得た.
まだ$0 < r \leqq \dfrac{1}{2}$の場合が終わっていないのでこれを調べよう.
$r=\dfrac{1}{2}$のとき.$b=\dfrac{1}{2}$である.このときは,円と放物線は原点だけで接する.実際,方程式@は
$y^2=0$
さらに,円の半径がさらに小さくなれば,原点で接する. (要するに,円の放物線が原点で接する最大の円の半径 が$\dfrac{1}{2}$ということ.これは解説で扱う.)
したがって,$0 < r \leqq \dfrac{1}{2}$のとき$s=4-r$

(2)
水面に接する球の半径が$r=\dfrac{3}{2} \ (\because s=\dfrac{15}{4}-r^2=r)$で,$r=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$のとき水面の縁に接し,$r$ がそれより大きいときは球が容器につかえ,球と容器の共通部分の体積は小さくなる.したがって,
$\dfrac{3}{2}\leqq r \leqq \dfrac{\sqrt{17}}{2}$
で考えればよい.
このときのあふれる水の体積,すなわち,球と容積の共通部分の体積$V$を求めよう.
$\displaystyle \dfrac{V}{\pi}=\int_{b-r}^4x^2dy$
$\displaystyle =\int_{b-r}^4\{r^2-(y-b)^2\}dy$
$=r^2(4-b+r)-\dfrac{(4-b)^3}{3}-\dfrac{r^3}{3}$
$=r^2(4-b+r)-\dfrac{1}{3}\cdot (4-b+r)\{(4-b)^2-(4-b)r+r^2\}$
$=\dfrac{1}{3}\cdot \{2r^2+(4-b)r-(4-b)^2\}$
$=\dfrac{1}{3}\cdot (4-b+r)^2(2r+b)$
ここで$b=r^2+\dfrac{1}{4}$を代入し
$=\dfrac{1}{3}\cdot (r^2-r-\dfrac{15}{4})^2(r^2+2r-\dfrac{15}{4})$
したがって,
$\dfrac{V}{\pi}=\dfrac{1}{3}\cdot (r^2-r-\dfrac{15}{4})^2(r^2+2r-\dfrac{15}{4})$
$f(r)= (r^2-r-\dfrac{15}{4})^2(r^2+2r-\dfrac{15}{4})$
とおくと
$f'(r)=6r(r^2-r-\dfrac{15}{4})(r^2+r-\dfrac{19}{4})$
$f'(r)=0$の解は$r=0,-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2},\dfrac{-1+2\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1-2\sqrt{5}}{2}$である.
その中で,$\dfrac{3}{2}\leqq r\leqq \dfrac{\sqrt{17}}{2}$を満たすのを見つけよう.
$\dfrac{\sqrt{17}}{2} < \dfrac{\sqrt{25}}{2}=\dfrac{5}{2}$
であるから,可能性のあるのは$\dfrac{-1+2\sqrt{5}}{2}$だけである.
$\dfrac{3}{2}=\dfrac{-1+2\sqrt{4}}{2} < \dfrac{-1+2\sqrt{5}}{2}$
また,$\sqrt{17},-1+2\sqrt{5}$の大小関係は,両方を平方して
$17-(21-4\sqrt{5})=4(\sqrt{5}-1) > 0$
したがって,
$\dfrac{3}{2} < \dfrac{-1+2\sqrt{5}}{2} < \dfrac{\sqrt{17}}{2}$
$f'(r)=0$の解はすべて単解で$r=\dfrac{-1+2\sqrt{5}}{2}$は2番目に大きい解である. したがって,導関数の符号は次のようになる.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & \dfrac{3}{2} & \cdots & \dfrac{-1+2\sqrt{5}}{2} & \cdots & \dfrac{\sqrt{17}}{2} \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline \end{array}$

したがって,求める値は$r=\dfrac{-1+2\sqrt{5}}{2}$である.

解答付記
(1)の設問の意図はわからないが,
$\dfrac{V}{\pi}=\int_{b-r}^4x^2dy=r^2(4-b+r)-\dfrac{(4-b)^3}{3}-\dfrac{r^3}{3}$
の右辺は$r$の6次式であるから,因数分解が必要である.$s=4-b$で書き換えると
$=r^2(s+r)-\dfrac{s^3}{3}-\dfrac{r^3}{3}=\dfrac{(r+s)^2(2r-s)}{3}$
と比較的簡単に因数分解できる.


<解説>
曲線の曲がり方の度合いである曲率の説明をする.
曲線の曲がり方の度合いは,円を利用して定義します.
具体的に説明しましょう.
$y=x^2$の原点における曲がり方を考えます.
$y=x^2$と原点で接する円は沢山あります.
すなわち,$y$軸上に中心を持ち,原点を通るもの,すなわち
$x^2+(y-a)^2=a^2$・・・・@
です.円@のうち,2次の微分係数まで一致する(これを2位の接触という)円を放物線$y=x^2$の原点における 曲率円といい,この円の半径をこの点における曲率半径,半径の逆数をこの点における曲率といいます. 実際に,放物線$y=x^2$の原点における曲率及び曲率半径を求めよう.
円$x^2+(y-a)^2=a^2$の両辺を$x$で微分すると
$2x+2(y-a)y'=0$
さらに$x$で微分すると
$2+2y'^2+2(y-a)y"=0$
$x=0,y=0$では$y'=0$であるから
$-2ay"=-2 \ \ \ \therefore y"=\dfrac{1}{a}$
一方$y=x^2$のとき$y"=2$
$\dfrac{1}{a}=2$より$a=\dfrac{1}{2}$
したがって,半径$\dfrac{1}{2}$となる.
$y=x^2$の原点で接する円のうち,2次の微分係数まで一致するものの半径$r$は$r=\dfrac{1}{2}$(曲率半径), 原点における曲率 は2となります.
右図で言えば,紫の円が2次の微分係数まで一致する円です.

半径$\dfrac{1}{2}$の円(曲率円)と放物線$y=x^2$との関係に目を向けましょう.
$\begin{cases} y=x^2\\ x^2+(y-a)^2=a^2 \end{cases}$
の交点を調べよう.
$x$を消去すると
$y+y^2-2ay=0$
$y(y-(2a-1))=0$
$y=x^2\geqq 0$であるから
$0\leqq a < \dfrac{1}{2}$のとき$y=0$.
$a=\dfrac{1}{2}$のとき$y=0$(重解)
$\dfrac{1}{2} < a$の時$y=0,2a-1$
$y=x^2$であるから交点の$x$座標は
$0\leqq a < \dfrac{1}{2}$のとき$x=0$(重解).
$a=\dfrac{1}{2}$のとき$x=0$(4重解)
$\dfrac{1}{2} < a$の時$x=0$(重解),$\sqrt{2a-1},-\sqrt{2a-1}$
右上の図を見てみよう.原点で接する円を少しずつ半径を大きくすると, 最初は原点だけで接しているがあるとき原点以外の点でも 交わるようになり,その境目の円の半径で曲がり方を図る ということです.この円が$y=x^2$の原点における曲率円です.

一般の曲線で曲率を求めよう.
$y=f(x)$が原点を通り,原点で$x$軸に接するとき,原点における曲率を求める.
$y=f(x),x^2+(y-a)^2=a^2$
が原点で位数2の接触をする$a$の値を求めればよい.
$x^2+(y-a)^2=a^2$
の両辺を$x$で微分し,
$x+(y-a)y'=0$
さらに$x$で微分.
$1+y'^2-(y-a)y''=0$
ここで,$y=0,y'=0$であるから
$y"=\dfrac{1}{a}$
位数2の接触より,
$f"(0)=y"$
$\therefore a=\dfrac{1}{f"(0)}$
すなわち,$y=f(x)$の原点における曲率円の半径は$a=\dfrac{1}{f"(0)}$であり曲率は$f"(0)$である.
曲線の曲率すなわち,2位の接触をする円の大きさは曲線を平行移動したり回転移動しても変わらないから,任意の曲線の任意の点に おける曲率を求めるのは,求めたい点を原点に平行移動し,さらに接線が$x$軸になるよう回転移動して 求めることができるのであるが,それは計算が複雑になる.
なお,$y=f(x)$の$(x,f(x))$における曲率$k(x)$は計算されていて
$k(x)=\dfrac{y"}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$
である.

曲線を学ぶとき頂点という言葉でてきます.頂点とは,曲率の極値ということです.すなわち,曲率が増加から減少,減少から増加に 変わるところです.例えば,放物線には頂点が1個,楕円には頂点が4個あります.


続く(高速道路の設計)


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