次に楕円と双曲線を扱う．ここでは離心率$e$を用いて,曲線の方程式を
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1$
として計算する．
$0 < e <1$のとき楕円で，$1 < e$のとき双曲線である．
焦点は$F(ae,0),F'(-ae,0)$である．
$x$軸上の定点を$K(k,0),$曲線上の点を$P(x,y)$とする．
$PA^2=(x-k)^2+y^2$
$=x^2-2kx+k^2+a^2(1-e^2)-x^2(1-e^2)$
$=e^2x^2-2kx+k^2+a^2(1-e^2)=f(x)$
頂点の$x$座標は
$x=\dfrac{k}{e^2}$
である．以後，楕円と双曲線に分けて計算する．
$\bullet$ 楕円$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1, (0 < e < 1)$ 上の点で，長軸上の定点$A(k,0) \ (0 \leqq k )$から 最も近い点の$x$座標を求めよ．
解答
$-a \leqq x \leqq a$であるから
$0\leqq \dfrac{k}{e^2}\leqq a$と$a \leqq \dfrac{k}{e^2}$に分けて調べる必要がある．
$0\leqq k \leqq ae^2$のとき
$PA^2$は$x=\dfrac{k}{e^2}$で最小値をとる．
$ae^2 \leqq k$のとき
$PA^2$は$x=a$で最小値をとる．
$\bullet$ 双曲線$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1, ( 1 < e)$ 上の点で，軸上の定点$A(k,0) \ (0 \leqq k )$から 最も近い点の$x$座標を求めよ．
解答
$x \leqq -a ,a \leqq x$であり，最も近い点は対称性より$a\leqq x$で調べればよい
$0\leqq k \leqq ae^2$のとき
$PA^2$は$x=a$で最小値をとる．
$ae^2 \leqq k$のとき
$PA^2$は$x=\dfrac{k}{e^2}$で最小値をとる．

$x=ae^2$で場合分けをするが，$ae^2$は楕円，双曲線の焦点の$x$座標である$c$が
$c=ae$
であるから
$ae^2=ce$
とみると少し式が見やすくなる．

$2. \ \ $曲線の曲がり方の度合いである曲率の説明をします．
２次の微分係数を用いてはと思うでしょうが，たとえば２次関数$y=x^2$を考えると $y''=2$で一定であり，一方グラフをみれば原点において曲がり方が急なので， ２次導関数そのままでは曲がり方の度合いを表すとは言えません．
曲線の曲がり方の度合いは，円を利用して定義します．
すなわち，曲線上の点$P$に置ける曲線の曲がり方の度合いは
点$P$を通り，１次微分係数，２次微分係数が曲線と共に一致する円を用いる
ということです．

具体的に説明しましょう．
$y=x^2$の原点における曲がり方を考えます．
$y=x^2$と原点で接する円は沢山あります．
すなわち，$y$軸上に中心を持ち，原点を通るもの，すなわち
$x^2+(y-a)^2=a^2$・・・・�@
です(右図)．円�@のうち，２次の微分係数まで一致する（これを２位の接触という）円を放物線$y=x^2$の原点における 曲率円といい，この円の半径をこの点における曲率半径， 半径の逆数をこの点における曲率といいます．
実際に，放物線$y=x^2$の原点における曲率及び曲率半径を求めよう．
円$x^2+(y-a)^2=a^2$の両辺を$x$で微分すると
$2x+2(y-a)y'=0$
さらに$x$で微分すると
$2+2y'^2+2(y-a)y''=0$
$x=0,y=0$では$y'=0$であるから
$-2ay''=-2 \ \ \ \therefore y''=\dfrac{1}{a}$
一方$y=x^2$のとき$y''=2$
$\dfrac{1}{a}=2$より$a=\dfrac{1}{2}$
したがって，半径$\dfrac{1}{2}$となる．
$y=x^2$の原点で接する円のうち，２次の微分係数まで一致するものの半径$r$は$r=\dfrac{1}{2}$(曲率半径), 原点における曲率 は２となります．
右図で言えば，紫の円が２次の微分係数まで一致する円です．

半径$\dfrac{1}{2}$の円(曲率円)と放物線$y=x^2$との関係に目を向けましょう．
$\begin{cases} y=x^2\\ x^2+(y-a)^2=a^2 \end{cases}$
の交点を調べよう．
$x$を消去すると
$y+y^2-2ay=0$
$y(y-(2a-1))=0$
$y=x^2\geqq 0$であるから
$0\leqq a < \dfrac{1}{2}$のとき$y=0$．
$a=\dfrac{1}{2}$のとき$y=0$(重解)
$\dfrac{1}{2} < a$の時$y=0,2a-1$
$y=x^2$であるから交点の$x$座標は
$0\leqq a < \dfrac{1}{2}$のとき$x=0$(重解)．
$a=\dfrac{1}{2}$のとき$x=0$(4重解)
$\dfrac{1}{2} < a$の時$x=0$(重解),$\sqrt{2a-1},-\sqrt{2a-1}$
右上の図を見てみよう．原点で接する円を少しずつ半径を大きくすると， 最初は原点だけで接しているがあるとき原点以外の点でも 交わるようになり，その境目の円の半径で曲がり方を図る ということです．この円が$y=x^2$の原点における曲率円です．

一般の曲線で曲率を求めよう．
曲線$y=f(x)$の点$(a,f(a))$における曲率円を求める．
求める円の中心を$(X,Y)$,半径を$r$とする．
すなわち
$(x-X)^2+(y-Y)^2=r^2$・・・�@
�@の両辺を$x$で微分すると
$(x-X)+(y-Y)y'=0$・・・�A
さらに微分すると
$1+y'^2+(y-Y)y''=0$・・・�B
$(a,f(a))$において
$y'=f'(a),y''=f''(a)$であるから次の連立方程式を得る．
$\begin{cases} (a-X)^2+(f(a)-Y)^2=r^2\\ (a-X)+(f(a)-Y))f'(a)=0\\ 1+f'(a)^2+(f(a)-Y)f''(a)=0\end{cases}$
順に求めていけばよい．
$Y-f(a)=\dfrac{1+f'(a)^2}{f''(a)}$
$X-a=-\dfrac{f'(a)(1+f'(a)^2)}{f''(a)}$
$r^2=\dfrac{(1+f'(a)^2)^3}{f''(a)^2}$
したがって，曲率半径$r$は
$r=\dfrac{(1+f'(a)^2)^\frac{3}{2}}{|f''(a)|}$
である．
曲率半径$r$の逆数$\dfrac{1}{r}$が曲率$\kappa (a,f(a))$です． ここでは，絶対値をはずし
$\kappa (a,f(a))=\dfrac{f''(a)}{(1+f'(a)^2)^{\frac{3}{2}}}$
とする．

ここで，媒介変数表示された曲線
$x=f(t),y=g(t)$
の曲率も求めておこう．
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}$
$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{f'(t)g''(t)-f''(t)g(t)}{f'(t)^3}$
であるから，$(f(t),g(t))$における曲率は
$\kappa (f(t),g(t))=\dfrac{f'(t)g''(t)-f''(t)g'(t)}{(f'(t)^2+g'(t)^2)^{\frac{3}{2}}}$
通常は
$\boldsymbol{v}(t)=\begin{pmatrix}f'(t)\\g'(t)\end{pmatrix} ,\boldsymbol{a}(t)=\begin{pmatrix}f''(t)\\ g''(t)\end{pmatrix}$
とおき
$=\dfrac{\det (\boldsymbol{v}(t) \ \ \boldsymbol{a}(t))}{|\boldsymbol{v}(t)|^3}$
と表記することが多い．

例1
楕円$x=a\cos \theta ,y=b\sin \theta$の曲率を求めよう．
$\boldsymbol{v}=(x'(\theta ),y'(\theta ))=(-a\sin \theta ,b\cos \theta )$
$\boldsymbol{a}=(x''(\theta ),y''(\theta ))=(-a\cos \theta ,-b\sin \theta)$
である．
$\det (\boldsymbol{v},\boldsymbol{a})=ab$
$|\boldsymbol{v}|=a^2\sin ^2\theta+b^2\cos ^2\theta$
より
$\kappa (a\cos \theta,b\sin \theta)=\dfrac{ab}{(a^2\sin ^2\theta+b^2\cos ^2\theta )^{\frac{3}{2}}}$

曲線を学ぶとき頂点という言葉がでてきます． 頂点とは，曲率の極値をとる点のことです． すなわち，曲率が増加から減少，減少から増加に 変わるところです．
すでに，計算した楕円の曲率を見てみましょう．
分母は
$a^2\sin ^2\theta +b^2\cos ^2\theta$
$=\dfrac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\cos 2\theta}{2}$
より，曲率は
$\theta =0,\dfrac{\pi}{2},\pi ,\dfrac{3\pi}{2}$
で極値をとり，通常の頂点と一致することが分かる．
例えば，放物線には頂点が１個，楕円には頂点が４個あります．

例2
$y=\log x$や$y=e^x$のグラフは曲がり方が急なのはどこかは興味ある問題です．直線$y=x$に関して対称 なのでどちらかを計算すればよいが, ここでは$y=\log x$を計算する．
曲率半径を計算する．
$y=\log x,y'=\dfrac{1}{x},y''=-\dfrac{1}{x^2}$
より，曲率半径$r(x,\log x)$は
$r(x,\log x)=\dfrac{(x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{x}$
$\dfrac{d \ r(x,\log x)}{dx}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}(2x^2-1)}{x^2}$
より$x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$で曲率半径が最小になりその値 は$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$である．

例３
曲率の式から分かるように，曲線$y=f(x)$の$f'(a)=0$となる点$(a,f(a))$では
$\kappa (a,f(a))=\dfrac{f''(a)}{(1+f'(a)^2)^{\frac{3}{2}}}=f''(a)$
である．
この式は覚えやすく便利です．大学入試問題で曲率円を扱うのはほとんど$f'(a)=0$ の点で，検算に役に立つ．

以上，曲率の定義を曲率円を用いて行いました．曲率円の半径の逆数で 定義した曲率の図形的意味はなんでしょうか．
微分幾何では，曲率についてここで述べたような取り扱い は行いません．直接曲率を定義します．
実をいうとこれからが本題なのです．

続く(高速道路の設計)


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