7-2 無理数の整数部分・小数部分 問題4 $n$が自然数のとき  は$n$が偶数のとき奇数，$n$が奇数であるとき偶数であるがことを示せ． 証明  より偶数． さらに$n$が偶数のとき０＜  ＜１$n$が奇数のとき−１＜ ＜０であるから $n$が奇数のとき  $n$が偶数のとき  したがって証明された． 問題4を見直して見ましょう． 問題の本質は $a_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n$ は整数で， $-1<1-\sqrt{2}<0$ より， $-1<(1-\sqrt{2})^n<1$ $(1+\sqrt{2})^n=a_n-(1-\sqrt{2})^n$ したがって，$n$が奇数の時， $(1+\sqrt{2})^n$の整数部分は$a_n$で小数部分は$-(1-\sqrt{2})^n.$ $n$が偶数の時， $(1+\sqrt{2})^n$の整数部分は$a_n-1$で小数部分は$1-(1-\sqrt{2})^n.$ この内容に関しては以前より大学入試によく出題されています． 問題5 2次方程式$x^2-4x-1=0$の2つの実数解のうち大きいものを$\alpha$,小さいものを$\beta$とする． $n=1,2,3,\cdots$に対して $s_n=\alpha ^n+\beta ^n$ とおく． (1) $s_1,s_2$を求めよ．また$3\leqq n$に対して，$s_n$を$s_{n-1}$と$s_{n-2}$で表せ． (2) $\alpha ^{2003}$以下の最大の整数の$1$の位の数を求めよ． （2003年 東京大） 解答 (1) $s_1=\alpha +\beta =4,\ \ s_2=(\alpha +\beta)^2-2\alpha \beta =18$ $s_n=(\alpha +\beta )^{n-1}(\alpha +\beta)-\alpha \beta (\alpha ^{n-2}+\beta ^{n-2})$ $=4s_{n-1}-s_{n-2}$ $(\{\alpha ^n\},\{\beta ^n\}$が漸化式$a_n-4a_{n-1}-a_{n-2}=0$を満たすので，線形性より${\alpha ^n+\beta ^n}$も 漸化式$a_n-4a_{n-1}-a_{n-2}=0$を満たすでもよい．$)$ (2) $\alpha =2+\sqrt{5},\beta =2-\sqrt{5}, \ \ s_n=\alpha ^n+\beta ^n$ $n=2003$のとき $\alpha ^{2003}=s_{2003}-\beta ^{2003}$ であり， $-1$＜$\beta ^{2003}$＜$0$ より$\alpha -{2003}$の整数部分は$s_{2003}$. 一方，$s_n$の１の位の数，すなわち10で割った余りは循環する． $\{s_n\}$の1の位に注目すると， $4,8,6,2,4,8,6,2,\cdots$ $2003=4\cdot 250+3$であるから， 求める値は$6$である． ＜参考＞ $s_n=4s_{n-1}+s_{n-2}$ は $s_{n-2}=s_{n}-4s_{n-1}$ と見れば分かるように，剰余は初項から循環する． 続く 目次 |