13-1.逆関数

逆関数を扱います.きちんと理解することが大切です.
関数$y=f(x)$が与えられたとき,単調増加の区間または単調減少の区間に定義域を限定すれば逆関数が存在します.
関数$f(x)$の逆関数を$f^{-1}(x)$と表すこともありますが,ここでは$y=g(x)$とします.
もちろん$y=g(x)$の逆関数は$y=f(x)$です.
性質1 $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフは直線$y=x$に関して対称である
これは,
$y=f(x)$の逆関数を求める方法を振り返ればわかります.
$y=f(x)$の逆関数は次のように求めました.
$1. \ y=f(x)$を$x$について解いて$x=g(y)$
$2. \ x,y$を入れ替えて$y=g(x)$とする.
1.において$y=f(x)$と$x=g(y)$は式としては同じですから,$y=f(x)$と$x=g(y)$は同じグラフです. 実際, $x=g(y)$のグラフを書けと言われたら$y=f(x)$と変形して書くことが多い.(ただ, $x=g(y)$は$y=f(x)$の逆関数であることも正しいのです.これは最後に説明します.)
グラフの対称性は2.から来ます.同様に定義域,値域が入れ替わるのも2.から起こることです.

性質2 $f(x)$とその逆写像$g(x)$の合成写像は恒等変換である.
恒等変換とは,任意の$x$に$x$を対応させる写像です.式で
$y=x$や$f(x)=x$
と表します.
$a$に対して$b=f(a)$とすれば$a=g(b)$です.したがって
$(g\circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=a$
が成り立ちます.
$a$は$f$の定義域に属すれば何でもいいので
任意の$a$で$(g\circ f)(a)=a$がなりたつ.
同様に任意の$a$で$(f\circ g)(a)=a$がなりたつ
通常性質2は
$(g\circ f)(x)=x, \ (f\circ g)(x)=x$
と表します.

たとえば,$f(x)=a^x$の逆関数は$g(x)=\log_ax$なので
$a^{\log_ax}=x$
すなわち,任意の正の数$b$で
$a^{\log_ab}=b$
が成り立つ.この等式は逆関数を考えれば当たり前の式なのです.

以上の2つの性質を理解していれば逆関数はものにしたも同然です.



まず微分を学びましょう.
$f(x)$の逆関数$g(x)$について
$f(g(x))=x$
より両辺を$x$で微分し
$f'(g(x))g'(x)=1 \ \ \therefore g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}$
これが逆関数の微分の公式です.
この式の意味を図で説明します. $y=g(x)$と$y=f(x)$は直線$y=x$に関して対称です. $b=f(a)$とする. $g'(a)$すなわち$y=g(x)$の$x=a$における接線の傾きは, 右の図でわかるように$y=f(x)$の$x=b$における接線の傾きの逆数です. $b=g(a)$より
$g'(a)=\dfrac{1}{f'(g(a))}$
これが上の公式の意味です.



例1$g(x)=\sqrt{x} \ \ (x\geqq 0)$は$f(x)=x^2 (x\geqq 0)$の逆関数である.
この性質を用いて$g'(4)$を求めよう.
$g'(4)$は$y=g(x)$の$x=4$におけるすなわち$(4,2)$における接線の傾きである.$y=f(x)$と$y=g(x)$は直線$y=x$ に関して対称であるあるから,$y=f(x)$の$(2,4)$における接線の傾きの逆数を求めればよい.
$g'(4)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{4}$

さて,ここで気が付いたであろうか.逆関数の導関数や微分係数は逆関数がわからなくとも求められることです.
$b=g(a)$を求める必要があるのではと思うかもしれませんが,$f(b)=a$を解くことにより求められます.



例2 $f(x)=\tan x \ (0\ \leqq x $<$\dfrac{\pi}{2})$の逆関数を$g(x)$とおく.$g'(1)$を求めよう.
$f(\frac{\pi}{4})=1$より
$g'(1)=\dfrac{1}{f'(\frac{\pi}{4})}$
$f'(x)=\dfrac{1}{\cos ^2x}$
であるから
$g'(1)=\dfrac{1}{2}$



逆関数の微分係数が元の関数で表せるわけですから,逆関数の微分も当然できます,
$g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}$
を利用してもよいのですが通常は $y=g(x)$
より
$x=f(y)$
この両辺を$x$で微分し$\dfrac{dy}{dx}$を求めます.
具体的に求めましょう.
例3
$y=\tan x \ (0$<$x$<$\dfrac{\pi}{2})$の逆関数$y=g(x)$の導関数を求めよう.
$y=g(x)$より
$x=\tan y \ \ \cdots (\sharp)$
両辺を$x$で微分すると
$1=\dfrac{1}{\cos ^2y}\cdot \dfrac{dy}{dx}$
$\dfrac{dy}{dx}=\cos ^2y=\dfrac{1}{1+\tan ^2y}=\dfrac{1}{1+x^2} \ (\because (\sharp))$

$y=\tan x$の逆関数を$y=g(x)$とおくと
$g'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$
であることがわかった.
したがって,
$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+x^2}dx=g(x)+C$
である.すでに学んだ
$\displaystyle \int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx$
の計算を振り返ってみよう.
$\dfrac{1}{1+x^2}$の不定積分は$y=\tan x$の逆関数$y=g(x)$である.さらに ここで$\tan 0=0,\tan \dfrac{\pi}{4}=1$より,$g(1)=\dfrac{\pi}{4},g(0)=0$
したがって
$\displaystyle \int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}=g(1)-g(0)=\dfrac{\pi}{4}$
通常の計算は
$x=\tan \theta$
とおくと
$\dfrac{dx}{d\theta}=\dfrac{1}{\cos ^2 \theta} \ \therefore dx =\dfrac{d\theta}{\cos ^2 \theta}$
および,
$\tan 0=0,\tan \dfrac{\pi}{4}=1$
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{dx}{1+x^2}= \int_0^1\dfrac{\cos ^2\theta d\theta}{\cos ^2\theta}$
$=[\theta]_0^{\frac{\pi}{4}}=\dfrac{\pi}{4}$
この式の$\theta$が$y=\tan x$の逆関数$g(x)$なのです.すなわち, $y=\tan x$の逆関数が出てこないようにうまく変形しているのです.

ついでに,
例4
$y=\sin x \ (0$<$x$<$\dfrac{\pi}{2})$の逆関数$y=g(x)$の導関数を求めよう.
$y=g(x)$より $x=\sin y $
両辺を$x$で微分すると
$1=\cos y\dfrac{dy}{dx}$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos y}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin ^2 y}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\therefore g'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$の計算のとき$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{dx}{1+x^2}$と同じような変形になることを確認するとよい.

次に逆関数の2次導関数も求めましょう.
$f(g(x))=x$
の両辺を微分して
$f'(g(x))g'(x)=1$
を得ました.さらに$x$で微分し,
$f"(g(x))g'(x)^2+f'(g(x))g"(x)=0$
まとめると次のようになります.なお$f'(x)\neq 0$を仮定する($y=x^3$のよう に$f'(x)=0$である点があっても逆関数が定義できるときもある.逆関数はその点で微分できない).
$\begin{cases} g'(x)=\dfrac{1}{f'(g(x))}\\ g"(x)=-\dfrac{f"(g(x))g'(x)^2}{f'(g(x))} \end{cases}$

したがって,$f(x)$とその逆関数$g(x)$には次の関係がある.
$\bullet f(x),g(x)$の単調増加,単調減少は一致する.
$\bullet f(x)$が単調減少の時,$f(x),g(x)$の凹凸は一致し,$f(x)$が単調増加の時, $f(x),g(x)$の凹凸は反対である.
これは$y=x^2$とその逆関数$y=\pm \sqrt{x}$をみればわかりやすい.


続く



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