微分幾何

 曲線,曲面の微分幾何を扱います.曲線論からはじめ,曲面を扱い,ガウスーボンネの定理までという 微分幾何の定番の内容です.
目次は次の通りです.

1部 曲線について
1.準備
2.弧長を変数とする曲線
3.接触平面
4.曲率とその意味
5.捩率
6.フレネ・セレの公式と曲率,捩率の計算
7.曲線の基本定理


2部 曲面について
1.曲面の第1基本形式(PDFファイル)
2.曲面の第2基本形式(PDFファイル)
3.曲面の法曲率(PDFファイル)
4.曲面の全曲率と平均曲率(PDFファイル)
5.法曲率のオイラー公式とデュパンの標形(PDFファイル)
6.ガウス写像
7.曲面の第1基本形式と第2基本形式の関係(PDFファイル)
8.曲面の基本定理
9.曲面の内在幾何(PDFファイル)
10.等長同型
11-1測地曲率と測地線(PDFファイル)
11-2測地曲率と測地線(2)
12.ガウス・ボンネの定理(PDFファイル)
13.極小曲面
14.非ユークリッド幾何と負の定曲率曲面
15.曲面と正規直交基底
16.ベクトル場の指数定理とガウス・ボンネの定理
17.平行ベクトル場とガウス・ボンネの定理
18.線織面と可展面



3部 リーマン幾何学
1.テンソル積(PDFファイル)
2.交代テンソル(PDFファイル)
3.リーマン幾何の概略(PDFファイル)
4.多様体(PDFファイル)
5.接ベクトル(PDFファイル)
6.リーマン多様体(PDFファイル)
7.曲率(PDFファイル)
8.曲率形式





あとがき
初等数学,言い方を変えれば誰でも学べる数学の普及が日本ではあまりなされていません.誠に残念なことです. 数学は本来国民の多くが楽しめ,数学を楽しみながら思考力,洞察力を身につけることができます. 多くの国民が小説や漫画を楽しむように,数学を楽しむ風土をつくること,すなわち初等数学の普及は 長い目で見れば国家の発展に寄与すること大であります.
初等数学の中には多くの方が楽しめる内容がたくさんありますが,曲線,曲面の微分幾何がその1つであると 私は考えています.長い間高校生に数学を教えていたことより, 微分幾何を分かりやすく伝えることができるのではないかと はじめたのがここでの原稿です.書けば書くほど,内容の広大さと先人のすばらしさに驚くばかりですが, これからも少しずつ付け加えていく予定です.
平成23年3月  小室久二雄



リーマン幾何学を追加いたしました.それに伴い,第4部は初期の原稿で数式がとても読みづらく掲載に耐えないと おもい削除いたしました.少しずつ書き直し掲載していく予定です.
(平成24年9月) 



第2部の前半の原稿の活字を大きくしました.それに伴い,一部書き直しました.
(平成25年7月) 



筆者の知識の整理のため書き始めた原稿で,読まれることは想定していなかった. 最近当ホームページのアクセス状況をみて, 予想外に多いのにびっくりするとともに責任の重さを感じています.
読まれることが少なければ問題ないが,現在,ここで書いた原稿の背景について 最低限の内容は明記することが当然であり,ここに記します.

本稿は,筆者が上智大学の学生時代に受講した荻上紘一先生の講義内容が元になっています. それは,1970年代の後半ですからもうすでに40年以上たちました.
講義内容は,多様体の定義からはじめ,ガウス曲率,測地曲率そしてガウス・ボンネの定理までという 当時としては非常にオーソドックスな微分幾何の内容です. 一年間の授業で,後半は積分多様体とくにフロベニウスの定理の話をなされました.
私は一年間皆勤賞で丁寧にノートは取りましたが,現在高校の教員をしていることからもわかるように, 全く理解できませんでした.荻上先生は非常勤で来られていたので, 私のことを記憶しているとは思えません.しかし,ひょっとしたら, 一番前に座り真面目にノートは取るが頭が弱い学生が一人いたなぐらいは覚えているかもしれません. 全く理解できないのに一日も休まなかったのは先生の誠実さだと思います. 考えても見てください.当時の上智大の置かれる立場を考えるなら 優秀な学生がそんなにいるわけはありません.その学生に対してあれだけの 講義をしてくれる先生はそうはおりません.先生の数学に対する誠実さは ノートを読めば分かります.たとえば,リーマン幾何で重要な「1の分割」,先生は partion of unity  とおっしゃっていましたが,パラコンパクト から丁寧に説明していました.この証明を学ぶとわかるのですが,関数の構成や被覆系の構成は 面倒で証明なしで結果を認めたい内容です.
陳腐な言葉で気が引けますが,できない学生にも誠実に接する.これが先生から学んだ最大の ことかもしれません.私はこれだけは守っているつもりです.
当時,授業内容の細かいことは分かりませんでしたが,不思議なことに,微分幾何の勉強方法, すなわち,Intrinsic(内在的)な性質に注目すること, 及び具体例を丁寧に計算することの重要性を強調されていたことはよく覚えています.多様体でいうと, 許容座標系はいくらでもあるが どの座標系でも成り立つ性質に注目して学ばなければならないということです. テンソルでいえば,ベクトル空間上の基底の取り方によらない量(数学ではそれを多重線型写像としてとらえている) ということに注目することです. そして,この不変量という考え方が 再度微分幾何を学んだ時にとても役に立ちました
本稿は積分多様体から書き始めました. すなわち,第1基本形式と第2基本形式の関係(Therem egregium), 曲面の基本定理からです.
全編を通して先生の強調されたIntrinsicだけは心がけました. もし私の原稿が分かり易いと感じられるならば,それは私が荻上先生のお考えにしたがって書いたからで, 先生にお礼ができたことです.それは私にとって望外の幸せであり喜びであります.

ここで私の来歴を少し書きます.来歴は自慢話みたいなものですから気が引けるのですが, 微分幾何を勉強している方なら素直に読んでもらえ言いたいことが 伝わると考えるからです.
私は上智大学で修士までお世話になり,地方の中高一貫の学校に就職しました. まあ引導を渡されたわけですが,当時の私の数学の実力を考えたら,指導の先生の至極当然な判断でした. 今思うと,当時は数学について何も分かっておらず,恥をばらまいていたのではないかと 反省しきりです.
私の就職した学校は,新設校で,すぐに受験生を教えることになりました.
受験生を教えるとき,やたら問題を解いても意味がないと考え, 問題を解いたとき必ずその問題の背景を説明しました.
その授業が生徒にとっていいか悪いかは分かりませんが, 卒業生の合格の喜びからくるリップサービスであろうが,授業で大学が受かったの言葉もあり, 長い間同じような授業を続けました. 今思うと,これが私にとって良かったのだと思います. ちなみに当ホームページの標題は「SSH数学図形ゼミ」です.これは, 受験生を教えながら勉強した入試問題の背景をまとめたものが主たる内容です.
さて,このような教員生活を続けてきたわけですが,40歳を過ぎ, 生活に余裕ができ,学生時代理解できなかった,微分幾何を死ぬまでには 少しは理解したいと考え勉強を始めました.
まず読んだのは
1.岩田至康著  微分幾何学   槇書店
2.大槻富之助  微分幾何学   朝倉書店  ,同演習 
3.Manfredo P.do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces , Prentice-Hall
です.特に3を丁寧に読みました. 3は名著の一つではないでしょうか.以前には味わえなかったクリアーに理解できるのがわかりました.理解の質が違うということです.私の学生時代には,数学を学ぶだけの 数学的素養が身についていなかったのです.数学を学ぶには,この十数年の教員生活は必要なのでした. 数学を学ぶとき,いろいろなことを理解することは必要であるが,さらに数学の題材を通して,論理的思考力をトレーニングする ことが重要である.また,数学を学ぶための数学的素養は決して先天的なものではなく,正しく数学に接することで身につくことがわかり, 生徒に数学を教えるときの迷いがなくなりました.
その後微分幾何学の勉強が楽しくて仕方なく, 荻上先生のノートを読みながらのんびりと微分幾何の勉強を続け, 知識の整理のため当ホームページを書いたということです.

私は還暦を過ぎました.気力が衰えてきましたが,これからも気が付いたことを書いていきたいと思います. お気づきの点があればご教示お願いいたします.
 (連絡先メールアドレス komuro@seishingakuen.ed.jp)

平成28年7月 小室久二雄 



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