3.接触平面

曲線$\overrightarrow{f}$上の点$P(\overrightarrow{f}(t))$における,この曲線の接触平面をもとめます.
曲線の点Pにおける接触平面とは,Pにおいて曲線に一番接近したPを通る平面を意味し,次のように求めます.
点Pに近い曲線上の点$P'(\overrightarrow{f}(t+\Delta t))$をとり,点Pにおける曲線の方向ベクトル $\overrightarrow{f'}(t)$および点P’を含む平面を求め,その平面の$\Delta t \to 0$の極限として求めます.
接触平面を求めましょう.
$\overrightarrow{f}(t+\Delta t)-\overrightarrow{f}(t)$
$=\overrightarrow{f'}(t)\Delta t+\dfrac{\overrightarrow{f}"(t)(\Delta t)^2}{2}+\epsilon ((\Delta t)^2)$
ただし$\epsilon ((\Delta t)^2)$は$\Delta t$の3次以上の無限小.
ですから,$\overrightarrow{f'}(t)$を含みかつP’を通る平面の法線ベクトルは
$\overrightarrow{f'}(t)\times (\overrightarrow{f'}(t)\Delta t+\dfrac{\overrightarrow{f}"(t)(\Delta t)^2}{2}+\epsilon ((\Delta t)^2))$
$=(\overrightarrow{f'}(t)\times (\dfrac{(\overrightarrow{f}"(t)+\epsilon ) (\Delta t)^2}{2}) \parallel (\overrightarrow{f'}(t)\times (\overrightarrow{f}"(t)+\epsilon ))$
ただし,$\parallel$は平行を意味します.
したがって,$\Delta t \to 0$とき,
(法線ベクトル)$\to \overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)$
より,点Pにおける曲線の接触平面の法線ベクトルは
$\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)$
であることが分かった.
したがって,$\overrightarrow{f}(t)$における接触平面の方程式はこの平面上の点を$\overrightarrow{x}$とすると
$(\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t))\cdot (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{f}(t))=0$

これで接触平面が求められました.
接触平面が曲線の媒介変数の取り方によらないことを確認します. 曲線$\overrightarrow{f}(t)$の媒介変数を$t=t(u)$により$u$に変えます,このとき,
$\overrightarrow{f'}(u)=\overrightarrow{f'}(t)\dfrac{dt}{du}$
より
$\overrightarrow{f}"(u)=\overrightarrow{f}"(t)(\dfrac{dt}{du})^2+\overrightarrow{f'}(t)\dfrac{d^2t}{du^2}$
したがって,
$(\overrightarrow{f'}(u)\times \overrightarrow{f}"(u)) \parallel (\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t))$
であるから,法線ベクトルが変らない.したがって,曲線の接触平面は媒介変数の取り方によらないことが分かった.

接触平面は速度ベクトル$\overrightarrow{f'}(t)$と加速度ベクトル$\overrightarrow{f}"(t)$の決める平面ですから,曲線のいかなる媒介変数 でも,加速度ベクトル$\overrightarrow{f}"(t)$は接触平面上にあることが分かります.これが大切な性質です.

接触平面の作り方より,
$\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)\neq \overrightarrow{0}$
のとき$\overrightarrow{f}(t)$における接触平面が唯一つ決まります.
曲線$\overrightarrow{f}$上の点で
$\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)=\overrightarrow{0}$
を満たす点を逗留点といいます.
以後,曲線は逗留点がない場合を考えます.

つぎに,自然媒介変数(弧長を媒介変数)$\overrightarrow{f}(s)$で考えます.
$|\overrightarrow{f'}(s)|=1$
であるから, $\overrightarrow{f'}(s)\cdot \overrightarrow{f}"(s)=0$
ここで,
$\overrightarrow{f'}(s)=\alpha (s)$
とおき,$\overrightarrow{f}"(s)$と同じ向きの単位ベクトルを $\beta (s)$,さらに,
$\gamma (s)=\alpha (s)\times \beta (s)$
とすると各点で,互いに直交し右手系をなす3つの単位ベクトル
$\{\alpha (s),\beta (s),\gamma(s)\}$
ができる.
この,ベクトル$\alpha (s),\beta (s),\gamma(s)$をそれぞれ曲線の単位方向ベクトル単位主法線ベクトル単位従法線ベクトルという.
また,$\alpha (s),\beta (s)$の決める平面,$\beta (s),\gamma(s)$の決める平面,
$\gamma(s),\alpha (s)$の決める平面をそれぞれ曲線の接触平面法平面展直平面といいます.
なお,点Pにおける曲線の状況を調べるとき,点Pが原点である直交座標が便利です.ここで定義した 3つのベクトル$\alpha (s),\beta (s),\gamma(s)$は各点で定義できる.各点$P(\overrightarrow{f}(s))$における $\alpha (s),\beta (s),\gamma(s)$が座標軸である直交座標を曲線のフレネ座標系といいます.
微分幾何では曲線や曲面の各点の周りのの状況を調べるのが目的です.
フレネ座標系のように,各点で座標を考える動く座標軸が便利でこのような座標系を動座標系といいます.

例1
円柱螺旋
$\overrightarrow{f}(t)=(\cos t,\sin t,t)$
の接触平面を求めてみよう.

$\overrightarrow{f'}(t)=(-\sin t,\cos t,1)$
$\overrightarrow{f}"(t)=(-\cos t,-\sin t,0)$
より,
$\overrightarrow{f'}(t) \times \overrightarrow{f}"(t)=(\sin t,-\cos t,1)$
したがって,$(\cos t,\sin t,t)$における接触平面は
$(\sin t)x-(\cos t)y+z=t$




例2
$\overrightarrow{f}(t)=(t,\dfrac{t^2}{2},\dfrac{t^3}{6})$
の接触平面を求めてみよう.
$\overrightarrow{f'}(t)=(1.t.\dfrac{t^2}{2})$
$\overrightarrow{f}"(t)=(0,1,t)$
より,
$\overrightarrow{f'}(t) \times \overrightarrow{f}"(t)=(\dfrac{t^2}{2},-t,1)$
したがって,$(t,\dfrac{t^2}{2},\dfrac{t^3}{6})$における接触平面は
$\dfrac{t^2}{2}x-ty+z=\dfrac{t^3}{6}$



続く

微分幾何