ここでは，ガウス写像とその微分であるワインガルテン(Weingarten)写像を用いて,今まで学んだ曲面の主曲率，主方向，法曲率のオイラーの公式 を整理する． まず，曲面のガウス写像を定義する． ユークリッド空間\(\mathbb{R}^3\)における曲面 \(F:f(u,v)\) 上で考える． なお，曲面\(f(u,v)\)とはベクトル値関数で \(f(u,v)=(f^1(u,v),f^2(u,v),f^3(u,v))\) のこと.本来はベクトル表記するべきであるが，ここでは\(f(u,v)\)と書く．さらに，たとえば\(f_u,f_v,f_{uv}\)はそれぞれ \(f_u=(\dfrac{\partial f^1}{\partial u},\dfrac{\partial f^2}{\partial u},\dfrac{\partial f^3}{\partial u})\) \(f_v=(\dfrac{\partial f^1}{\partial v},\dfrac{\partial f^2}{\partial v},\dfrac{\partial f^3}{\partial v})\) \(f_{uv}=(\dfrac{\partial ^2f^1}{\partial u\partial v},\dfrac{\partial ^2f^2}{\partial u\partial v}, \dfrac{\partial ^2f^3}{\partial u\partial v})\) のことである． 曲面\(F\)上の点\(f(u,v)\)におけるこの曲面の単位法線ベクトルを\(n(u,v)\)とする． ベクトル\(n(u,v)\)を平行移動し，始点を原点とすると終点は原点\(O\)を中心とする単位球面\(S^2\)上に有り，この点を対応させる写像 \(g:F\longrightarrow S^2\) を曲面\(F\)のガウス写像という． \(F\)上の点\(f(u,v)\)のガウス写像の像を単位法線ベクトル\(n(u,v)\)を用いて\(n(u,v)\)と表す．すなわち \(g(f(u,v))=n(u,v)\) である． ガウス写像は，曲面の曲がりかたが急なら動きが大きいし，曲がりが小さければ動きが小さい．たとえば\(F\)が平面なら動かない．この写像を 用いて，今までの内容を整理する． ガウス写像\(g\)の微分\(dg\) \(dg(P):T_P(F)\longrightarrow T_{g(P)}(S^2)\) を調べよう． 接ベクトル平面(点\(P\)における曲面Fの接平面のこと)\(T_P(F)\)と\(T_{g(P)}(S^2)\)はともに\(n\)に垂直ですから平行であることがわかります． したがって，この２つのベクトル空間\(T_P(F),T_{g(P)}(S^2)\)を同一視します(\(P\)と\(g(P)\)を重ねる)． 同一視を用いて，ガウス写像\(g\)の微分\(dg\)は \(dg(P):T_P(F)\longrightarrow T_P(F)\) となります． \(dg(P)\)は線型変換ですから，２つのベクトルの像が決まれば定まります．\(dg(P)\)によって \(f_u\mapsto n_u,f_v\mapsto n_v\) であるから \(af_u+bf_v \mapsto an_u+bn_v\) で決まる線型変換が\(dg\)である． ここで \(-dg:T_P(F)\longrightarrow T_P(F);w\mapsto -dg(w)\) で定義される線型変換を\(W(P)(=-dg(P))\)で表し曲面$F$の点$P$におけるワインガルテン(Weingarten)写像という． $P$におけるワインガルテン写像は\(W(P)\)のように\(P\)を付けるべきであるが，混乱がない限り$P$は省略する． ２つのベクトル\(n_u,n_v\)を\(f_u.f_v\)で表せば\(W\)を行列表示でき見やすくなるが それは後で計算するとして，\(W\)の性質を調べよう． 命題1 ワインガルテン写像 \(W:T_P(F)\longrightarrow T_P(F)\) は対称変換である．すなわち，任意の\(u,v\in T_P(F)\)に対して \(W(u)\cdot v=u\cdot W(v)\) が成り立つ.ただし\(\cdot \)は内積． 証明 \(u,v\in T_P(F),u=af_u+bf_v,v=cf_u+df_v\) とおく． \(W(u)\cdot v=W(af_u+bf_v)\cdot (cf_u+df_v)\) \(=(-an_u-bn_v)\cdot (cf_u+df_u)\) \(=Lac+M(ad+bc)+Nbd\) \(u\cdot W(v)=(af_u+bf_v)\cdot (-cn_u-dn_v)\) \(=Lac+M(ad+bc)+Nbd\) したがって命題が成り立つ． 命題の証明で \(-f_u\cdot n_u=f_{uu}\cdot n=L\) \(-f_u\cdot n_v=-f_v\cdot n_u=f_{uv}\cdot n=M\) \(-f_v\cdot n_v=f_{vv}\cdot n=N\) を用いたが，それらはたとえば \(f_u\cdot n=0\) の両辺を\(u\)で偏微分すること等より得られる． ワインガルテン写像の定義が \(W=-dg\) と\(-\)が付く理由が上記の等式を見れば分かる． さてワインガルテン写像\(W\)は対称変換であることがわかった． ここで対称変換の復習をしよう．なお，他との一貫性はないが，ここだけはベクトルの表記をする．また，ベクトルの成分表示は 列ベクトルすなわち縦に表示し，行ベクトルになる場合は転置を用いて表す．以下，２次元で行うが，n次元でも大きな差はない． 定義 内積が定義されている2次元実線型空\(V\)間の線型変換 \(T:V\longrightarrow V\) が任意の\(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V\)に対して \(T\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot T\overrightarrow{v}\) を満たすとき，\(T\)を対称変換という．ただし，\(\cdot \)は内積を表す． \(V\)の正規直交基底\(\{\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_1}\}\)を用いれば，内積は \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}^t\overrightarrow{v}\) と行列の積となる．ただし，\(\overrightarrow{u}^t\)は\(\overrightarrow{u}\)の転置を表す． 正規直交基底\(\{\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_1}\}\)による線型変換\(T\)の行列表示を\(A\)とするとき \(A\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=(A\overrightarrow{u})^t\overrightarrow{v}\) \(=\overrightarrow{u}^tA^t\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot A^t\overrightarrow{v}\) より次の命題が成り立つ． 命題2 正規直交基底\(\{\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_1}\}\)による線型変換\(T\)の行列表示を\(A\)とするとき\(A\)が対称行列(\(A^t=A\)を満たす) のとき\(T\)は対称変換である． 逆に\(T\)が対称変換なら \(A\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot A\overrightarrow{v}\) より \(\overrightarrow{u}\cdot (A-A^t)\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\) ここで\(A-A^t\neq 0\)とすると，\((A-A^t)\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}\)となる\(\overrightarrow{v}\)を選び \(\overrightarrow{u}=(A-A^t)\overrightarrow{v}\) と置けば矛盾であり，\(A\)が対称行列であることが分かる．したがって，次が示された． 命題3 正規直交基底\(\{\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_1}\}\)による線型変換\(T\)の行列表示を\(A\)とする． このとき次が成り立つ． \(T\)が対称変換 \(\Longleftrightarrow A\)が対称行列 次に対称行列の固有値，固有ベクトルを調べよう. 固有値，固有ベクトルの復習をしよう． \(T\)が線型変換のとき \(T\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}\cdots (\sharp)\) を満たす\(k\)を\(T\)の固有値，\(\overrightarrow{u}\)を固有値\(k\)の固有ベクトルという． ここで定義式\((\sharp )\)を見てみよう．基底を用いない定義をしている．これが大切なのです． すなわち，基底によってベクトル空間は扱いやすくなりますが，基底の取り方はいくらでもあり，基底を用いた定義では，他の基底でもなりたつ ことを示す必要があります．曲面の微分幾何とは，曲面を微分を利用して調べることで，各点の周り，すなわち接ベクトル平面上で考える幾何学です． ここで，第１基本形式，第２基本形式を思い出しましょう．この定義は座標関数\((u,v)\)を用いているから， 座標変換で保たれることを示す必要があるわけです．これは微分幾何さらにリーマン幾何を学ぶとき常について回ります． 一方，固有値，固有ベクトルの定義は基底を用いません．ベクトル空間で基底を用いない性質をIntrinsicな性質といいます． 私は現在これを日本語で何というかは分かりませんが，以前は稟性を用いました．たとえば，曲線は曲率と捩率できまり， 曲率と捩率で表す曲線の方程式を稟性方程式といいます． $A=\begin{pmatrix} a & h \\ h & b \end{pmatrix}$ のとき固有方程式は \(x^2-(a+b)x+ab-h^2=0\) 固有方程式の判別式\(D\)は \(D=(a+b)^2-4(ab-h^2)=(a-b)^2+4h^2\geqq 0\) より,\(A\neq kE\)のとき異なる２つの実数の固有値を持つ． 次に， \(A\neq kE\) の対称行列のとき，\(A\)の固有値を\(\alpha ,\beta ，\alpha ,\beta \)の固有ベクトルをそれぞれ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) とする．すなわち \(A\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{u}\) \(A\overrightarrow{v}=\beta \overrightarrow{v}\) を満たすとき， \(A\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\alpha \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\) \(\overrightarrow{u}\cdot A\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}\cdot \beta \overrightarrow{v}\) \(A\)が対称行列より \((\alpha -\beta )\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0\) \(\therefore \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\) まとめると次のようになる． 命題4 \(kE\)でない対称変換は異なる実数の固有値をもち，それぞれの固有ベクトルは直交する． 続く 微分幾何の目次 |