曲線$\boldsymbol{f}(s)$を調べるとき，各点で３つの互いに垂直な単位ベクトル $\boldsymbol{\alpha}，\boldsymbol{\beta}，\boldsymbol{\gamma}$ を用いました．微分幾何とは，点の周りすなわち点の近くの図形の状況を調べる学問です．したがって，点Pの周りの状況を調べるには， 点Pを原点として考えるのがよく，曲線$\boldsymbol{f}(s)$が与えられたとき，各点それぞれについて， それぞれの点が原点である座標を用いるわけです． 各点に $\boldsymbol{\alpha}，\boldsymbol{\beta}，\boldsymbol{\gamma}$ で定まる座標軸$(\boldsymbol{f}(s)；\boldsymbol{\alpha} (s),\boldsymbol{\beta} (s),\boldsymbol{\gamma} (s))$を考え， この座標をフレネ座標といいます．このように各点に対応した座標のことを動座標といいます． さて，３つのベクトル $\boldsymbol{\alpha} (s)，\boldsymbol{\beta} (s)，\boldsymbol{\gamma} (s)$ は各点で１次独立ですから，その点を始点とする任意のベクトルはこの３つのベクトル表せます． そこで，$\boldsymbol{\alpha} '(s)，\boldsymbol{\beta} '(s)，\boldsymbol{\gamma} '(s)$を$\boldsymbol{\alpha} (s),\boldsymbol{\beta} (s),\boldsymbol{\gamma} (s)$ で表しましょう． これができ,係数が微分可能であれば，曲線上で何度でも微分ができることになリます．同じことが，曲面を調べるときにも行われます． なお，例えば，通常のユークリッド座標のとき $\boldsymbol{p}=(x,y,z)=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}+z\boldsymbol{e_3}$ の微分は$\boldsymbol{e}_i$が固定されているので$\boldsymbol{e}_i'=\boldsymbol{0}$より係数だけ微分し $\boldsymbol{p}'=(x',y',z')=x'\boldsymbol{e_1}+y'\boldsymbol{e_2}+z'\boldsymbol{e_3}$ となるのです． 変数は弧長$s$とし曲率を$k(s)$，捩率を$\tau (s)$とします． すでに$\boldsymbol{\alpha} '(s),\boldsymbol{\gamma} '(s)$は計算されており， $\boldsymbol{\alpha} '(s)=k(s)\boldsymbol{\beta} (s),$ $\boldsymbol{\gamma} '(s)=-\tau (s) \boldsymbol{\beta} (s),$ が成り立ちます． 次に$\boldsymbol{\beta} '(s)$を計算します． まず， $\boldsymbol{\beta} (s)＝\boldsymbol{\gamma} (s)\times \boldsymbol{\alpha} (s)$ より $\boldsymbol{\beta} '(s)=\boldsymbol{\gamma} '(s)\times \boldsymbol{\alpha} (s)＋\boldsymbol{\gamma} (s)\times \boldsymbol{\alpha} '(s)$ $=-\tau (s) \boldsymbol{\beta} (s) \times \boldsymbol{\alpha} (s)＋\boldsymbol{\gamma} (s)\times k(s)\boldsymbol{\beta} (s)$ $=\tau (s)\boldsymbol{\gamma} (s)-k(s)\boldsymbol{\alpha} (s)$ したがって，次のようになります． $\boldsymbol{\alpha} '(s)=k(s)\boldsymbol{\beta} (s)$ $\boldsymbol{\beta} '(s)=-k(s)\boldsymbol{\alpha} (s)＋\tau (s)\boldsymbol{\gamma} (s)$ $\boldsymbol{\gamma} '(s)=-\tau (s)\boldsymbol{\beta} (s)$ 行列表示のほうが見やすいでしょう． $\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha} '(s) \\ \boldsymbol{\beta} '(s) \\ \boldsymbol{\gamma} '(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & k(s) & 0 \\ -k(s) & 0 & \tau (s) \\ 0 & -\tau (s) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha} (s) \\ \boldsymbol{\beta} (s) \\ \boldsymbol{\gamma} (s) \end{pmatrix} $ この関係式をフレネ・セレ（Frenet-Serret）の公式といいます． 次に，一般の媒介変数で表された曲線の曲率，捩率を求める公式を求めよう． すでに，曲線を弧長変数で表示したときは計算してあるが，実例を扱うときは，弧長変数は現実的ではない場合が多い． そこですでに求めた弧長による曲率，捩率の式を一般の変数で書き直します． 曲線$\boldsymbol{f}(t)$において，弧長$s(t)$は $\displaystyle s(t)=\int_a^t|\boldsymbol{f'}(t)|dt$ であるから $\dfrac{ds}{dt}=|\boldsymbol{f'}(t)|$ さらに， $\boldsymbol{f}(t)$における，互いに直交しかつ右手系をなす単位ベクトル$\boldsymbol{\alpha} (t),\boldsymbol{\beta} (t),\boldsymbol{\gamma} (t)$は， $\boldsymbol{\alpha} (t)=\dfrac{\boldsymbol{f'}(t)}{|\boldsymbol{f'}(t)|}$ $\therefore \boldsymbol{f'}(t)=|\boldsymbol{f'}(t)|\boldsymbol{\alpha} (t)$・・・@ @をさらに$t$で微分し $\boldsymbol{f}''(t)=\dfrac{d|\boldsymbol{f'}(t)|}{dt}\boldsymbol{\alpha} (t) +|\boldsymbol{f'}(t)|\dfrac{d\boldsymbol{\alpha} (t)}{ds}\dfrac{ds}{dt}$ $=\dfrac{d|\boldsymbol{f'}(t)|}{dt}\boldsymbol{\alpha} (t)+|\boldsymbol{f'}(t)|^2k(t)\boldsymbol{\beta} (t)\cdots (\sharp)$ したがって， $\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)$ $=|\boldsymbol{f'}(t)|^3k(t)(\boldsymbol{\alpha} (t)\times \boldsymbol{\beta} (t))$ $=|\boldsymbol{f'}(t)|^3k(t)\boldsymbol{\gamma} (t)$ したがって，曲率$k(t)$は $k(t)=\dfrac{|\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)|}{|\boldsymbol{f'}(t)|^3}$ 次に捩率を求めよう． $\boldsymbol{\gamma} (t)$は接触平面の法線ベクトルであるから $\boldsymbol{\gamma} (t)=\dfrac{\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)}{|\boldsymbol{f'}(t) \times \boldsymbol{f}''(t)|}$・・・A $\boldsymbol{\beta} (t)=\boldsymbol{\gamma} (t)\times \boldsymbol{\alpha} (t)$ $=\dfrac{|\boldsymbol{f'}(t)|}{|\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)|}\boldsymbol{f}''(t) -\dfrac{\boldsymbol{f'}(t) \cdot \boldsymbol{f}''(t)}{|\boldsymbol{f'}(t)||\boldsymbol{f'}(t) \times \boldsymbol{f}''(t)|}\boldsymbol{f'}(t)$ $\big(\because \ (\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c} =(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{b}- (\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c})\boldsymbol{a}\big)$ $\boldsymbol{\gamma} (t)$を$t$で微分する． フレネの公式より， $\boldsymbol{\gamma}'(t)=-\tau (t)\boldsymbol{\beta} (t) \dfrac{ds}{dt} \ $・・・B 一方，Aの右辺を微分すると $\boldsymbol{\gamma}'(t)=\dfrac{\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f'''}(t)}{|\boldsymbol{f'}(t) \times \boldsymbol{f}''(t)|}+ \dfrac{d}{dt}\Bigl( \dfrac{1}{|\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)|}\Bigr)\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}"(t)$ Bで$\boldsymbol{\beta} (t)$との内積をとる.ここで，曲率を求めるときに用いた$(\sharp)$を用い $\tau (t)=\dfrac{|\boldsymbol{f'}(t) \ \ \boldsymbol{f}''(t) \ \ \boldsymbol{f}'''(t)|}{|\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)|^2} \ $・・・C を得る． 捩率は，すでに求めた $\tau (s)=\dfrac{\left|\dfrac{d\boldsymbol{f} (s)}{ds} \ \dfrac{d^2\boldsymbol{f}(s)}{ds^2} \ \dfrac{d^3\boldsymbol{f}(s)}{ds^3}\right|}{\left|\dfrac{d^2\boldsymbol{f} (s)}{ds^2}\right|^2}$ より直接求めてもよい． $\dfrac{d^2\boldsymbol{f}}{ds}=\dfrac{d\boldsymbol{f}}{dt}\dfrac{dt}{ds}$ $\dfrac{d^2\boldsymbol{f}}{ds^2}=\dfrac{d^2\boldsymbol{f}}{dt^2}(\dfrac{dt}{ds})^2 +\dfrac{d\boldsymbol{f}}{dt}\dfrac{d^2t}{ds^2}$ $\dfrac{d^3\boldsymbol{f}}{ds^3}=\dfrac{d^3\boldsymbol{f}}{dt^3}(\dfrac{dt}{ds})^3 +\cdots$ より (分子)$=\left(\dfrac{dt}{ds}\right)^6\left|\dfrac{d\boldsymbol{f} (t)}{dt} \ \dfrac{d^2\boldsymbol{f}(t)}{dt^2} \ \dfrac{d^3\boldsymbol{f}(t)}{dt^3}\right|$ 分母は曲率の平方であるから (分母)$=k(t)^2=\dfrac{|\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)|^2}{|\boldsymbol{f'}(t)|^6}$ より $\tau (t)=\dfrac{|\boldsymbol{f'}(t) \ \ \boldsymbol{f}''(t) \ \ \boldsymbol{f}'''(t)|}{|\boldsymbol{f'}(t)\times \boldsymbol{f}''(t)|^2} \ $・・・C を得る． すでに接触平面で述べた，曲線が平面曲線であることとあわせると次の同値関係を得る． 曲線$\boldsymbol{f}(t)$が平面曲線 $\Longleftrightarrow |\boldsymbol{f'}(t) \ \ \boldsymbol{f}'''(t) \ \ \boldsymbol{f}'''(t)|\equiv 0$ $\Longleftrightarrow \tau (t)\equiv 0$ 例 円柱螺旋 $\boldsymbol{f}(t)=(a\cos t,a\sin t, bt)$ のフレネの公式を求めましょう． フレネの公式といっても実際は曲率と捩率を求めることです． 
$\dfrac{ds}{dt}=|\boldsymbol{f'}(t)|$$=|(-a\sin t,a\cos t, b)|=\sqrt{a^2+b^2}$ $\boldsymbol{\alpha} (t)=\dfrac{d\boldsymbol{f}(t)}{ds}=\dfrac{d\boldsymbol{f}(t)}{dt}\dfrac{dt}{ds}$ $=\dfrac{(-a\sin t,a\cos t,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $\dfrac{d \boldsymbol{\alpha} (t)}{ds}=\dfrac{a(-\cos t,-\sin t,0)}{a^2+b^2}$ したがって， $\boldsymbol{\beta} (t)=(-\cos t,-\sin t,0)$ であり， $k(t)=\dfrac{a}{a^2+b^2}$ $\boldsymbol{\gamma} (t)=\boldsymbol{\alpha} (t)\times \boldsymbol{\beta} (t)=\dfrac{(b\sin t ,-b\cos t ,a)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ $\dfrac{d\boldsymbol{\gamma} (t)}{ds}=\dfrac{-b(-cos t,-\sin t,0)}{a^2+b^2}=-\dfrac{b}{a^2+b^2}\boldsymbol{\beta} (t)$ したがって， $\tau (t)=\dfrac{b}{a^2+b^2}$ 以上は定義にしたがって求めたが，公式を用いれば $\boldsymbol{f}'(t)=(-a\sin t,a\cos t, b)$ $\boldsymbol{f}''(t)=(-a\cos t,-a\sin t, 0)$ $\boldsymbol{f}'''(t)=(a\sin t,-a\cos t, 0)$ より $\boldsymbol{f}'(t)\times \boldsymbol{f}''(t)=(ab\sin t,-ab\cos t,a^2)$ $(\boldsymbol{f}'(t)\times \boldsymbol{f}''(t))\cdot \boldsymbol{f}'''(t)=a^2b$ より，曲率，捩率を求めればよい． 続く 微分幾何の目次 |