6.フレネ・セレの定理と曲率,捩率の計算

曲線$\overrightarrow{f}(s)$を調べるとき,各点で3つの互いに垂直な単位ベクトル $\alpha,\beta,\gamma$ を用いました.微分幾何とは,点の周りすなわち点の近くの図形の状況を調べる学問です.したがって,点Pの周りの状況を調べるには, 点Pを原点として考えるのがよく,曲線$\overrightarrow{f}(s)$が与えられたとき,各点それぞれについて, それぞれの点が原点である座標を用いるわけです.

各点に $\alpha,\beta,\gamma$ で定まる座標軸$(\overrightarrow{f}(s);\alpha (s),\beta (s),\gamma (s))$を考え, この座標をフレネ座標といいます.このように各点に対応した座標のことを動座標といいます.
さて,3つのベクトル
$\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)$
は各点で1次独立ですから,その点の任意のベクトルはこの3つのベクトル表せます.
そこで,$\alpha '(s),\beta '(s),\gamma '(s)$を$\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)$ で表しましょう.
これができれば,曲線上で何度でも微分ができることになリます.同じことが,曲面を調べるときにも行われます.
なお,例えば,通常のユークリッド座標のとき
$\overrightarrow{p}=(x,y,z)=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}+z\overrightarrow{e_3}$
の微分は$e_i$が固定されているので係数だけ微分すればよいのです.

変数は弧長$s$とし曲率を$k(s)$,捩率を$\tau (s)$とします.
すでに$\alpha '(s),\gamma '(s)$は計算されており,
$\alpha '(s)=k(s)\beta (s),$
$\gamma '(s)=-\tau (s) \beta (s),$
が成り立ちます.
次に$\beta '(s)$を計算します.
まず,
$\beta (s)=\gamma (s)\times \alpha (s)$
より
$\beta '(s)=\gamma '(s)\times \alpha (s)+\gamma (s)\times \alpha '(s)$
$=-\tau (s) \beta (s) \times \alpha (s)+\gamma (s)\times k(s)\beta (s)$
$=\tau (s)\gamma (s)-k(s)\alpha (s)$
したがって,次のようになります.
$\alpha '(s)=k(s)\beta (s)$
$\beta '(s)=-k(s)\alpha (s)+\tau (s)\gamma (s)$
$\gamma '(s)=-\tau (s)\beta (s)$
行列で書いたほうが見やすいでしょう.
  $\begin{pmatrix} \alpha '(s) \\ \beta '(s) \\ \gamma '(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & k(s) & 0 \\ -k(s) & 0 & \tau (s) \\ 0 & -\tau (s) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha (s) \\ \beta (s) \\ \gamma (s) \end{pmatrix} $
この関係式をフレネ・セレ(Frenet-Serret)の公式といいます.



次に,一般の媒介変数で表された曲線の曲率,捩率を求める公式を求めよう.
すでに,曲線を弧長変数で表示したときは計算してあるが,実例を扱うときは,弧長変数は現実的ではない場合が多い. そこですでに求めた弧長による曲率,捩率の式を一般の変数で書き直します.

曲線$\overrightarrow{f}(t)$において,弧長$s(t)$は
$\displaystyle s(t)=\int_a^t|\overrightarrow{f'}(t)|dt$
であるから
$\dfrac{ds}{dt}=|\overrightarrow{f'}(t)|$
さらに, $\overrightarrow{f}(t)$における,互いに直交しかつ右手系をなす単位ベクトル$\alpha (t),\beta (t),\gamma (t)$は, $\alpha (t)=\dfrac{\overrightarrow{f'}(t)}{|\overrightarrow{f'}(t)|}$
$\therefore \overrightarrow{f'}(t)=|\overrightarrow{f'}(t)|\alpha (t)$・・・@
@をさらに$t$で微分し
$\overrightarrow{f}"(t)=\dfrac{d|\overrightarrow{f'}(t)|}{dt}\alpha (t) +|\overrightarrow{f'}(t)|\dfrac{d\alpha (t)}{ds}\dfrac{ds}{dt}$
$=\dfrac{d|\overrightarrow{f'}(t)|}{dt}\alpha (t)+|\overrightarrow{f'}(t)|^2k(t)\beta (t)$
したがって,
$\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)$
$=|\overrightarrow{f'}(t)|^3k(t)(\alpha (t)\times \beta (t))$
$=|\overrightarrow{f'}(t)|^3k(t)\gamma (t)$
したがって,曲率$k(t)$は
$k(t)=\dfrac{|\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)|}{|\overrightarrow{f'}(t)|^3}$

次に捩率を求めよう.
$\gamma (t)$は接触平面の法線ベクトルであるから
$\gamma (t)=\dfrac{\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)}{|\overrightarrow{f'}(t) \times \overrightarrow{f}"(t)|}$・・・A
$\beta (t)=\gamma (t)\times \alpha (t)$
$=\dfrac{|\overrightarrow{f'}(t)|}{|\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)|}\overrightarrow{f}"(t) -\dfrac{\overrightarrow{f'}(t) \cdot \overrightarrow{f}"(t)}{|\overrightarrow{f'}(t)||\overrightarrow{f'}(t) \times \overrightarrow{f}"(t)|}\overrightarrow{f'}(t)$
$\big(\because \ (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c} =(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}- (\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}\big)$
$\gamma (t)$を$t$で微分する.
フレネの公式より, $\gamma '(t)=-\tau (t)\beta (t) \dfrac{ds}{dt} \ $・・・B
一方,Aの右辺を微分すると
$\gamma '(t)=\dfrac{\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}^{,,,}(t)}{|\overrightarrow{f'}(t) \times \overrightarrow{f}"(t)|}+ \dfrac{d}{dt}\Bigl( \dfrac{1}{|\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)|}\Bigr)\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)$
Bで$\beta (t)$との内積をとることにより
$\tau (t)=\dfrac{|\overrightarrow{f'}(t) \ \ \overrightarrow{f}"(t) \ \ \overrightarrow{f}^{,,,}(t)|}{|\overrightarrow{f'}(t)\times \overrightarrow{f}"(t)|^2} \ $・・・C
を得る.

すでに接触平面で述べた,曲線が平面曲線であることとあわせると次の同値関係を得る.
$\text{曲線$\overrightarrow{f}(t)$が平面曲線}$
$\Longleftrightarrow |\overrightarrow{f'}(t) \ \ \overrightarrow{f}"(t) \ \ \overrightarrow{f}^{,,,}(t)|\equiv 0$
$\Longleftrightarrow \tau (t)\equiv 0$



円柱螺旋
$\overrightarrow{f}(t)=(a\cos t,a\sin t, bt)$
のフレネの公式を求めましょう.
フレネの公式といっても実際は曲率と捩率を求めることです.
$\dfrac{ds}{dt}=|\overrightarrow{f'}(t)|$
$=|(-a\sin t,a\cos t, b)|=\sqrt{a^2+b^2}$
$\alpha (t)=\dfrac{d\overrightarrow{f}(t)}{ds}=\dfrac{d\overrightarrow{f}(t)}{dt}\dfrac{dt}{ds} =\dfrac{(-a\sin t,a\cos t,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$\dfrac{d \alpha (t)}{ds}=\dfrac{a(-\cos t,-\sin t,0)}{a^2+b^2}$
したがって,
$\beta (t)=(-\cos t,-\sin t,0)$
であり,
$k(t)=\dfrac{a}{a^2+b^2}$
$\gamma (t)=\alpha (t)\times \beta (t)=\dfrac{(b\sin t ,-b\cos t ,a)}{\sqrt{a^2+b^2}}$
$\dfrac{d\gamma (t)}{ds}=\dfrac{-b(-cos t,-\sin t,0)}{a^2+b^2}=-\dfrac{b}{a^2+b^2}\beta (t)$
したがって,
$\tau (t)=\dfrac{b}{a^2+b^2}$


続く


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