ここでは，$\mathbb{R}^3$における閉曲面を考えます．$\mathbb{R}^3$における閉曲面とは
コンパクトでかつ境界のない曲面をいいます．右図の様な曲面が
対象です．曲面上のなめらかなベクトル場を考えます．なお，なめらかは$C^{\infty}$を意味する． 定義 閉曲面$S$上のベクトル場$X$で， $X(P)=0$ となる点$P$をベクトル場$X$の零点という． Pがベクトル場Xの零点で，ベクトル場$X$の$P$以外の零点を含まない$P$の開近傍が存在するとき， この点$P$を孤立零点という． ここで扱うベクトル場は，零点は存在しても孤立零点だけである． 次に，ベクトル場の孤立零点$P$における回転数を定義する． ベクトル場$X$は零点を除き， $e=\dfrac{X}{|X|}$ により単位ベクトル場を考える． 平面$\mathbb{R}^2$におけるベクトル場の孤立零点の回転数の定義は次の通りである． 十分小さな$\epsilon >0$に対して，$P$を中心とする半径$\epsilon$の円を$C$とする． なお， $C$は$P$を内部に含む 単純閉曲線(交わらない閉曲線のこと)でもよい． 単位ベクトル場$e$は$C$上を一周するとき，単位ベクトルの始点を原点に取れば， 終点は単位円上を動く．このとき，逆戻りするときは相殺して考え，ベクトルの終点が単位円を回る回数を ベクトル場$X$の孤立零点$P$における回転数または指数(index)という．ベクトルXは滑らかな ベクトル場であるから，$e$もなめらかなベクトル場であり，Cを一周すると同じベクトルに戻るから 回転数は整数である このように平面上なら定義がすっきりしているが，曲面は$\mathbb{R}^3$で考えている．すなわち，$e$ の始点を原点としたとき終点は単位球面$S^2$上であるので，少し工夫が必要です． ここでは，任意の曲面は局所的に平面と等角写像が存在することを利用して説明します． 任意の曲面F上の各点$P$に対して，平面と角を保つ対応が存在する$P$を含む開集合$U$が存在する． 実際 第1基本形式$I$が $I=\rho(u,v)(du^2+dv^2)$ となる$U$の媒介変数表示が存在する. この性質を用いれば，平面上で考えればよいので， 一周回ったときの回転数が平面と同じように定義できることがわかる． 次に，回転数がいくつでもそのような孤立零点を持つベクトル場が存在することを確認しよう． 実際，原点を中心とする単位円上の点$(\cos \theta,\sin \theta)$におけるベクトル場が $e=(\cos n\theta ,\sin n\theta)$ で定まるベクトル場を$\mathbb{R}^2\setminus \{0\}$で定義すればよい．それはチェビシェフの多項式より $\cos n\theta,\sin n\theta$を$\cos \theta,\sin \theta$で表せば求まる． 
たとえば，回転数が3のベクトル場は$\cos 3\theta=\cos ^3\theta -3\cos \theta \sin ^2 \theta,$ $\sin 3\theta =3\cos ^2\theta \sin \theta-\sin ^3\theta$ より, $X=(x^3-3xy^2,3x^2y-y^3)$ $e=\dfrac{X}{|X|}$ で定義すれば，ベクトル場は右図で，孤立零点である原点における回転数は３である． もう一つ，下の4つの零点(中心点)はすべて回転数１の孤立零点です． 最初はびっくりしますが，単位円上のベクトル場は左から $(\cos \theta,\sin \theta),(\cos (\theta +\frac{\pi}{2}),\sin (\theta +\frac{\pi}{2}),$ $(\cos (\theta +\pi ),\sin (\theta +\pi )), (\cos (\theta +\frac{3\pi}{2}),\sin (\theta +\frac{3\pi}{2}))$ であるので納得できるでしょう．  
それでは回転数$-1$の孤立零点はというと$(\cos (-\theta ),\sin (-\theta))=(\cos \theta ,-\sin \theta)$ より，ベクトル場 $X=(x,-y)$ を考えればよい． 話を進めましょう． 定義 $S$を$\mathbb{R}^3$における閉曲面（コンパクトで境界のない曲面）とする． $S$上のベクトル場$X$は，零点を持つとしても孤立零点だけとする． ベクトル場$X$の孤立零点$P$における回転数を$I(X,P)$で表す． $S$はコンパクトであるから孤立零点の個数は有限個であり，それを $P_1,\dots ,P_n$ とする．このとき$I(X)$を $\displaystyle I(X)=\sum_{i=1}^nI(X,P_i)$ で定義し，$I(X)$をベクトル場$X$の指数(index)と呼ぶ． ここで，閉曲面上のベクトル場の指数は位相不変量であることに注意しよう． 曲面上にベクトル場を定義し(曲面上に矢印を記入しておき)，曲面を連続に動かしても 零点は零点であり，零点でなければ零点でありません．零点の回転数は，整数値で， さらに回転数は回転の差であるから連続関数です．取る値が整数より 連続的に動かしも変わりません．これらから零点の回転数も位相不変量であることがわかります． 
具体例で閉曲面上のベクトルの指数を調べましょう．まずトーラス面$T^2$(この項目の一番上にある，3つある曲面のうち一番左)上は零点のないベクトル場が存在するのは わかりやすい．$T^2$上の零点のないベクトル場を$X$とすれば $I(X)=0$ である． 次に球面$S^2$を考えよう．零点がないベクトル場があるかどうかは後で考えるとして，わかりやすいベクトル場を 調べてみます． 
まず，北極から流れだし，南極に向かって流れ，南極に流れ込むベクトル場，
すなわち積分曲線が経線のベクトル場$X$は孤立零点が北極と南極で回転数がともに１であるから$I(X)=2$ であり，緯線に沿って流れるベクトル場すなわち積分曲線が緯線のベクトル場$X$も同様に $I(X)=2$ である． もう1つ流れ出す点と流れ込む点を同じ点に持って行った次のようなベクトル場（右下図は積分曲線だけを記入）$X$ も $I(X)=2$ である． 
一方，閉曲面$S$の標数を$\chi (S)$と表せば，$\chi (S^2)=2,\chi (T^2)=0$ である． これらの内容より，次の定理が成り立つことが予想できる．この定理を，ベクトル場のポアンカレ指数 定理という． 定理 $S$を$\mathbb{R}^3$における閉曲面とする． $X$は$S$上のベクトル場で，零点は持ったとしても孤立零点である．このとき $I(X)=\chi (S)$ が成り立つ．ここで$\chi (S)$は曲面$S$の標数（オイラーの特性数ともいう）． まず，証明で用いる内容をまとめておこう． $\{e_1,e_2\}$が正規直交基底で，その接続形式が$\omega _{12}$のとき， $d\omega _{12}=-Kd\sigma$ であり，グリーンの公式より,連結な閉領域$D$上で $\displaystyle \iint_DKd\sigma =-\iint_Dd\omega _{12}=-\int_{\partial D}\omega _{12}$ 2つ目は， $\{e_1,e_2,e_3\},\{\bar{e}_1,\bar{e}_2,e_3\}$はともに右手系をなす正規直交基底で， $\bar{e}_1$は$e_1$を$\theta$回転したもの，すなわち $\bar{e}_1=\cos \theta e_1+\sin \theta e_2$ のとき $\{e_1,e_2,e_3\},\{\bar{e}_1,\bar{e}_2,e_3\}$の接続形式をそれぞれ$\omega _{12},\eta _{12}$ とすると $\eta _{12}=\omega _{12}+d\theta$ が成り立つ． もう一つはガウス・ボンネの定理すなわち $\displaystyle \iint_{S}Kd\sigma =2\pi \chi (S)$ である． ポアンカレ指数定理の証明 ベクトル場Xの零点を$\{P_1,\dots ,P_n\}$とする． $P_i$を中心とする半径$\epsilon$の測地円($P_i$から測地線ではかった距離$\epsilon$の点よりなる集合)を$C_i$として，必要なら$\epsilon$ を十分小さくとり，$C_i$の$P_i$を含むほうの内部に$P_i$以外の零点を含まないようする． $P_i$は孤立零点であるのでこれは可能である． また，$C_i$で囲まれた図形のうち$P_i$を含むほうを$D_i$とする． ベクトル場$X$は$S\setminus \{P_1,\cdots ,P_n\}$で$X\neq 0$.したがって，ベクトルの大きさで割って，$X$は $S\setminus \{P_1,\cdots ,P_n\}$で定義された単位ベクトルとしてよい． $S\setminus \{P_1,\cdots ,P_n\}$で $\bar{e}_1=X$ $\bar{e}_2=n\times \bar{e}_1$ によって定義する．ただし$n$は法線ベクトル． さらに，$\bar{e}_1,\bar{e}_2$より定まる接続形式を$\eta _{12}$とする． また，各$D_i$は十分小さいので，測地座標系$(u,v)$が存在し，$D_i$において第1基本形式は $I=du^2+Gdv^2$ である． $e_1=f_u,e_2=\dfrac{f_v}{\sqrt{G}}$ の接続形式を$\omega _{12}$とする．$e_1$から$\bar{e}_1$に向かってはかった角を$\theta$ とすると． $\eta _{12}=\omega _{12}+d\theta$ $D_i$においてグリーンの公式を使うのであるが，$\eta _{12}$は$P_i$で定義されていないので， $\omega _{12}+d\theta$を利用する． $\displaystyle \int_{C_i}\eta _{12}=\int_{C_i}\omega _{12}+\int_{C_i}d\theta$ $\displaystyle =-\iint_{D_i}Kd\sigma +\int_{C_i}d\theta$ ここで， $\displaystyle \int_{C_i}d\theta=2\pi I(X,P_i),\lim_{\epsilon \to 0}\iint_{D_i}Kd\sigma =0$ が成り立つ. $\displaystyle \therefore \lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{1}{2\pi}\int_{C_i}\eta _{12}=I(X,P_i)$ ここまでくれば後は単純な計算です． $\displaystyle \iint_{S\setminus \cup D_i}Kd\sigma =-\iint_{S\setminus \cup D_i}d\eta _{12}=-\sum_{i=1}^n\int_{-C_i}\eta_{12} =\sum_{i=1}^n\int_{C_i}\eta _{12}$ グリーンの定理の境界の向きは左回り．左回りとは，内側が左側である進行方向． したがって，対象が $D_i$と$S\setminus \cup D_i$では $\partial D_i$と$\partial (S\setminus \cup D_i)$ の向きが逆になる． 後は$\epsilon \to 0$とすれば $\displaystyle \iint_{S\setminus \cup D_i}Kd\sigma \to 2\pi \chi (S)$ $\displaystyle \sum_{i=1}^n\int_{C_i}\eta _{12} \to \sum_{i=1}^n2\pi I(S,P_i) =2\pi I(X)$ より， $I(X)=\chi (S)$ が証明された． ポアンカレの指数定理より． $\bullet$零点のない全体で定義されたベクトル場が存在する閉曲面$S$は$\chi (S)=0$である. $\bullet$閉曲面上のベクトル場$X,Y$がともに持つ零点は孤立零点だけとすると $I(X)=I(Y)$ である． がわかる． 
さて，閉曲面上のベクトル場の指数は位相不変量である．
したがって，考えやすいベクトル場で計算すればよい．曲面を三角形分割をし，各三角形に次のようなベクトル場を定義する(右図)． $1.$各頂点は吹き出し口，重心は吸い込み口(回転数は$1$) $2.$辺の中点は吸い込み口，吹き出し口の両方を持つ(回転数は$-1$のベクトル場の例を参照) このようなベクトル場$X$は曲面全体に定義できる． 一方，曲面$S$上の三角形，辺，頂点の個数をそれぞれ$l,m,n$とすれば， $I(X)=l-m+n=\chi (S)$ である．これは，わかりやすく優れたポアンカレ指数定理の証明です． さらに，この証明はガウス・ボンネの定理を用いていません．ポアンカレの指数定理より ガウス・ボンネの定理を導き出すことができる． 証明は次の手順で行う． $1.$ベクトル場$X$の指数$I(X)$は位相不変量であるから，どのベクトル場でもよい． $2.$閉曲面$S$を三角形分割し，上で定義したベクトル場$X$を考えることにより $I(X)=\chi (S)$ $3.$ベクトル場$X$の孤立零点を$\{P_1,\dots ,P_n\}$とし，$P_i$を中心とする半径$\epsilon$ の円を$C_i$,$C_i$により曲面を2つに分けるが$P_i$を含むほうを$D_i$とする． $\bar{e}_1=\dfrac{X}{|X|},\bar{e}_2=n\times \bar{e}_1$ により，$S\setminus \{P_1,\cdots,P_n\}$において正規直交基底 $\{\bar{e}_1,\bar{e}_2,e_3\}$ が定義でき，この正規直交基底の接続形式を$\eta _{12}$とすると $\displaystyle I(X,P_i)=\lim_{\epsilon \to 0}\dfrac{1}{2\pi}\int_{C_i}\eta _{12}$ $4.$グリーンの定理より $\displaystyle \iint_{S\setminus \cup D_i}Kd\sigma =\sum_{i=1}^n\int_{C_i}\eta_{12}$ $5. \ \epsilon \to 0$より $\displaystyle \iint_SKd\sigma =\chi (S)$ 必要な証明は本文の中にある． ガウス・ボンネの定理の標準的証明は，測地曲率を使いやすい形に変形する（Liouvilleの公式） のが面倒です．しかし，ここで述べた方法は接続形式の知識が少し必要なだけで， 容易に理解できる証明です． (ベクトル場の指数定理とガウス・ボンネの定理の項目終わり) 微分幾何の目次 |