5.捩率

前節で,曲線の曲がる度合いを調べました.
曲線を調べるには,もう1つ,接触平面から離れる度合いも調べる必要があります.
この節では,曲線が接触平面からの離れ方が早い遅いに関して調べましょう.
右の曲線のち,上の図は
$\overrightarrow{f}(t)=(t,t^2,\dfrac{t^3}{9})$

下の図は
$\overrightarrow{f}(t)=(t,t^2,\dfrac{t^3}{3})$

です.共に接触平面は$xy$平面,原点における曲率は共に$k(0)=2$です.

なお,もう一つ,平面上の放物線
$\overrightarrow{f}(t)=(t,t^2,0)$
も原点における曲率は2です.
このように,同じ曲率でも,いろいろな曲線があることが分かります.
これら3つの曲線の違いを表す量が必要です.それが曲線の接触平面から離れる度合いです.
各点で接触平面が定義できるから,その変化の割合,すなわち接触平面の単位法線ベクトルの 弧長sに対する変化率で接触平面から離れる度合いと定義することが自然なことです.
さて,接触平面の単位法線ベクトル$\gamma (s)$は
$\gamma (s)=\alpha (s)\times \beta (s)$
です.ただし,$\beta$は弧長変数のときの加速度ベクトル方向の単位ベクトルです.
$\dfrac{\gamma (s)}{ds}$の大きさが曲線の接触平面からの離れる度合いとなります.
$\dfrac{\gamma (s)}{ds}$の計算をします.
$\alpha (s)$は弧長変数の速度ベクトル,$k(s)\beta$は加速度ベクトル(このベクトルを曲率ベクトルともいう)です. ただし$k(t)$はその点における曲率です.
$\alpha (s)\cdot \gamma (s)=0, \ \beta (s) \cdot \gamma (s)=0$
より
$0=\dfrac{\gamma (s)}{ds}\cdot \alpha (s) +\gamma (s)・\dfrac{\alpha (s)}{ds}$
$=\dfrac{\gamma (s)}{ds}\cdot \alpha (s)+\gamma (s) \cdot k(s)\beta (s)$
$=\dfrac{\gamma (s)}{ds}\cdot \alpha (s)$
また,$|\gamma (s)|=1$より
$\dfrac{\gamma (s)}{ds} \cdot \gamma (s)=0$
$\dfrac{\gamma (s)}{ds}$は$\alpha (s),\gamma (s)$と垂直ですから$\beta (s)$と平行です.そこで,
$\dfrac{\gamma (s)}{ds}=-\tau (s)\beta (s)$
によって,$\tau (s)$を定義し,$\tau (s)$を曲線$\overrightarrow{f}(s)$の捩(れい)率といいます.
なお,捩率の定義で−がついています.これは付けなくともかまいません.捩率の向きを考えるとき,接触平面に関し, $\gamma (s)$の向きをその点における接触平面の正の向きすれば,接触平面を下から上に突っ切るとき正と定義するほうが自然だからです.
$\tau (s)$の値を求めましょう.
$|\beta (s)|=1$より
$\tau (s)=\tau (s)\beta (s) \cdot \beta (s)=-\dfrac{d\gamma (s)}{ds} \cdot \beta (s)$
$=\gamma (s)\cdot \dfrac{\beta (s)}{ds} \ \ (\because \gamma (s) \cdot \beta (s)=0)$
$=|\alpha (s) \ \ \beta (s) \ \ \dfrac{d\beta (s)}{ds}|$
です.ここで,│ │は行列式です.
さらに,$\beta (s)=\dfrac{1}{k(s)} \dfrac{d^2\overrightarrow{f}(s)}{ds^2}$
より
$\dfrac{d\beta (s)}{ds}=(\dfrac{d(\frac{1}{k(s)})}{ds})\dfrac{d^2\overrightarrow{f}(s)}{ds^2} +\dfrac{1}{k(s)}\dfrac{d^3\overrightarrow{f}(s)}{ds^3}$
$\therefore \ \tau (s)=\dfrac{|\dfrac{d\overrightarrow{f} (s)}{ds} \ \dfrac{d^2\overrightarrow{f}(s)}{ds^2} \ \dfrac{d^3\overrightarrow{f}(s)}{ds^3}|}{k(s)^2}|$
$=\dfrac{|\dfrac{d\overrightarrow{f} (s)}{ds} \ \dfrac{d^2\overrightarrow{f}(s)}{ds^2} \ \dfrac{d^3\overrightarrow{f}(s)}{ds^3}|}{|\dfrac{d^2\overrightarrow{f} (s)}{ds^2}|}$


6.フレネ・セレの公式と曲率,捩率の計算


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