7.曲線の基本定理

前節でフレネ・セレの公式
$\begin{pmatrix} \alpha '(s) \\ \beta '(s) \\ \gamma '(s) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & k(s) & 0 \\ -k(s) & 0 & \tau (s) \\ 0 & -\tau (s) & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha (s) \\ \beta (s) \\ \gamma (s) \end{pmatrix} $
を求めました.
上の式を見れば,$k(s),\tau (s)$が与えられたとき,$\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)$の微分方程式 を解くことにより求められ,曲線も定まりそうです.この項目は,この考えもとでの議論です.なお,微分方程式の解の存在も証明します. あわせて参考にしてください.

弧長$s$が変数の曲線$\overrightarrow{f}(s)$が与えれたとき,その曲線より,曲率$k(s)$,捩率$\tau (s)$が求まります. フレネ・セレの公式は,曲線の曲率と捩率が分かれば,$\alpha '(s),\beta '(s),\gamma '(s)$が$\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)$ および曲率$k(s)$捩率$\tau (s)$ で定まり,曲線上の微分が何度でも自由にできることを示しています.
ということは,弧長変数の曲線は曲率,捩率だけで決まるのではないかと考えることは自然なことで, ここではこの内容を考えます.
この内容を曲線の基本定理と言います.

内容を整理しましょう.

命題
曲線$\overrightarrow{f}(s)$が与えられる $\Longrightarrow$ 曲率$k(s)$,捩率$\tau (s)$が定まる

この命題の逆が成り立つかどうかをしらべようとしているのです.
逆の命題は次のようになります.

逆の命題(曲線の基本定理)
実数$s$に対して開区間$(a,b)$で2つの連続関数$k(s)\text{>}0,\tau (s)$を与える.
このとき,弧長$s$を変数とする曲線$\overrightarrow{f}(s)$で曲率が$k(s)$,捩率が$\tau (s)$であるもの が存在してしかも唯一つである.

ここで,少しの注意が必要です.回転移動,平行移動,対称移動およびそれらの合成による形を 変えない運動を剛体運動といいます.
上の命題は剛体運動で重ねあわせることが出来る2つの曲線は同じ曲線と考えます.
この命題は,上でも述べたように,結論から先に言うと,正しく,この命題の成立を保障するのは微分方程式の理論です.
微分方程式というと,難しそうですが,要するに高校で学んだ軌跡のことです.
軌跡では,図形の性質が与えれたとき,その性質を式で表し,それを計算することにより図形の式を求めました.
与えられた図形の性質を式で表すとき,$y',y"$または高次の導関数,多変数の場合は偏微分が現れるだけのことです.

数学では,ある命題が示されたとき,その逆を証明し,同値の命題にすることが内容をすっきりさせるコツです. その逆を示すのに微分方程式がよく利用されます.

それでは本題に入りましょう.
示すべき定理は次の定理です.

曲線の基本定理
開区間$(a,b)$における2つの連続関数
$k(s)\text{>}0,\tau (s)$
と,空間上の点$P_0$における互いに垂直でかつ右手系をなす3つの単位ベクトル$\alpha _0,\beta _0,\gamma _0$ が与えられている.
このとき,弧長$s$を変数とする曲線
$\overrightarrow{f}(s)$
で曲率が$k(s)$,捩率が$\tau (s)$かつ$s=s_0$のとき$P_0$であり,さらにその点におけるフレネ・セレの直交座標が
$(\alpha _0,\beta _0,\gamma _0)$
であるものがただ一つ存在する.

証明
$k(s),\tau (s)$より,ベクトル値$\alpha(s),\beta (s),\gamma (s)$に関する次の微分方程式を考える.
$\begin{cases} \dfrac{d\alpha (s)}{ds}=k(s)\beta (s) \\ \dfrac{d\beta (s)}{ds}=-k(s)\alpha (s) +\tau (s)\gamma (s) \\ \dfrac{d\gamma (s)}{ds}=-\tau (s) \beta (s) \\ \end{cases} \ \ $ ・・・@
初期条件は
$\alpha (s_0)=\alpha _0,\beta (s_0)=\beta _0,\gamma (s_0)=\gamma _0 \ \ $・・・A
である.
上の式は$\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)$がベクトルなので実際は9個関数の微分方程式である.
$\alpha (s)=(p_1(s),p_2(s),p_3(s)),\beta (s)=(q_1(s),q_2(s),q_3(s))$
とおけば,第1式は
$\begin{cases} \dfrac{dp_1 (s)}{ds}=k(s)q_1(s) \\ \dfrac{dp_2 (s)}{ds}=k(s)q_2(s) \\ \dfrac{dp_3 (s)}{ds}=k(s)q_3(s) \\ \end{cases}$
である.
この微分方程式は解が存在して,ただ一つである. この事実は後で証明する.
その解を
$\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)$
とする.
@,Aを満たす
$\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)$
はAより$s=s_0$では右手系をなす互いに直交する単位ベクトルであるが,$s\neq s_0$のとき どうなっているかを示す必要があります.
それを示しましょう.
$\alpha _1(s)=\beta (s)\times \gamma (s),\beta _1(s)=\gamma (s)\times \alpha (s), \gamma _1(s)=\alpha (s)\times \beta (s)$

$\alpha _1(s),\beta _1(s),\gamma _1(s)$・・・B
を定義する.
Bが@,Aを満たすことをしめす.
$\alpha _1'(s)=\beta '(s)\times \gamma (s)+\beta (s)\times \gamma '(s)$
$=(-k(s)\alpha (s)+\tau(s)\gamma (s))+\beta (s)\times (-\tau (s)\beta (s))$
$=k(s)\beta _1(s)$
$\beta _1'(s)=\gamma '(s)\times \alpha (s)+\gamma (s)\times \alpha '(s)$
$=-k(s)\alpha _1(s)+\tau (s)\gamma _1(s)$
$\gamma _1'(s)=\alpha '(s)\times \beta (s)+\alpha (s)\times \beta '(s)$
$=-\tau (s)\beta _1(s)$
さらに,$\alpha _0,\beta _0,\gamma _0$は右手系をなす互いに直交する単位ベクトルであるからAを満たす. したがって,微分方程式の解の一意性より
$\alpha _1(s)=\alpha (s),\beta _1(s)=\beta (s),\gamma _1(s)=\gamma (s)$
すなわち, $\alpha (s)=\beta (s)\times \gamma (s),\beta (s)=\gamma (s)\times \alpha (s), \gamma (s)=\alpha (s)\times \beta (s)$
が成り立つことが分かった.したがって, $\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)$ は右手系をなす互いに直交するベクトルである.
次に,それぞれのベクトルが単位ベクトルであることを示そう.それは簡単で
微分方程式の性質より
$\alpha '(s)\cdot \alpha (s)=0,\beta '(s)\cdot \beta (s)=0,\gamma '(s)\cdot \gamma (s)=0$
より,
$|\alpha (s)|,|\beta (s)|,|\gamma (s)|$は定数であり
$|\alpha (s)|=|\alpha _0|=1,|\beta (s)|=|\beta _0|=1,|\gamma (s)|=|\gamma _0|=1$
である.
$\alpha (s),\beta (s),\gamma (s)$
が構成されたので,後は曲線$\overrightarrow{f}(s)$を作るだけである.
$\displaystyle \overrightarrow {f}(s)=\int_{s_0}^s\alpha (s)+P_0$
によって得られる.これが求める曲線である.
この曲線が,$s$が弧長であり, 曲率$k(s)$,捩率$\tau (s)$であることを当たり前のことであるが確認しよう.
まず, $|\dfrac{d\overrightarrow{f}(s)}{ds}|=|\alpha (s)|=1$
より$s$が弧長である.
$\dfrac{d^2\overrightarrow{f}(s)}{ds^2}=\alpha '(s)=k(s)\beta (s)$
より曲率は$k(s)$である.
$\gamma (s)=\alpha (s)\times \beta (s)$
で定義すると,
$\gamma '(s)=-\tau (s)\beta (s)$
であるから,捩率は$\tau (s)$である.

ここで,扱った微分方程式の解の存在及び一意性の証明をしよう.なお,表記はアインシュタイン規約に従う.すなわち, 1つの項の中に上,下同じ添字があるときその添字の動く範囲(ここでは1から$n$)の範囲について和をとる.

定理
連立線形微分方程式
$\dfrac{dx^i}{dt}=a_j^i(t)x^j \ \ (1\leqq i\leqq n)\cdots (\sharp)$
ただし,$a_i^j(t)$は閉区間$[a,b]$における連続な関数.
$\displaystyle a^i_j(t)x^j(t)=\sum_{j=1}^na^i_j(t)x^j(t)$
のことである.
このとき,任意の実数の組
$(x_0^1.\dots ,x_0^n)$
に対して,$[a,b]$上の連続微分可能な微分方程式$(\sharp)$の解
$(x^1(t),\dots ,x^n(t))$
で,初期条件 $x^1(a)=x_0^1,\dots ,x^n(a)=x_0^n$
を満たすものが唯一つ存在する.

証明
$\displaystyle x_{(1)}^i(t)=x_0^i+\int_a^t(a^i_j(t)x_0^j)dt$
$\displaystyle x_{(2)}^i(t)=x_0^i+\int_a^t(a^i_j(t)x_{(1)}^j(t))dt$
$\cdots$
$\displaystyle x_{(m)}^i(t)=x_0^i+\int_a^t(a^i_j(t)x_{(m-1)}^j(t))dt$
によって,$\{x_{(m)}^i(t)\} \ (1\leqq m)$を定義する.
$|a^i_j(t)|$の$[a,b]$における上界を$\frac{A}{n},[a,b]$における$|x_0^i|$の上界を$B$とする.
このとき,
$\displaystyle |x_{(1)}^i(t)-x_0^i|\leqq \int_a^t|a^i_j(t)||x_0^j|dt\leqq AB(t-a)$
$\displaystyle |x_{(2)}^i(t)-x_{(1)}^i|\leqq \int_a^t|a^i_j(t)(x_{(1)}^j-x_0^j)|dt$
$\displaystyle \leqq \int_a^tA^2B(t-a)dt\leqq \dfrac{A^2B(t-a)^2}{2}$
これを繰り返すことにより
$|x_{(m)}^i(t)-x_{(m-1)}^i|=\dfrac{A^mB(t-a)^m}{m!}\leqq \dfrac{A^mB(b-a)^m}{m!}$
ここで,
$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty}B\dfrac{A^m(b-a)^m}{m!}=Be^{A(b-a)}$
であるから,各$i$で定義された級数
$x_0^i+(x_{(1)}^i-x_0^i)+(x_{(2)}^i-x_{(1)}^i)+\dots$
は一様収束しその極限は連続関数で$x^i(t)$とおく.(∵ 例えば高木貞治 「解析概論」158ページ,定理39)
この級数の第$1$項から第$k+1$項までの和は$x_{(k)}^i$であり
$x_{(k)}^i \to x^i(t) \ \ (m\to \infty)$
さて,残された問題はここで求めた連続関数の組$\{x^i(t)\}$が与えられた連立微分方程式の解であること及び他に解が ないことを示すことである.
$x^i(t)$が与えられた微分方程式及び初期条件を満たすことを示そう.
$\displaystyle x^i(t)-x_0^i-\int_a^ta^i_jx^j(t)dt$
$\displaystyle =(x^i(t)-x^i_{(m)})+(x^i_{(m)}-x_0^m)-\int_a^ta^i_jx^j(t)dt$
$\displaystyle =(x^i(t)-x_{(m)}^i(t))-\int_a^ta^i_j(x^j(t)-x^j_{(m-1)})dt$
関数列$\{x_{(m)}^i\}$は一様収束するから,任意の$\epsilon >0$に対して$N$が存在して,$N\leqq m-1$を満たす$m$で任意の $t\in [a,b]$で
$|x^i(t)-x^i_{(m-1)}|<\epsilon \ \ (1\leqq i\leqq n)$
が成り立つ.
この準備のもと,
$\displaystyle x^i(t)-x_0^i-\int_a^ta^i_jx^j(t)dt$
を評価しよう.
$\displaystyle |x^i(t)-x_0^i-\int_a^ta^i_jx^j(t)dt|$
$\displaystyle \leqq |x^i(t)-x_{(m)}^i|+\int_a^t|a^i_j(x^j(t)-x^j_{(m-1)})|dt$
$\leqq \epsilon +\epsilon A(t-a)\leqq \epsilon +\epsilon A(b-a)$
$\epsilon$は幾らでも小さく取れるので,
$\displaystyle x^i(t)=x_0^i+\int_a^ta^i_jx^j(t)dt$
が示された.
次に解の一意性を示そう.
$\{y^i(t)\}$も与えられた連立微分方程式および初期条件を満たす解とする.
$z^i(t)=x^i(t)-y^i(t)$
とおくと,$\{z^i(t)\}$は$z^i(a)=0$であるから
$\displaystyle z^i(t)=\int_a^ta^i_jz^j(t)dt \ \cdots (1)$
を満たす.
$x^i(t)$の$[a,b]$における上界を$C$とすれば
$|z^i(t)|\leqq AC(t-a)$
この式を$(1)$に代入すると
$\displaystyle |z^i(t)|\leqq A^2C\int_a^t(t-a)dt=\dfrac{A^2C(t-a)^2}{2}$
この操作を繰り返すことにより,
$|z^i(t)|\leqq \dfrac{A^mC(t-a)^m}{m!}\leqq \dfrac{A^mC(b-a)^m}{m!}\cdots (2)$
$(2)$の右辺は和が$Ce^{A(b-a)}$に収束するから
$\dfrac{A^mC(b-a)^m}{m!} \to 0 \ \ (m\to \infty)$
したがって,任意の$i$で
$z^i(t)\equiv 0 ,(t\in [a,b])$
が証明された.

多くの微分方程式の解は任意の点のある小ささな範囲で解が存在する場合が多いが,この微分方程式は,証明から分かるように,定義されている任意の 範囲で解が存在する.すなわち,$a^i_j(t)$が実数の全範囲で定義されていれば,実数の全範囲で解が存在する. これは,他の微分方程式とは異なる点である.
なお,微分方程式については
ポントリャーギン 常微分方程式 共立出版(邦訳)
が優れている.ここで扱った連立微分方程式は同書の定理3である.


続く


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